atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 6

(а + Ь) с = а с + Ь с (см. п. 47); ас=!а( !с!соз(а" с)=1 2соз60' 2 — 1; 2 Ь с = !(Ч !с!соз(Ь " с) = 2 2 соз 60' = 2; (а + Ь) с = ! + 2 = 3. № 458. а + Ь + с = (а + Ь) + с. Пользуясь распределительным законом скалярного произведения векторов, получаем: (а + Ь + с) 3 = ((а + Ь) + с) Й = (а + Ь) в' + с г( = (а Й + Ь 3) + + сЙ= ад+ ЬЭ+се(. № 459.

а)(а+ а+с)(2Ь) = ((вв и Ь) + с)(2Ь) = (а+ Ь)(2Ь) + + 2Ь с = 2Ь а + 2Ь Ь + 2Ь с = 2!Ь! !в! соз ! 20' + дЬ! 1Ь! соз 0' + 2!Ь! х 1 х!с1соз90'=2 1 1( — — )+2 ! 1 1+0= — 1+2=1; 2 62. Скаля наел оизведение векго ов 109 (а + Ь + с)(с) = а а — а Ь + — се= Д !а~созО'- 1 соз 0' = 1 + — — 1 + 0 = —; 2 2 (а + Ь + с)(а — с) = (а + Ь + с)(а)— +ас — ас+Ьс — сс=аа — аЬ+Ьс — Д !61 сот 120' +16~ (с! соз 90' — Д 1с! б) )а — Ь - ис.

257). Р= (а-Ь)(а-Ь) = - сгв -сь г+ ь Б хггп л Ркс. 257 1а+Ь вЂ” с(= а а+Ь а-с а+а Ь+Ь Ь-с Ь-а с — Ь с+с с= = Г2, т. о. Д + Ь вЂ” с( = Г2 №46!.Обозначим РА =а; РВ= Ь; РС=с; а" 6 =Ь "с =60'(рис. 258). М с Выразим МР7 и ВС через а, Ь и с, Х ВС = с — Ь, Л ь С вЂ” 1 Ф МЛ! = МР+ РВ+ ВЛ' =- — а+ Ь+ 2 В + -(с — Ь) = Ь вЂ” — а + — с — — Ь = — ( Ь вЂ” а ч с) ! — — 1 ! ! - ! Рис. 258 2 2 2 2 2 1 - 1 - 1 1 1 МФ АР= — (Ь вЂ” а+с)( — а) = — аЬ+ — аа — — ос = — Д (Ь!х 2 2 2 2 2 № 460. Если вектор а имеет координаты (х; у; е), то а = х г + у 7с + е )с. а ! = (х г + у 7с + е Й)гс = хО'! ) + у(7с с ) + е()с ~ ).

Т. к. ~' ~' = 1, 7сс =О, (с~' =О, то аг =х. С другой стороны, по определению скалярного произведения ас = Д )с! соя ср, = Д соя срс Итак, х = Д соз срг Аналогично получаем равенства у = Д соз ои е = Д соз срг То есть а (Д соз гр„Д соз ср„Д соз ср,).

Глава К Метод кос динвт в и ест анстве х сов 60'+ — Д ° |а| сов 0 — — |а| |с| соа 60' | — — + — — — — ) |а|'= 0 1 . 1 . Г1 1 1 1 11 2 2 |22 2 22) — 1 — - 1 - 1- МУ ВС= — ( Ь вЂ” а+ с)(с — Ь) = — с(Ь вЂ” а+ с) — — Ь(Ь вЂ” а+ 2 2 2 1- 1 1, 1-, 1 - 1- 1 + с) = — Ь с — — а с + — с' — — Ь'+ — а Ь вЂ” — Ь с = — (с' — Ь'+ а Ь— 2 2 2 2 2 2 2 1 — ас)= — 0=0, 2 Т.к, с'=|с| |с| 1=Ь'=|Ь! |Ь| 1, поскольку |с|=|Ь! по условию; а Ь=а с,посколькуД=|Ь|=|с|иа" Ь=а "с 60'. Р Х» 462. Воспользуемся свойст- вом параплелепипеда.

