atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 9

б)а у' ' ), 4ч-у+с =1, у +е =-3 — невозможно,т. к.у +е >О г 2 г 9. Я=), )б-,Уту ~~ )3 )9 *'+у'. 9-9+*' у'.б- '+уУ,ь у б. б) 3 =025 *9+у'. 9-25 *'+у'.*'+у' = — )б, невозможно. 10. ММ,= (х,-х,) +(у,-у,) ч.(с,-с,), гле М, (3;у,; е,), М,(б;у,:с,). 7 е)ббббб. )е — и 00. !94 Глава К Метод кос динатв и ест анстве а)2= 4=9+(у,-у,) +(е, -е,), (У,-у,) +(<,-е,) =-5, что невозможно, Итак, равенство М,М, = 2 невозможно.

б) 3 = 9 =9+(у, -у,) +(е, -е,) 2 1' (у,-у,) +(г,-е,) =О, отсюла у, =уз и е, = ем таким образом, отрезок М,М, параллелен оси Ох. 11. Я= о, !Ь! = Ь,а 6= аЬсоза. а) а Ь = аЬ, а = О, соз а =- 1; б) а Ь = аЬ сов 180' = — аЬ; в) а Ь = аЬ сов 90' = 0; ! г) а Ь = аЬ соа 60' = — аЬ; 2 л) а Ь = аЬ соа 120' = аЬ соз (! 80' — 60 ) = — аЬ соз 60' = 1 = — — аЬ. 2 Р~ 12. а Ь = Ц асов а. а)ВЬ > О, если соз а > О, то А, В есть О' < а < 90'; 1 1 б) аЬ < О, сели соз а < О, то 1 есть 90' < а < 180"; в) а Ь = О, если соз гх = О, то есть а = 90'. А В 13. а) АР 3 РС, а РС = Р,С,, поэтоРыс х9э муАР3 РС,; б) ВР.1ВВ„а ВВ, =СС„значлит, ВР ! СС, в) А,С, = АС, АР не перпендикунрен АС, тогда А,С, и АР не перпендикулярны; Воп осы кглаве 1I 195 г) РВ нс перпенликулярен РС, (РС, = РС, а РВ составляетс РСугол45"); д) ВВ, .1 АС, т.к.

ВВ, перпенликулярен плоскости АВСР. По-вилимому, в учебнике опечатка, в нем вместо ВВ, напечатано ВВ, но ВВ = О, согласно и. 4б угол межлу О и АС равен О, то есть эти векторы не перпснликулярны. 14. й(1;у,;з,), Ь(2;у,;с,), ВЬ =1 2+ур,+ с,гч. а) й Ь = 2 + у,у,+ с,с,. Если 2+у,у,+с,аз< 2, значит, у,у,+ г,г, < О.

Да, может (у, = О, у, = О, а, = 1, с, = — ! ); б) 2+ уу+ гс, = 2, сели у у, + сд = О. Ла, может (у, = уз = с, = гз = О); я) 2 У~уг ьсА> 2,если У,уз+ гА > О. Да, может (у, = у, = с, = с, = !). 15, В(1:О;2) С(2;-1;4). 1ь2 3 х+х, х= — = —;(х„= " ') 2 2 " 2 01 ! у+у,. у= — =--;(у, = — "') 2 2 ' 2 2+4 х,+с,. с= — =3;(;,, = — '') 2 ' 2 16. М (2; 1; 3) — М, (2; — 2; 3). Плоскость прохолит через точку ! Р(2; —; 3).

2 Плоскость зеркальной симметрии параллельна плоскости Охгь значит, она параллельна осям Ох и Ос (эта плоскость перпендикулярна отрезку ММь проходит через его середину, то есть она перпенликулярна оси Оу,значит, параллельна плоскости Охс). 17. Оглвелп а) в левую; б) в правую; в) в правую, 196 Глава и Мвто кос динвтвл ост анствв Дополнительные задачи )чз 490. Для решения воспользуемся правилами 1', 2' и 3' п.

43. а) Примем р~ ЗЬ вЂ” За+ Зс, где р(х; у; с). По правилу 3'3 Ь (-15; 15; О); — За (15; 0; -15); Зс (3; — б; -9), Следовательно, вектор р имеет координаты (по правилу 1'): х = -15 + !5 + 3 = 3, у = 1 5 + 0 — 6 = 9, е = — 15 — 9 = -24; р(3; 9; -24); б) р = — 0,(с+ 0,8а — 0,5Ь, -0„1с(-0,1;0,2;0,3);0,8а( — 4;0;4);-0,5Ь (2,5; — 2,5;О). Примем р(х; у; с).

