atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян)

УДК 373.167.1: 514 ВБК 22.15)я72 <Р)е Фадеев ВПО. Ф15 1!одробный разбор заданий из учебника по гсомс грин авторов Л.С, Азанасяяа, В.Ф. Бу<33<таа и дрл !О-11 классы. 34.: ВАКО, 2008. 304 с, - (Сим ссбс репе пи ар). ! 5 ВН 978-5-94665-662-7 Посооис с<тлсря<г<~ ~<гт;цт<т<тиый разбор ггссч зо:шний и чсшшки ио геометрии .<ля 1О 11 классов ив<опав П.С. Лпишсянв.

В Ф. Еег)- )авв н лр. <Асг Драскеи<снис). О<вшы и ранения представлены в соответствии со с<р)кгурпй учсйаикв, ио значи<слыло об иш ч<и поиск иеп<тьо <<<ягой и<н!гарта<~инг. УДК 373.167.1:5!4 1тБК Зт 15!я72 БПК ')7Н-5-')4<т<т5-<т<т2-7 С ООО «!)ЛКО». 200Н \ чегзггоюг<ггггтгиг'гссьтгс иыаппе Свм себе репетитор Е) Фвлссн Вячсс:шв Юрьеиич ПОДРОБНЫЙ РАЗБОР ЗАДАНИЙ ИЗ УЧЕБНИКА ПО ГЕОМЕТРИИ П.С. Атанасяна, В.Ф. Бутувова и др. <М.: Просеаи<ание) + РГДНЕНИН ВСЕХ 3АДЛ'1 ПОВ!т1П!ГННОЙ ТРУДНО<"ТИ 10-11 классы )ыъчавш<.и гтия - ОКП 005л)3-)53 (йи герм) ри Н ~<<чьи ).

Излюе.и,ство ВЛКО» 1ыл шсию к кчвти с я~и<ппг<~<шюв то ОМ2<НП, г1<арчят 70'100<32, Печки пФсси<ля. Гц ши)рв Тгымс Уел, ис ~ л. 15.4Н '!ирин 120<Ю зкз. Звкш ГЕ 19540, <) < неч гпша с гат<гви т лп и от <и,пюв в ОАО «Сврв~ьггсьии попп рвфк<тт~<т<и<я<. 41ЕН)4. г. С<риаз. Нл, '!срн<и<~евсктт|а. 59. «ккмгрй.п< Содержание Глава 1.

Параллельность прямых и плоскостей ° ° ° ° ° ° 5 0 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости 5 6 2. Взаимное расположение првмых в пространстве 12 Глава П. Перпенднкулярность прямых и плоскостей ° 39 $ !. Перпенднкуллрность прямой и плоскости 39 0 2. Перпендикуляр и наклонныс.... 45 $ 3. Двугранный угол. Пепспдикулярность плоскостсй54 Вопросы к главе!!....... 65 Дополнительные задачи.... 65 107 !07 129 !96 $ 3. Параллельность плоскостей з 4.

Тстраздр и параллслспнпел. Вопросы к главе 1: Дополнительные задачи Глава П1. Многогранники в !. Понитнс многогранника. Призма 02. Пирамила . й 3. Правильныс много~ ранники Вопросы к главе 11! Дополнительные задачи Глава 1Ч. Векторы в пространстве 0 1. Понятно вектора в пространстве в 2. Сложение н вычитание векторов. Умножение на число 0 3. Конпланарные вектора Вопросы к главе 1Ч Дополнительные задачи ° Глава Ч. Метод координат в пространстве 0 1. Координаты точки и координаты вектора . 0 2, Скалярное произвеление векторов ° ° ° в 3. Движение Вопросы к главе Ч Дополнительные задачи !6 2! 29 30 72 72 92 95 95 !09 !!5 !22 123 129 !59 !82 !92 Глава Ч1.

Цилиндр, конус и шар ° 9 1. Цилиндр $2. Конус 9 3. Сфера . Вопросы к главе Ч1 Дополнительные задачи Разные задачи на многогранник, пилиндр, конус и шар 216 21б 224 233 244 24б 265 Глава Ч11. Объемы тел . 287 9 1. Объем прямоугольного параллелепипеда ° 287 9 2. Объем прямой призмы и нилиндра 291 9 3. Объем наклонной призмы, пирамилы и конуса 298 9 4.