к 3 х а) ВА Р,С, = (-АВ) Р,С, = з ! = —.АВ' = — 1 (поскольку АВ = .Р,С,, АВ || Р,С, по свойству параллелепиА В педа, то АВ = Р,С, ). 6) ВС, = ВС+ СС, = АР+ АА, РВ= РС, +СС+СВ' А — АА, -АР ВС, Р,В (АР+АА,)(А — АА,— АР)=АР А — АР АА,— — А(У+ АА, А — АА,'-АА, АР=1 1' — — 1 1 0 — 1+1 1 0 — !в 1 — 1 1 0=--1-1=15 2 в) АС, АВ+ ВС+СС, = АВ+ АР+ АА„ АС, АС, =(АВ+ АР+ АА,)(АВ+ АР+ АА,) = АВ'+ АРх х АВ+ АА, АВ + АВ АР+ АР'+ АА, АР+ АВ АА, + АР х АА,+АА,2=1+1 1 60 +0+1 1 60'+1+0+0+0+1= =1+2 †+1+1 1 2 2.

Скаля ноеп оизведениевекго ов 171 г) В основании параллелепипеда лежит ромб АВСР, к.'А = к'.С = 60', АО = 1, АВ =! (рис. 260), откуда следует, что Рис 260 1) кАОВ = к'.ОВА = 60', 2) ОВ = 1. Рассмотрим Е ОВВ;, РВ= 1, ВВ, =АА, = 1, е'.РВВ, = 90' (ВВ, перпендикулярен плоскости основания, т.к. АА, перпендикулярен плоскости основания и ВВ |!АА,).

иВ) 'ВВ,' 08' ~2. В прямоугольном глАА,С ие-Ал-,"~T 7Р=4 е) РА, = ( — АО) + АА„О В = О1, О+ ОА + + АВ, ОА, О,В = (АА, — АР)(А — АА, — АР) = АВ = — А~~, — АР+ АА, А — АА,'— — АА, АР- АР. АВ+ АР АА, + Агг = Агу 1 — АО АВ=! — !+Π— ! 1 сав60'=— 2 — АА,'+ АА, АВ— д) Рассмотрим основание параллелепипела. АС = 2АО, гле О— точка пересечение диагоналей ромба. АΠ— амлота в равностороннем МАРВ, АО = АВ а)п 60' = 1 —, АС = чГЗ Г3 2 172 (лава (Г.

Метод хоо динат в п ест анстве соз(РА "0 В) ! РА, 'г!0, В! !РА,~= ъ(АР'+ АА, =.Г2, РВ = РВ, = Г2 ! 2 соз(РА, " Р В) = /242 22 4 ж) АС, = АВ+ АР+ ААи РВ, -АР+ АВ+ ВВ, А — АР+ АА, АС, РВ, =(АВ+ АР+ АА,)(А — АР+ АА,) = АВ'+ АРх х АВ+ АА, . А — АР А — А(У вЂ” А0 АА, + АА АВ+ АА, хх АР а АА,'= АВ'+ 2АА, А — АР+ АА,' = ! + 2 Π— ! + 1 = !. )АС,! =)АД = 2, ~РВ,! = Г2, АС, РВ, ! зГ2 соз(АС, " РВ,) = )АС, г!РВ, ) А № 463, Введем векторы а РА, Ь = РВ, с = РС (рис.

26!). По условию АРЛ.ВС и в ВР ). АС, поэтому а 2. (с — Ь) и Ы. (с — а). То- гла а(с — Ь) = О и Ь(с — а) = О. Отсюда получаем Ь с' ас=аЬиЬс=Ьа. Из этих двух равенств следует, что а с = Ьс, Рис 2б! или (Ь вЂ” а)с = О.Но Ь вЂ” а = АВ, с = РС, поэтому АВ РС = О, и, значит, АВ ' СР, чю и требовалось доказать. №464 созгр= ! ' ' У' У к1+у,'+с,' к,'+у,'+с,' 173 2. Скаля ное п оиэведение векто ов а) АВ [1; 1; — 2); С0 (1; 0; — 1» соагр = )!+О+ 2/ 3 3 ГЗ ГЗ вЂ” ~ — — — — Ч! = ЗО'. 16!+4.