х = -0,1 — 4 + 2,5 = — 1„6; у = 0,2 — 2,5 = -2,3; е 0,3 + 4 = 4,3; р (- 1,б; — 2,3; 4,3). 2 )чз 491. а) Координаты вектора а( —; 3; -1) не пропорциональ- 3 5 3 ны коорлинатам вектора Ь (6; -1О; — 2), например: -- е — —. Зна- 6 — 10 чит, а и Ь не коллинеарны (см. задачу 413). б) Координаты вектора а (-2; 3; 7) пропорциональны коорди- -2 3 7 натам вектора 6( — 1; 1,5; 3,5): — = — = — = 2,, значит, векторы -1 15 35 а и Ь коллинеарны. 2 5 в) Координаты вектора а ( —; —; — Ц и вектора Ь (6; — 5; 9) пропорциональны: 5 9 2 5 9 -1 1 1 1 1- — = — = —; — = — = — —; а = — -Ь; а и Ь коллинеарны.

6 -5 9 9 9 9 9 г) Координаты вектора а (0,7; -1,2; -5,2) не пропорциональны координатам вектора Ь ( — 2,8; 4,8; — 20,8): 197 оиолнигельные задачи 0,7 1-1,2 ! -5,2 1 — — — — = —; векторы а и Ь не коллинеарны. — 2,8 4 4,8 4 20,8 4 № 492. Примем точка Е(х; у; т) — середина отрезка АВ. Ее коорлинаты согласно формуле п, 45: 1 7-11 3+1 х = — (-5+ 3) = — 1; у = = — 2; е = — = 2; Е( — 1; -2; 2) 2 2 2 В соответствии с п. 42 определим координаты точки, ближайшей к точке Е на оси Ох: Е, ( — 1; 0; 0); на оси Оу: Е, (О; -2; 0); на оси Ож Е, (О; 0; 2).

№ 493. Для решения залачн нужно установить, можно ли век- тор а ражюжить по векторам Ь и с, то есть существуют ли числа тип такие, что а = тЬ + лс (см, задачу 415). а)Ь=г +у; Ь(1; 1;0). с= Т вЂ” 7';с(1;0; — 1), где с' (1;0; О), у'(О; 1; О),/с(0;0;1). Прелставим равенство а = тЬ+ лс в координатах: 1) -1 = т 1 + и 1, 2)2=т 1+и О, З)З= О+и ( !). Равенства(!),(2) и(З) выполняются прит = 2, и = — З,значит, векторы а, Ь и с компланарны. б) а = ~ + 7'+ /с, а(1; 1; Ц, с ! — 7т; с (1; — 1; 0). Представим равенство а=тЬ+лс в координатах; 1)!=т 2+и 1, 2) ! = т 1 + и .

(-1), 3)1=т 15+и 0 2 2 1 4 1 т— = —; и= — — 1= —;1= — — —. 3 3 3 3 3 2 1 Равенства (1), (2) и (3) выполняются при т = —, и = —, значит, 3 3 векторы а, Ь и с компланарны. в) Запишемвкоординатахравенствоа=тЬ+лс, 1)1=т 1+и 2, Глава К Метр кос динатвп ест анстае 198 г) ! =м.(-!)+л 3, 3)(=гл 2+и. (-!). Эта система уравнений не имеет решений относителыю т и и. Значит, векторы а, Ь и с не компланарны.

№ 495. Используем формулу задачи 423. Примем, что точка 0 — точка пересечения медиан ~ АВС. Слеловател ь><о, сс координаты: 2+3+2 0+2+3 1+2+6 3 3 3 7 5 0( —; —;3). 3 3' с, в, Риг. 295 № 496. АР(4; 1; О), АА, (2; 3; — 1), АВ( — 1;4;3). АР, = АА, + АР, АР, (2 + 4; 3 + 1; Π— !), АР, (б; 4; -1). Запишем координаты этого вектора через координаты его начала и конца: б =х -х„, х =9; 4 =у„-у„, ул =4; — ! = е,„-е„, ев =1; Р, (9;4;!). б=х — 3, а=у„-о, — 1=г„-2 № 494.

Рассмотрим векторы АВ и РС: АВ В (1; 1; 1), РС (1; 1; 1). Векторы АВ и РС коллинеарны, т.к. АВ =/с РС, !! = 1, Тогда А В () .РС (рис. 294), ~Ах=4' ггг-л А Р ис-.9 'г г =л. (АВ( = (РС(, Противоположныс стороны четырехугольника АВСР параллельны и длины их равны, значит, АВСР— параллелограмм (по признаку параллелограмма). 199 ополнительные задачи 2) АС = АВ+ АР, АС (-1+4; 4+1; 3 + О); АС (3; 5; 3).

