vector (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. ГубкинаКАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИГ.Г. Литова, Д.Ю. ХанукаеваОсновы векторной алгебрыУчебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентовМосква 2009УДК 512.6Л33Литова Г.Г., Ханукаева Д.Ю.Л33Основы векторной алгебры. Учебно-методическое пособие для самостоятельнойработы студентов.  М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2009.  90с.Пособие предназначено для студентов, изучающих векторную алгебру в курсевысшей математики. В нем изложены основные понятия векторной алгебры, подробноразобраны многочисленные примеры, даны задачи для самостоятельного решения. Наряду сформальными примерами, предназначенными для освоения техники и стандартных приемоввекторной алегбры, разобраны также некоторые прикладные задачи геометрии и механики.Пособие имеет своей целью дать дополнительные разъяснения и помочь студентамразобраться в этом важном разделе математики.Пособие предназначено для студентов всех специальностей, изучающих курс высшейматематики.

Издание подготовлено на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им.И.М. Губкина.Рецензенты:Профессор кафедры высшей математики МФТИ М.А. ГалаховДоцент кафедры высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. ГубкинаА.К. ТюлинаУчебное изданиеРедактор: В.В. КалининКомпьютерная верстка: Д.Ю. ХанукаеваЛитова Г.Г.,Ханукаева Д.Ю., 20092ОглавлениеПредисловие4Рекомендуемая литература6Глава 1. Некоторые сведения из теории определителей7Глава 2. Элементы векторной алгебры§2.1 Основные понятия, определения23§2.2. Линейные операции над векторами25§2.3. Линейная зависимость и независимость векторов27§2.4.

Координатное представление векторов29§2.5. Умножение векторов57Типовые варианты рейтинговых работ по теме «Векторы»80Ответы к задачам для самостоятельного решения883ПредисловиеУважаемый читатель! Современное состояние науки и техники постояннотребует инновационных решений, т.е. постановки новых инженерных,технологических или научных задач и поиск путей их наиболее рациональногорешения.Поэтомуважнаспособностькаждогоспециалистаксамообразованию, к освоению нового, не заложенного в рамки стандартныхучебных программ.

Это умение – одно из наиболее ценных качествсовременного специалиста наряду с его профессиональной подготовкой.Поэтому Вы обязательно должны научиться работать самостоятельно,если хотите стать широко образованным, думающим специалистом, умеющимработать с литературой, способным увидеть инженерную задачу, грамотно еепоставить и найти способ решения (мы надеемся, что Вы разделяете с нами этуточку зрения! )Высшая математика в этом контексте важна не только как аппарат длярешения задач в самых разных областях естествознания, но также и какобщепризнанный инструмент развития логического мышления, позволяющийвыработать навыки поиска решения не только чисто научных, но ипрактических задач. Она развивает способность видеть проблему и внутри, иизвне, анализировать ее в разных аспектах и находить наиболее оптимальныепути решения.К сожалению, в течение последних лет количество часов, отводимых наизучение высшей математики, сокращается, и студентам все большую долюработыпоосвоениюучебногоматериалаприходитсявыполнятьсамостоятельно.

Но уровень подготовки многих студентов не позволяет имуспешно делать это. В помощь к процессу самостоятельного освоенияотдельных разделов курса высшей математики и создается эта серия учебнометодических пособий.Данное пособие посвящено основным понятиям и задачам векторнойалгебры. В начале каждого раздела приводятся краткие теоретические4сведения, затем разбирается довольно большое количество примеров, послекоторых предлагаются задачи для самостоятельного решения. В конце пособияприведены ответы к этим задачам.

Кроме того, авторы сочли разумнымпривести примерные варианты рейтинговых работ по материалу, изложенномув пособии. Следует отметить, что пособие носит обобщающий, справочныйхарактер, поэтому не всякое приводимое утверждение или формула следуют изсказанного ранее. Однако логика изложения материала имеет своей цельюпомочь читателю составить стройную картину понятий, моделей и связей,вводимых в одном из основополагающих разделов математики, каким являетсявекторная алгебра.Принимаявовниманиеслабуюподготовкузначительнойчастистудентов-первокурсников, авторы данного пособия излагают решение многихпримеров очень подробно. Такой способ изложения выбран с целью помочьстудентам разобраться в материале, который был недостаточно усвоен налекциях или практических занятиях.Данное пособие может использоваться как в течение семестра, так и приподготовке к экзамену.