1+0+1 12'13»12 6 2 б) АВ (1; 0; -1); С0 (О; -2; 2), 6+0-2( 2 1 соагр= ' ' — —, гр =60', злат ~гт~ 4 4 л2з1 в) АВ(1;1;-2);С0( — 2;-2;4), )-2 — 2-Й 12 !2 совр= ' ' — — =1 гр=О'. ЗГ ГТЗЗО Ч"Г~ Х:ЛГ ЗГ76 ~ г) АВ (-1; 0; 1); С0 (О; 0; -2), (О+0-2( 2 42 соыр= — = — = —, гр= 45. 41+! Г4 2 l 2 2 № 465. (рис. 262). Примем АВ = а, следовательно АА, = а /2. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. Вершины А, В, А„С, имеют следующие координаты: А ( —; —; 0), В (О; гб 0), А, ( —; —; ан'2), С,(0; 0; нГ2), 2 2 ' 2 2 анГЗ а — а /3 а АС, ( —; —; а Г2), ВА, 1 —; —; а Г2) 2 2 ' 2 2 с, в, ! Вр Рис 262 174 Глава К Методкоо динатвл ест анстве В екторы АС, и ВА, являются направляющими векторами пря- мыхАС, иА,В.

Пустьгр — угол ма прямылгиАС, иА,В 1 — а'+ — а'+ 2а' 4 4 совгр = ! , откуда гр = 60 2 ля 466. Примем сторону куба АВ = а, Зададим прямоугольную систему координат Охув (рис. 263). Следовательно, вершины куба имеют координаты: А (а; 0; 0), В (а; а; 0), С (О; а; 0), Р (О; 0; О), А, (а; 0; а), В, (а; а, "а), С,(0; а; а), Р, (О; 0; а); Ри .

2бЗ с точки М и дГ: М (а; О; -а), Ф ( — в; в; 0). 3 ! '4 ' 2' ! 3 в)МФ( — а;а; — а),РР (О;0;а), 2 4 + 0- — а' 3 4 3 4 ЗЛ6 3 29 4729 ~29' 1 !6 б) ВР ( — а; -а; 0), — а'-а'+ сомр = ! а .д 29 д 2Т2 ~/29 !6 4 2 2 /29 2 /58 в) В,Р( — а; — а;-а), 17б Глава у. Мото коо динатв п ост энствэ а) АС ( — 2; 1; О), Р, В (2; 1! — 3], (-4+1( ~/3 3 /4+1 „/4+1+9 ~/5 /Г4 ч'70 б) АВ, (О; 1; 3), ВС', (-2; 0; 3), 9 9 7Г'9 ~~ 9 7~07!Э тг' в) А,Р( — 2; 0; — 3), АС, ( — 2; 1; 3), сощ = 74+974+! 9 43 тт 78т' ,Ь(ь 469. Примем сторона куба АВ = а (рис.

2б5). Введем прямоугольную систему координат. РА(а;0;0), РС(0;а;0), РР, (О;0;а), 4 1 ! — ' 3 ! М ( — а; 0; а), Ф (-а; — а; 0), МЮ ( — а; — а; — а). 5 2 2 10 2 Согласно формуле п. 48, задача 2: 5!и ф = !Соь О(, где ф — угол между прямой и плоскостью; 0 — угол между прямой и ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости. а) РР, перпендикулярен плоскости АВСР, миф =(сов( Млч " РР )( = Г)+ 0- а'! Рис 2б5 а' 10 9+ 25+100 434 !00 02. Скаля наел оизведениевекго ов 177 б) ОА перпендикулярен плоскости РО,С,С, 3 — а 10 3 10а' 3 з(а<р =!соз(МФ " РА)) = !34 з(-г 1О 4!34 4ч'а' Л34 100 в) ОС перпендикулярен плоскости АА,Р,(3 -а 2 ( и 1О 5 5!пф =!СОБ(ОС МУ)1= 134 гт а' 2 Л34 /!344 а!( — ча' 100 № 470. Введем прямоугольную систему координат (рис.