Объем шара и плошадь сферы .. 32! Вопросы к главе Ч11 .. 32б Дополнительные задачи 329 Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар . 344 Задачи повышенной трудности 357 Глава У. Метод координат в пространстве В 1. Координаты точки и координаты вектора Х 400. а) на оси абсцисс лежит точка С (2; 0; 0); б) на оси ординат — точка Е(0; — 1; 0); в) на оси аппликат — точка В (О; 0; — 7); г) на плоскости Оху — точки А (3; -1 0), С (2; 0; 0) Е(0; -1;0) и и( — Г5; ГЗ; О); д) на плоскости Оуг-точки В(0; 0; — 7), Е(Р; — 1;0) и 6(О; 5; -7); е) на пяоскости Охс — точки В (О; 0; — 7), С(2; 0; 0) и 2) (-4; 0; 3). № 401. Координаты проекций точки А (2; -3; 5) на: а) плоскость Охж А„(2; 0; 5), Оху: А, (21-3; 0); Оус А, (О; — 3; 5); б) ось Ох: А„(2; 0; 0), Оу: А, (О; — 3; 0), Ос А,(0;0;5).

1 Координаты проекций точки В (3; -5; — ): 2 ! 1 а) на Охс: В, (3; 0; — ), на Оху: В, (3; — 5; 0), на Оус В, (О; — 5; --); 2 ' ' 2 6) на Ох В, (3; 0; 0), на Оу: В, (О; — 5; 0), на Ож В,(0;0; — ). 1 Координаты проекций точки С (-ГЗ; — —; 45 - ~ГЗ); 1Г2 2 а) на Охн С, ( ГЗ; 0; Г5 — ГЗ), на Оху; С,(-~ГЗ; — —; 0), на Оук Г2 С, (О- —;,ГЗ-,ГЗ); Г2 6) на Ох: С„(-~ГЗ;0;0), на ОуС, (О; —; Г2 0), на Ос С, (О; 0; ~Г5- ГЗ). № 402. Если А (О; 0; 0), В (О; 0; 1), 2) (О; 1; 0) и А, (1; 0; 0), то стороны куба равны 1, три ребра совпадают с тремя осями координат. Три грани являются плоскостями, Ряс 239 1ЗО Глава )/.

Метод кое дунет в и с анствв перпендикулярными к осям координат, отсекаюшими иа осях едипичныс отрезки (рис. 239). Следовательно по рисунку имеем: С (0„1; 1) В, (1; 0; 1) С, (1; 1; 1), О, (1; 1; 0). №403.Для а=Зс + 2/-5/сх= 3,у= 2, х=-5; координаты вектора а: й (3; 2; — 5). Для Ь=-Зси+ 3/' — /сх=-5;у =3;е=-1;Ь( — 5; 3; — !). Дляс=с -/х=1,у=-!,сиО;с(1;-1;О) Для с/=уз+/сх=Оу=!,а=1;с/(О; 1„'1). Для т = /с -с' х = -1, у = О, с =1; йс( — 1; 0; Ц Дляй=07/сх=О у =О,а=07;й(0;0;О 7).

№ 404. Для а (5; -1; 2) коэффициентами х, у, е в формуле а =х/ + ус + Й будут его координаты х = 5, у = — 1, х = 2; то есть а=5/ -)/+ 2Ь =Зси-)/+ 2/с Для Ь (-3; -1; 0) х=-З, у=-1, с=О; то есть Ь =-Зс -1уи+Ое =-3/ -3. Ддя с (О; — 1; О) х = О, у = — 1, г = 0; с =Оси -1уз+ О/с = -/.

Для с/ (О; 0; О) х = О, у = О, г = 0 и разложение будет выглялеть так: с/ = Ос + О/з + О/с = 0 № 405. Согласно п. 44 координаты точки равны соответствуюшим координатам радиус-вектора. Соот- ветственно для радиус-вектора ОА, рассмотрим точку А, (рис. 240). Проходяшие через нее плоскости отсекают на осях отрезки: ОА = 2 на оси Ох, 00 = 0 иа осн Оу и 00, = 2 на оси Ов Значит,ОА, (2; 0; 2).

Для точки В, это будут отрезки: )З) В й Коо дннатыгочкиикоо динагывекто а 00 = 0 на оси Ох, ОВ = 3 на Оу и ОО, = 2 на Ос. Значит,ОВ, (О; 3; 2). № 40б. Рассмотрим общий случай. Примем АВ и ОС вЂ” лва нскомпланарных вектора, нс имеюгцис обгцнх точек. Перенесем вектор ОС с помощью параллельного переноса так, чтобы точка О, его начала совпала с точкой В конца В, В первого вектора. Получим вектор О,С, или, что то же самое, вектор ВС„со направленный с вск- Рис.