Если Вы проявите добросовестность и терпение при егоизучении, то будете вправе надеяться на успешную сдачу экзамена по этойтеме.Предлагаемое пособие может быть полезно не только студентам,начинающим знакомство с векторной алгеброй, но также и магистрантам,аспирантам и инженерам, желающим восстановить свои знания в этой области.Разумеется, изложенный в пособии материал не исчерпывает всегоразнообразия понятий и задач векторной алгебры. Представлены только самыеосновные и наиболее распространенные из них. Векторная алгебра глубокоизложена в учебнике [1], а большое количество примеров для решения имеетсяв [2].5Рекомендуемая литература1.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Т.1. – М.:Айрис-пресс, 2004. 253c.2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука,1980. 240c.Материалы, связанные с данным изданием, можно найти на сайте кафедрывысшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина:http://kvm.gubkin.ru/index.html6ГЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ,ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ И СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙЗдесь приводятся некоторые определения, свойства и формулы из теорииматриц и определителей, которые используются в векторной алгебре.Определение. Квадратная таблица чисел видаглавнаядиагональ a11 a21a i1 an1a12a1 ja22a2 jai 2aijan 2anja1n a2n ain  ,ann побочнаядиагональсостоящая из п строк и п столбцов, называется квадратной матрицей порядкап, где aij – элементы матрицы, i – номер строки, j – номер столбца, элементыa11, a22 ,a2 n1,, ann образуют главную диагональ матрицы, элементы a1n ,, an1 – побочную диагональ.Число а можно рассматривать как квадратную матрицу порядка 1: (a ) .В векторной алгебре преимущественно используются матрицы второго итретьего порядка:Для a11 a12 a21 a22a 31 a32 a11 a12 a и 21 a22 квадратныхматрицопределено(определителя) матрицы.7a13 a23  .a33 понятиедетерминантаОпределение.

Детерминантматрицыa bAc dилиопределитель второго порядка есть число, равное разности произведенийэлементов главной и побочной диагоналей:a b a bdet A  det   c d  ab  cd .c dОпределение. Детерминант матрицы(1) a11 a12A   a21 a22a 31 a32a13 a23 a33 илиопределитель третьего порядка есть число, которое можно найти последующему правилу:a11 a12det A  a21 a22a31 a32a13a22a23  a11a32a33a23a21 a23a21 a22 a12 a13,a33a31 a33a31 a32(2)где детерминанты второго порядка вычисляются по формуле (1).Приведенноевформуле(2)правиловычислениядетерминантаназывается разложением по первой строке.

При этом каждый элементвыбранной строки умножается на детерминант меньшего порядка, полученныйиз исходного путем вычеркивания строки и столбца, содержащих данныйэлемент. Т.е. при вычислении детерминанта третьего порядка использовалосьпонятие детерминанта второго порядка. Эта идея используется в определениидетерминанта произвольного порядка.Рассмотрим матрицу А порядка п.Определение. Минор элемента aij представляет собой определительпорядка (п – 1), получаемый из определителя матрицы А вычеркиванием i–йстроки и j–го столбца. Обозначается M ij .8Определение. Алгебраическое дополнение элемента aij :Aij  (1)i  j M ij ,где M ij – минор элемента aij .Определение.

Детерминант матрицы порядка п или определительпорядка п есть число, обозначаемое символомa11det A a12a1 ja1na21 a22a2 ja2 nai1ai 2aijainan1an 2anjann,и равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на ихалгебраические дополнения:det A n aij Aijили det A j 1n aij Aij .i 1Особо отметим знаки множителя(1)i  jэлементам aij :по               .Замечание 1. Результат вычисления определителя матрицы не зависитот того, по какой строке или по какому столбцу его раскрывать.Замечание 2.

Детерминант матрицыA  (a) или определительпервого порядка есть само число а. Обозначается det(a)  a .(Легко убедиться в том, что формула (1) для вычисления детерминантавторого порядка совпадает с общим определением детерминанта порядка п.a bПусть A   . Тогда по общему определению детерминант матрицы Аc d9вычисляется как сумма, состоящая из двух слагаемых. Например, так:det A  a  A11  b  A12 . В свою очередь алгебраические дополнения поопределению равны A11  (1)11  M11  M11 и A12  (1)1 2  M12   M12 .Миноры элементов первой строки по определению равны определителямматриц, каждая из которых состоит из одного числа, соответственноM11  d , M12  c . Окончательно получаем det A  a  M11  b  M12  ad  bc .Можно было раскрывать этот определитель по второй строке или по столбцам:det A  c  (1) 21  M 21  d  (1) 2 2  M 22  a  (1)11  M11  c  (1) 21  M 21  b  (1)1 2  M12  d  (1)2 2  M 22  ad  bc.)Для определителя третьего порядка получимa11 a12a21 a22a31 a32a13a23  a11 A11  a12 A12  a13 A13 .a33Подставляя сюда соответствующие алгебраические дополненияA11  (1)2 M11 a22a32a23,a33A12  (1)3 M12  a21 a23,a31 a33A13  (1)4 M13 a21 a22,a31 a32придем к выражению, которое получается по формуле (2).