atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 8

4). Утверждение! доказано. Если а ие парахлельна плоскости Оху, то она пересекает ее в точке Р. При симметрии точка Р переходит в себя, т. к. лежит в плоскости Оху. Значит, Рв а,. Те есть прямые а и а, имеют общую точку, а значит, лежат в одной плоскости. 4 3, еижение 187 Рис, 281 Рис 2В2 (рис. 28(). АА,В, — прямоугольник, потому что АА, = ВВ, и АА, ~! ВВ, (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны). Значит, А,В, 3 АВ.

ВВ,С,С вЂ” параллелограмм, потому что ВВ, =СС, и ВВ, ( ВС. Тогда, ВС, 3 ВС. Плоскость )3, проходит через точкиА„В, иС,(поаксиомеА,учебника (п. 2)) она — слинствснная. Если лвс пересекающиеся прямые (ВА и ВС) одной плоскости (В) параоельны лвум прямым (В,А, и В,С,) другой плоскости ()3,), то эти плоскости параллельны: )3, )~ В. б) Примем а Л )3. Возьмем произвольную точку А и а и проведем АО перпенликулярный плоскости а. Продолжим отрезок за точку О на расстояние ОА, = АО (рис. 282). Если лве плоскости взаимно перпснликулярны и к одной из иих провслен перпендикуляр, имеюпгий обшую точку с лругой плоскостью, то этот перпендикуляр весь лежит в этой плоскости, — то есть АО с )3, значит, и АА, ~ )3.

Вывод. Каждая точка плоскости В отображается в точку, ей симметричную, которая тоже приналлежит плоскости )3. Тогда, плоскость р отображается сама на себя, или )3, совпадает с (3. № 484. (рис. 283). а) Докажем, что АВ)) А,Ви Доказательство приведено в п. 52. Там доказано, что А,В, = АВ, а это значит, что А,В, )) АВ, А В А В Рис. 2В2 (88 Глава)г'. Мего кос динагвп осг ансгве б) Примем а !! р.

Возьмем тодду А е а, следовательно точка А перейдет в точку А„такую, что АА, = р. Значит они лежат в одной плоскости, а в плоскости через точку А можно провести только одну прямую АА„параллельную вектору р, поэтому А, е а. Т, о., точка А е а переходит (или отображается) в точку А, е а. Для любой другой точки В е а рассуждение повторяется, тогда каждая точка прямой а переходит в точку той же прямой а, то есть прямая отображается на себя. Если прямая а содержит р, доказательство остается в силе, просто векторы АА, и р лежат на одной прямой а, № 485.

(рис. 284). Параллельный перенос является движением, поэтому АВ = А,В, ВС = В,С, АС = А,Ск Отек>да схАВС = гхА,В,Ск Проведем отрезкиАМиА,М,. АМ А,М, (п. 52, нужно только вместо точки В поставить точку М, когда доказывается равенство А,В, =АВ). В плоском четырехугольнике АММА, АМ)~ А,М, и АМ =- А,М, значит, АММА, — параллелограмм, АА, = ММ, = р. Замечание. Любая точка2хАВС переходит в соответствующую ей точку Г~А,В,Сг Р , гВ4 № 486. а) а — данная прямая (рис.

285). Выберем на прямой а точки А, В, С. При движении они перей- дут вточкиА„В„С, соответственна, причем АВ = А В„ВС = В,С, и АС = А,Ск Докажем, что точки А„В„С, лежат на прямой. 3, внженив 189 А,С, = А,В, + В,Си Такое равен- С ство действительно возможно, В если только асе три точки — на од- А ной прямой; в противном случае, по неравенству треугольника А,С, < А В+ В,Си В силу произ- Рис.

285 вольного выбора точек А, В и Сдоказательство справедливо для любых лругих трех точек, поэтому при движении прямая перехолит в прямую, б) Рассмотрим плоскость а (рис, 28б). Докажем, что она перейдет в плоскость аг Рассмотрим в плоскости а две пересекающиеся прямые а и Ь. Пусть они пересекаются в точке О. Тогда при движении прямая а перейдет а прямую а, (см и, а)), а прямая Ь в прямую Ь,. ТочкаОперейлетвточкуОи Провелем плоскость а, через пересекаю- Рис 286 шиеся прямые а и Ь, Докажем.

что аперехолитв а. Рассмотрим произвольную точку СО в а и ес образ С,. Докажем, чтоСО в а,. Проведем черезточкуСпрямую, пересекающую прямые а и Ь в точках А и В соответственно. Тогда точки А и В перейдут в точки А, и В„лежащие на прямых а, и Ь„и, следовательно, в плоскости аи Значит и ася прямая А В лежит в плоскости аг Значит и точка С, лежит в плоскости а„так как она лежит на прямой А ВиЧто и требовалось доказать. № 487. а) (рнс. 237). АС вЂ” заданный отрезок, АСп а. При движении А — А, С Сг Докажем, что весьотрезокАСотображается на отрезок А,Сг Выберем произвольную точку Рис 287 Вв АС.