Через координаты начала к конца: З=х,-х„, 3 =хе — 3, хс =б; 3=»с-е., 3=»с-2 »с=5' С(б; 5; 5), 3) АВ, (-1+ 2; 4+ 3; 3 — 1), АВ, (1; 7; 2). Через координаты начала и конца: (=х, — 3, 4)АС,=АА +АВеА0, АС, (2+ ( — 1) +4; 3+4+1; — 1+ 3+ 0), АС, (5; 8; 2). Через координаты начала конца: 5=», -3, »ч =8; 8=ус -О, у' =8. 2=», -2, е, =4; В(4; 7; 4).

С(8; 8; 4). № 498. Примем единичный вектор е (х; /д с) сонаправлен с вектором а, Следовательно — = — = —, откупа у = —; т = — х. х у 2 1 -2 2 и ~а-~,,Б' 7'Г -с с х' с 1 с 3 ! 4 ф 4з 2 .х'+ — +(-х) = 1;,! 2+ — !х' = 1; — (х!=! х > О, поскольку е и а сонаправлены; № 497. 1 а)х = — (2+ 5), 1 у, = — (3 + 7), 2 ! О = — (/с — !) 2 откуда /с = 1 б)х = — (О+ 3) 1 2 1 у = — (4 — 8) е О= — (/1+ 2) ! 2 откуда /с = -2 в)х = — (5+ 3), 1 л 1 у = — (3 — 5) 2 О = — (/с + Зсс) 1 2 откуда /с = О 2оо Глава К Метод коо инат в и ест ногае 2 2 1 2 х = —, следовательно е ( —; —; — ).

3 3 3 3 Примем е сонаправлен с вектором Ь. Следовательно е лежит в плоскости Оху, т.к, вектор улежит в плоскости Оху. е (х; у; О). —,у= Зх, у 1 3 Если 1е! !,то2('х +у = 1.х=;у=~( 1 3 ч'(о' 710' 1 3 ' 4о'4о' №499.з(х2+у2+е2 5. х2+у2+т2 =25, 4+у'+5 25, у'=1б, у=14. № 500. Примем, что точка Π— середина отрезка в2Л!, Ю вЂ” середина отрезка )2О. 2-4 1-1 3-! ! — 3 1+1 2+О О( —; —; — );О(-1;О;!);Я( —; —; — );Х(-1;!;!).

2 2 2 2 2 2 Ов=з((-1+1)'+(1-0)'+(1-1)' =4 № 501. В заданной прямоугольной системе координат построим прямоугольный параллелепипед так, чтобы оси координат совпали с его ребрами и точка В была одной из его вершин. Согласно рисунку 29б: АР,=ВС=Ц=2, Р С, = АВ = (т,( = 5 Р,'Р'=В,В=(г,(= /3 Расстояниями от точки В до осей координат будут диагонали: ВА, — до оси РИС. В96 Ох; ВС, — до оси Оу; ВР— до оси Об ВВ, -,~7В,' ВВ,' -,25 ° 3=2,'7, ВВ= т" '+Р' = 9 ° 3 = 7, ВВ- ВВ ВВ' - 29 25 729. Дополнительные задачи 20! № 502. Примем, что точка Р лежит на оси Оу и равноудалеиа от точек А и В; Р (О; у„; 0), =э !АЦ = !Вь(.

По формуле (5) п, 45: (АЯ= !АБ( = лт9+4-2-2 у,+у', 1 г4у',-~~, л, /ВЕ~ = (-15-0) +(7-у,)+( — 18-0) 225+49-2 7 у,+у',+324=к~у 14уа+598. ГТ- .а Составим авнсние: ч',— 4у, 174 гу',-~4у, 598 4уо 4уо+174 уа 14уа+ 598 10у= 424; у= 42,4; Р(0;42,4;0). № 503. Примем,что точка Π— центр описанной окружности; О (ж у, с). Следовательно АО = ВО = СО. Определим вид ЛАВС Направляющие векторы сторон: АВ (2; — 1; — ! ), АС (2; 0; 0), ВС(0; 1;! 1. )(-О-Ц 4 2 l4 +1 + 1 ч4 2чб чб соз ~АВС чтгптз +т зк72 сов кАСВ = = 0 сГ4 I!+1 к.'АСВ = 90, с3АВС вЂ” прямоугольный. Значит, точка О лежит на отрезке АВ; АО = ОВ.