atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 30
Описание файла
Файл "atnasyan-gdz-10-11-2008-2" внутри архива находится в следующих папках: 25, atnasyan-gdz-10-11. PDF-файл из архива "Геометрия 10 - 11 класс Атанасян", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "геометрия" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "геометрия" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 30 страницы из PDF
3 3 По условию У„равен половине объема шара: -лЯ' соз'и = — -яЯ', сов и = —. 3 2 3 (/2 № 8!4. Дем:ма ! (Геомеглрая 7 — 9, опр. 141, Геометлрия 10 — П, сер. 94.). Все мелианы в треугольнике А,А„4, пересекаются в одной точке М, называемой центроилом треугольника, гле для любой точки Π— )Г— ОМ =-~ОА,ч.ОА,+ОА,~ 382 Глава И). Обьемы тел и Мделит каждую мслиану в соотношении 2:!. Если С, — середина А,А„то (Геомеглрия 7 — 9, стр. 799) ОС = 1(— = — ~ОА + ОА ~ . Точка М, определяемая равенством (1), лежит на 2~ медиане А,С, и лепит се в соотношении 2: 1. Действительно; А, М = ОМ вЂ” ОА, = -~ОА, + ОА, + ОА,! — ОА, = -~ ОА, + ОА, — 20А, МС = ОС -ОМ = — ~ОА + ОА ! — -~ОА + ОА + ОА,! = й = -~ОА,+ОА, — 20А,), откуда Ме А,Си А,М = 2МС.Для остальных мслиан локазательст|ю аналогично.
Ддмцз 22. Все прямые, соединяющие вершины тетраэдра А,А,4„4„с центроилами противоположных граней, пересекаются в одной ~очке 6 (называемой нентроидом тстраэдра), где 06 = -~ОА,+ ОА,+ОАз+ОА, ~. Если М, — нентроид грани А,А,4„то Л,6 = 06 — ОА„= — ~ОА, + ОА, + ОА, + ОА, ~ — ОА„= 1( = -~ОА,+ ОА,+ОА,— ЗОА,, 6М = ОМ вЂ” 06 = — ~ОА, + ОА, + ОА,~ — ~ ОА, + ОА, + ОА, + ОА, 1( = — ~ ОА +ОА +ОА — ЗОА ~, следовательно, А,6 = 36М, откуда 12 6е А,М„, причем А,6: 6М, = 3: 1. Для остальных прямых доказа- тельство аналогично. По условию все высоты тстраэлра А А„4,4, пересекаются в точке Н. Пусть 6 — нентронд тетраэлра; докажем, что точка С, для кото- 383 Задачи повышенной г дносги (3) произведения окажутся равными мсжлу собой, так что А,С" = А,С .
Лналогичны верны и остальные равенства (! ). Так как НС = 2Н6, то точки Н, С и 6 лежат на одной прямои. № 815. Сохраним обозначения из №814. 2 Докажем, что точка Д, для которой Ио = -- И6 — центр с<Рсры 3 Эйлера. Если точка В, лепит отрезок А И в сооппишснии 2: 1, то НВ, = — НА,, 1 3 рой НС = 2Н6, является центром описанной около тетраэлра сферы, то есть, что А,С'=А,С'=А,С'=А„С'или А,С' = А.С' = А,С' = А,С' (1) Согласно лемме 2: 1 А,С'= НС вЂ” НА, = 2И6 — НА,~~ = 1 — НА, + НА,+ НА, + НА, — НА, ~ = = ~ НА, + НА, ч ИА, — НА,! (2) Лналогич но А,С' = ~ НА, + НА, + НА, — НА, ) Так как НА, .Е А„4„4„, то НА, 1.
А,А„НА, А,А> = О, ИА, НА,— НА, = О;НА, НА, = НА, НА,. Аналогично равны лруг другу все произведения вида ЙА, НА,, где б !' = 1, 2, 3, 4, ! и / После раскрытия скобок в (2) и (31 все улвоенныс зва Глава Ий Объемы тел а если М, — центроид грани А„а,А„то согласно 1чо366 НМ, = -~ НА, + НА + НА); по лемме 2 из Ха814 НС = 1(- ~ НА,+ НА,+ НЛ,+ НА,). Отсюда 2- 1Г— ЦМ, = НМ, — НС = НМ, — — НС = -~НА,+ НА,+ НА„- НА, СВ, = НВ, — НО = НВ, — — НС = ~ НА, и НА,+ НА; НА,, Аналогично находим остальные А, векторыСМ„ЦВ,...
В Р10814 доказано, что все произвеления ПА ЙА,, где й / = 1, 2, 3, 4, !иу', равны между собой. Поэтому после раскрытия скобок С получим Н 12 гзМ' = ОМ,' = ОМ,' = ОМ„' = -СВ -СВ -ЦВ -СВ, Ряс 609 следовательно, все точки М, и В, лежат на сфере с центром Д. Так как СМ, = -ОВ„то М, и В, — концы диаметра этой сферы; так как В, и Н лежат на высоте А,Н, а Н, и М, — на перпендикулярной ей грани А,А,А„, то В,Н,М, н Н, лежит на сфере. Аналогично на сфере лежат и точки Н„Н„Н,.
.