24! тором ОС и равный ему по ллинс. По правилу сложения векторов АВ+ ОС = АВ+ ВС, = АСс Примем АВ (х,',у,; г,), ВС, (х,;у„'г,).Доказать, что АС, (х, ~-х,; у,+у-;с, +г,), Отрезок ОО, = 2, вектор ОО, лежит на оси Об Поэтому 00, (О; 0; 2). Для точки С имеем: ОА = 2 на Ох, ОВ = 3 на Оу и 0 на Ос; Значит, ОС (2; 3; 0). Для точки С, имеем: ОА = 2 на оси Ох, ОВ = 3 на Оу, 00, = 2 на Об Значит,ОС,(2; 3; 2). Вектор ВС, есть разность векторов ОС', и ОВ. ВС,= ОС вЂ” ОВ; ОС, (2; 3; 2), ОВ (О; 3; 0). Тогда ВС, (2 — 0; 3 — 3; 2 — О), ВС, (2: 0; 2). АС, =ОС, — ОА;ОС,(2; 3; 2),ОА, (2;0;О).

АС, (2 — 2; 3 — 0; 2 — 0), АС, = (О; 3; 2). О,С = ОС вЂ” И~,; ОС (2; 3; О), 00, (О; 0; 2). О,С (2 — 0; 3 — 0; Π— 2), О,С (2; 3; — 2). Глава К Метод коо динатвп ест анстве 132 Для доказательства выразим координаты этих векторов через координаты их начала и конца. АВ(х,— х„;у,— у„;с,— е„), ВС, (х<. -х„у, -у (ес -с,), ВС, зах„у,ивето х =х — х, »» х =х — х, с, » У У У У» =Ус, У» сд Вычислим суммы координатх, + х„у, + ум е, + с, х +х,=х,-х +х, -х,=х, -х У~+У» =У» У, +Ус, У» =Ус, У» Суммы координат соответствуют координатам вектора АС, равного сумме наших двух векторов АВ и ВС, ч. т.

д. № 407. а) Примем а+ Ь = р, х, у, =у, +у„у, =-5;у„=7 х,= 3+0= 3;у,= — 5+ 7= 2; р (3; г; 1) б) Примем а+ с = е х, =х„+ х, у, =у, +у, =-5+0=-5 т, =с, +е, =2+0=2 2 е(3-; -5; 2) 3' =х, +х„х„= 3;х, =0 с =2 — 1=1 » 2 2 =3+-=3— 3 3 2 2 в) Примем Ь+с =у',х, =х,+х, =О+ — =— Ус =У, +у, =7+0=7 3 3 =е, +с, =-1+0=-! с 2 .т=( —;7; — 1) 3 г) Примем В+ Ь=с,х, =х, +х„= — 2 7+0=-2 7 АС, (х, -х„;ус -у„;с, -е„), т.к. мы обозначили координаты вектора АВ за х„у, и г, а вектора В !.

Коо динаты точки и коо динаты векто а 1ЗЗ У, =У,+У,=З,(+7=101 Е, =Еь+сь =05-1=-05 г (-2,7; 10,1; — 0,5) д) Примем ьь'+ а=У,к, =х„+х, =-2,7+ 3=0,3 у, =у„+У,=31-5=-19 е, = е, + х, =0,5 + 2 = 2,5 к = (О,З; — 1,9; 2,5) 2 2 е) Примем а+ Б+ с =ь(х, =х„+ х, + х, = 3+ О+ — = 3-; У =У. еуь+У, =-5+7+0=2 3 3' е,=е„+ е, +е, =2 — 1+0=1 ьт=(3 —;2;Ц 2 3 ж) Примем Л+ а+ с( = (с, х, =-х, . х„+ х, =О+ 3-2 7 =0 3 У, =У, + У„+ у, = 7 — 5+ 3,1 = 5,1 еь =еь" е.+хь=-!+ 2+05=15 Iс = (0,3; 5,1; 1,5) з) Примем а+ (ь+ с+ аь =ль 20 27 3 20-81 61 29 х =х +х +х +к„=3+ — — — =3+ =3 — — =— 30 30 30 30 30 У.