266). А (2; 0; 0), В (О; 0; 0),С (О; 1; 0),. Р (О; 0; 2), М (1; 0; 1), 1ч' (О; —; 0), ! 2 Воспользуемся формулой из задачи 2 п. 48: з(п у = !соз 0~, где га — угол между прямой и плоскостью; 0 — угол между прямой и ненулевым вектором, перпендикулярным к этой плоскости. а) Вектор ВС перпендикулярен к плоскости АВО. х 1 ВС (О; 1; О), МУ ( — 1; —; — ! ), Рис 2бб 2 ~О+-'ь(~ ! з(пгр = соз!ВС" МФ( = ч(( ~1+ — +! 1 Г9 3 3 (( 4 14 2 б) вектор ВА перпендикулярен к плоскости ОВС.

ВА (2; 0; О), (-2! 2 2 з!жанр = соз1ВА " МУ/ = Г4 1+ — +1 3 3' 4 2 в) вектор ВО перпендикулярен к плоскости АВС. ВО(0; 0; 21, 178 Глава К Метод кос динатал ест анстае — (-2( 2 2 В»в" ин = ~Г4 ~!+ . +! 2— 3 3 4 2 Х» 47(, А,С вЂ” диагонаи куба; РВ— диагональ грани куба (рис. 267). Введем прямоугольную систему коорлннат. Примем сторону куба АВ = АР = а. Следовательно А, (а; 0; а), С(0; а; 0), А,С (-а; а; -а), Р(О;О;0), В(а;а;О), РВ(а!а;О).

Рис. 247 — /а' -а'! сов(РВ" А,С) = = 0 ° Йа' 43а' Значит, РВ "А,С = 90', и, соответственно, угол между прямыми А,С и РВ равен 90 . Доказано. вч» 472. Введем прямоугольную сис- Лг Р, тему координат(рис. 268), Примем стов рона куба равной а. Следовательно: 1 !) М,(а;0;а), Р(0;а;О), РМ, (а; — а;а); М(а;0;0),(3,(0:0;а),М(3, (-а;0;а). РМ, и МЦ, — направляющие векто- М (2 ры прямых РМ,и МЦ„угол мсжлу ним» равен углу межлу этими прямыми. Рввс. 2б8 1 За' /2а' значит, угол между прямыми РМ, и МЦ, равен 90' Докажем, что прямая МЛГл пересекающая прямую МД, в точке Ми лежащая в плоскости МЛГЦ, (как и прямая МЦ,), тоже перпендикулярна прямой РМс ЛГ, (а; а; а); МЛГ, и РМ, — направляющие векторы этих прямых.

МЛГ, (О;а;а). бк. Скаля нова оизведениевекто ов (-а'+ а! соз (РМ, * МАг,) = = О, РМ, " Мдг, = 90*. За' ч'2а' Мы доказали, что РМ, З. М(З,; РМ, .1. МУ,; М(З, лежит в плос- кости МАг(Зя МЮ, лежит в плоскости МАг(Зя Эти прямые пересека- ются в точке М. Значит РМ, перпендикулярен плоскости МАгДя 2) Прямые ОМ и ОР, лежат в плоскости О)тР, и пересекаются в точке О. Д (О; 0; О), АГ(а; а; О), ЦлГ (а; а; О), Р,(0; а; а)ЯР, (О; а; а).

соз(РМ, "Д)У)= =0; РМ, Л.(2зУ За' 2а' (-а'+ а'~ сов(РМ, " ОР,) = = О, РМ, З. ОРя За' ° 2а' Таким образом, прямая РА, перпендикулярна плоскости ЦНРя № 473. Введем прямоугольную систему координат так, что луч ОА будет совпадать с осью Ох, ОВ с осью Оу, ОС с осью Ое. Отложим на лучах отрезки: ОА = ОВ = ОС = 1 (рис. 269). Получим тетраздр АВОС. ОМ и Одг — биссектрисы углов к.'АОС и ЛАОВ.

АМ = МС = — АС; АУ = АгВ = — А В. 1 1 2 2 А (1; 0; О), В (О; 1; О), С (О; 0; 1), 1 1 1 1 М(-; 0; — ),Аг(-; —; О) (см. п. 45 а); 2 2 2 2 1 1 1 1 ОМ( —; 0; — ), Одг( —; —; О). 2 2 2'2' Рис 269 180 СлаваК Мегодкоо инагвп осг ансгве ОМ "ОУ = 60'. ОМ и ОМ вЂ” направляющие векторы лучей ОМ и Огт'.