При движении В Ви АВ + ВС = АС. Поскольку при движении расстояния межлу точкамисохраняются,тоА,В,=АВ,В,С, = ВС,А,С =АС. Глава К Метод кое динат а и ест анстве 190 Отсюда А,С, = А,В, + В,Ст Это равенство возможно только когда точки А„В„С, лежат на одной прямой и точка В, лежит между А, и С, иначе по неравенству треугольника А,С, < А,В+ В,С, значит, точки отрезка АС отображаются в точки отрезка А,Ст б) (рис, 238). к.'АО — задан, лежит в плоскости а. Прн движении О О„А А„В В, причем ОА =ОА, и ОВ=О,В, и АВ = А,В„следовательно БРАВО = Е~А,В,О, по трем сторонам, значит, кАОВ = к'.А,О,Ст Если к.АОВ !30',ток'.А,О,С, = !30'.Докажем это. О На сторонах развернутого угла выбе мточкиА и В.

П идвиже- ре р нии А А„В В„так что АВ = А,В;, О О, при движении АО=АО, иОВ, = ОВ. Итак, АО,+О,В=А В, (при движении отрезок переходит в отрезок). Точки А „О„В, лежат на одной прямой, точки А, и В, лежат по разные стороны от точки О, тогда, А,О,В, — развернутый (рис. 289). Вг в, Рве. 28В О В Оз А Рве Лг9 № 488. а) а 1Ь, оса, Ьса. Пересечемаи Ьпрямой с, следовательно ~! = к.2 как внутренние накрест лежащие при параллельных а, Ь и секущей с.

Расставим точки, как показано на рисунке 290. М и Ф вЂ” произвольные точки, взятые по разные стороны от секущей АВ. 9 3. вижение При движении к'.МАВ перейдет в равный ему х'.МА,Вп а хАВгУ вЂ” в равный ему угол кА,В,ЬГг Поскольку при движений плоскость а переволится в плоскость (), то прямыс А,М, и В,йг, лежат в одной плоскости ().

б) Проведем в плоскостях а и () пересекаю ш неся прямые а и Ь, с и гг таки и образом, чтобы а г с Ы~ В и а и а, Ь и а с и (), г(п (з, Тогда при движении а перейдет в а„Ь Ь„с с„Ф вЂ” дп а а„() (зс. Причем а, 'г с„Ь )! гг'„а, и а, Ь, и а, с,п (3, Й,а Р(рис. 29!). Но это означает, что в плоскостях а и „, сеть 2 пары пересекаюшихся соответственно параллельных прямых, таким образом а, 'г ()„что и требовалось доказать. Ряс 29) л(г 489. а) Так как окружность лежит плоскости, то и образы всех ее точек при движении тоже попадают в одну гцюскость,а тогда окружность определяется; 1. Положением ее центра О, 2. Длиной радиуса Я. Поскольку, при движении отрезок (радиус) отображается на отрезок той же длины, то исходный радиус ОА переходит в отрезок О,А, такой, что ОА = О,А, = Я. Окружность — геометрическое место точек плоскости равноудаленых от центра (на расстояние Я).

Т.к. движение сохраняет расстояния, то фигура, полученная из окружности движением, также есть геометрическое место точек плоскости, удаленных от О, на расстояние К То есть, это есть окружность радиуса Я. б) При движении ребра параллелепипеда не испытывают никаких сдвигов и поворотов относительно друг друга (рис. 292).

Не изменяются длины и углы, потому что, как было показано в 192 Глава К Метод кое дннатап ест анстае предыдуших задачах, отрезок и угол при движении переходит в отрезок н угол, имеющий такое же измерение. с, Вг В Ркс 292 Вопросы к главе Ч 1. а) Точка лежит в одной из координатных плоскостей; б) точка лежит на одной из координатных осей. 2. Через прямую провелем плоскость, перпендикулярную к оси аппликат. Следовательно эта плоскость будет параллельна плоскости Оху. Любая точка на прямой находится в построенной плоскости, и, в соответствии с п. 42, каждая точка этой прямой имеет одну и ту же ап ил икату.

3. А (2; 4; 5), В (3;х; у), С (О; 4; е) и О (5; д и) а) Если точки лежат в плоскости, параллельной плоскостиОху,тоихаппликатыравны,тоестьу= 5,а= 5,и= 5;х,г — любые числа; б) если точки лежат в плоскости, параллельной плоскости Охе, то их ординаты равны, то есть х = 4, г = 4; у, е, и — любые числа; в) если точки лежат, на прямой, параллельной оси Ох, то у ннх одна и та же ордината и аппликата, то есть х = 4, г = 4, и у=с=и=5. Воп сы к главе )у' 193 4. АВ (хй уй Е,), ВС (х„у,; С)). АВ+ВС = АС.

АС (х, +х,„"У, + У)' с) + е)). =2СА ( — х, -х,; — У, -У,; — с) — е ). 5. а (О; О; г„), с) ы О а) параллелен оси Ос;, б) перпендикулярен оси Ох; в) перпендикулярен оси Оу. б. а(О;у,;с). а) Пересекает плоскость Охе или составляет с ней некоторый угол, не пересекая плоскость; б) перпендикулярен к оси Ох 7. а) а ( — 5; 3; — ! ) и Ь (б; — 10; — 2).

Если а и Ь вЂ” колз)ннеар— 5 3 -1 — 5 3 ны, то — = — = — =)г. Ясно, что — бб —, таким образом й и Ь не б -1О -2 б -1О коллинеарны; б) а (-2; 3; 7); Ь (-1; 1,5; 3,5), Если а и Ь коллннеарны, то — 2 3 7 — = — = — =75, или 2 = 2 = 2 = )г; а = 2Ь, векторы коллинеарны. -! 15 35 8. Примем  — длина радиус-вектора точки М. Следова- тельно: )Р у' ° '-б= Я+у' ее) 1. Отсюда у = с О, точка М лежит на оси абс- цисс.