=У, +У, +У, +У, =-5+ 7+04 31=51 е„=е,+х, +е, +хь=2-1+0+05=1,5 29 «ь=( —; 5,1; 1,5), 30 М 408. Иэ и. имеем: АС (х, — х„ус — У*' т — еь) Согласно рисунку 4 имеем: * А (4; 0; 0); В (О; 9; 0); С (О; 0; 2). Ус-У„=О-О=О т„— е„= 2 — 0 = 2 АС ( — 4; 0; 2); СВ(х,-хс У,— Ус Хь — т,) х — х =0 — 0=0 ь с уь — ус = 9 — 0 = 9' т., — т,. = Π— 2 = — 2; Рис. 242 134 Глава К Метод кое инат а п ост нстве СВ(0;9;-2). АВ (х, — хл, у, — у„; гл — ел). х — х =0 — 4=-4; л у — у =9 — 0=9' г -г =0 — 0=0; л л АВ( — 4;9;О).

МЛ' (Хм Хмл Ум Ум) Гм Хм). Координатй точек М, Ю и Р совпадагот с координатами векторов ОМ, Ол! и ОР соответственно. ! 1 1 1 Олт' = — ОС. Тогда ОФ(-х,; — у,; — г ); 2 2'2'2 1 1 ! ОФ(- 0; — ° 0; — *2); 2 '2 2 ОМ (О; 0; 1); Дг (О; 0; 1). Вектор ОМ: точка М вЂ” середина отрезка АС. Тогда 1(— ОМ м-~ОА+ОС~, 2~ х = -(х + х ) = — (4 + О) = 2; ! 1 2 " ' 2 1 1 у = -(у + у ) = — (0+ 0) = 0; м 2 л а 1 1 е„= — (г + т) = — (О ч-2) = 2; 2 " 2 М (2; 0; 2); ОМ (2; 0; 2). Млт' х — х = 0 — 2 = -2; м м у,-ум=о-о=о; — = 1 — 2 = — 1', м м МЯ вЂ” 2„0; -!). 11' —- Точка Р— се реди на отрезка ВС.

Тогда ОР = — ~ОВ+ ОС), 1. Коо динаты точки и кос инаты ввкто а 1 1 х = -(х + х.) = -(О + О) = 0; 2 ' 2 1 1 1 У =-(У +У)=-(9еО) 4-; 2 ' в 2 2' 1 1 е =-(х +т)=-(О+2)=1. 2 2 Р (О; 4-; 1); ОР (О; 4 —; 1). 2' 2 ВМ (х„— х„у„— у„; е„— х,), х — х =2 — 0=2; и в у — у =0 — 9= — 9; и в д„— е,=2 — 0 2; ВМ (2; — 9; 2). Ь7Р (х„— хв, ӄ— У ! е, — е,)' х — х =Π†0; в у„-у; — 4- — О =4 —; 2 2 †, =! †1; ч и гвр (О; 4 —; 0). 2 130 № 409, Координата разности двух векторов равна разности соотвстствуюших координат этих векторов. х„5; у„= -1; е, = 1 х, = О; у, = 0,2; х, = О 1 2 1 х = — 2 У=1вв =0 3 ' 5 ' 7 а) й-Ь=р б) Ь вЂ” а=г р (х, — х„'у, — у„е — г,) г (л; — х„; у, — у„; г, — Хи) р (5 — (-2); — 1 — 1; 1 — 0) г (-2 — 5; ! — (- 1); 0 — 1) р(7; — 2; 1) г( — 7;2; — !) в) а-с =ц г) гв'-й=е г) (х„— хй у„— уй к, — е,) е (х, — х,; у, — у„и вв — с ) 1 2 1 ву (5 — 0; — 1 — 0,2; 1 — 0) е ( — — 5; 2 — — ( — 1); — — — 1) 3 5 7 1ЗЕ д (5; — 1,2; 1) Глава К Метод кос динатв и ест анстве 1 2 ! е (-5-; 3-; -! -) 3 5 7 д)с-ьт'=У Г(х,— х,;у, — у,;с,— сь) ,Г' (О -( — ); 0,2 — 2-; 0 — ( — )) 3 5 7 1 1 у'(-; -2,2; — ) 3 7 е) а-Ь+ с: обозначим а-6 =йь, а — Ь+ с = йь+ с =й, следовательно т (х„— х,; у„- у,; с„— т„) й ((х, — х,) + х,; (у.