atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 2

— уь) + у,; (т„— С,) + т,) й (5 — (-2) + 0; -1 — 1 + 0,2;! — 0 + О) й (7; — 1,8; !) ж) й - Ь - с =/ 1 (х„— х,— х,;у,-у,— у,;т,— ть-т„) ! (5 + 2 — 0; -1 — ! — 0,2; 1 — 0 — 0); / (7; -2,2; 1) з) Вектор 2а имеет координаты (2х„2у,; 2с,), илн (10; — 2; 2). н) Вектор — 3 Ь имеет координаты: (-Зхб — Зу„— Зс,), или (6; -3; 0).

к) -бс (-бх„ -бу,; -бс,), -бс (-б 0; -6 0,2; -б О), -бс (О; -1,2; 0) 1- 1 ! ! 1- 1(!) 1 2 1/!1 л) — ьУ ( — х„— уй — с,), — ьУ ( — ~ — ); — 2 —; — ( — ~), 3 3 3'* 3'' 3 3(, 3)' 3 5' 3(, 7)' 1-1 12 1 1-1 4 1 — ьг'(-; — —; — ), или — ь((-; --; — ) 3 9 .!5 21 3 9 5 21 м) Вектор 0,2Ь имеет координаты (0,2х,; 0,2у,; 0,2с,), или ( — 0,4; 0,2; 0) 74а 4!О. Из условия а: х, = — 1, у„= 2, с„= 0 Ьх =0 у = — 5 с = — 2 ь ь с:х,=2,у,=1,с,= — 3 Для вектора р рассмотрим каждое слагаемое отдельно: ЗЬ (Зхь( Зуь' Зсь) ЗЬ (3 ' 0' 3 ' ( — 5)1 3 ' ( — 2)). ЗЬ (01 151 61). д Коо инатыточкиикоо динатыввкто а 137 Обозначим ЗЬ = йь -2а ( — 2хй -2уй — 2т), -2й ( — 2 (-1); — 2 2; -2 0), -2 а (2; — 4; 0).

Обозначим -2а=й. Следовательно р=ЗЬ-2й+с=е+й+й будет иметь координаты: р(х,+х„+хйу, +у„+уй т. + с„+ т„), р(0+ 2+ 2;-15-4~1„— б+0-3) р (4; — 18; — 9). Для вектора д аналогично имеем: Зс (Зхй Зуй Зт,), Зс (3 2; 3 1; 3 (-3)), Зс (6; 3; -9). Обозначим Зс = т. -2Ь(-2хй-2уй 2с) 2Ь( 2'01-2'( 5)' 2'( 2Ц -2 Ь (О; 10; 4). Обозначим -2Ь = е. Следовательно д = Зс — 2Ь+ а=к+ е+ а 9 (х, + х, + хй у, + у, + у„; с, + т, + с,), д (6+ О+ ( — !); 3+ 10+ 2; — 9+ 4+ 0), й (5; 15; -5) № 411.

Согласно правилам суммы, разности, произведения век- торов имеем: а) Зй (3 (- 1); 3 1; 3 1;), Зй ( — 3; 3; 3), 2Ь (2.0;2 2;2 ( — 2)), Введем обозначения; (Зй+ 2Ь) -с =й — с; й = Зй+ 2Ь; й ( — 3; 7; — 1); с ( — 3; 2; 0); й - с = т т (-3-(-3); 7-2;-1-О), г (О; 5; -1) б) 2с (2 (-3);2 2; 2 О), 2с (-6; 4;О);а(-1; 1; 1) -а+2с-й=( — а+2с)-г(=р-с' р= 2с -а; р ( — 6-( — 1) 4-1;0-!); р ( — 5; 3; — 1); о ( — 2; 1; — 2) р-в =д;9 (-5-( — 2); 3-1;-1-( — 2));9 ( — 3; 2; 1) в) 0,1а(0,1 (-!);О,! 1;0,1 Ц, 0,1а(-0,1; 0,1; 0,1) ЗЬ (3 Ю 3.

2; 3 (-2)), ЗЬ (О; б; -6) 0,7с (0,7.(-3);07 2;0,7 0;), 0,7с ( — 2,1; 1,4; 0) 5в'(5 ( — 2); 5 1; 5 ( — 2)), 5с'( †!О; 5; †!0) 1ЗВ Глава К Метод кое инатвп ост анствв Выиолним сложение. Тогла в выражении 0,1а+ 36+0,7с-л обозначим'.0)а+ ЗЬ =л,й+ О 7с = Гл, т — 5г/=/ л (-О,! + 0; 0,1 + 6; 01 + ( — 6)), й ( — 0„1; 6;1; — 5 9), т (-0,1+ (-2,1); 6,1 + 1,4; — 5,9 + 0), ль ( — 2,2; 7,5; -5,9).

/ ( — 2,2 — (-10); 7,5 — 5; — 5,9 — (-10)),Д7,8; 2,5; 4,1). г) 2а(2 ( — 1); 2 1; 2.!), 2а ( — 2; 2; 2), ЗЬ (О; б; — 6). 2Ь(0;4; — 4),й-26 =7',Х( — 1 — 0;! — 4;! — ( — 4)),У(-1; — 3: 5). 2а+ ЗЬ=е,е( — 2+ 0; 2+ 6; 2+( — бН,е( — 2; 8; — 4), а — Ь = е, ф (-! — 0; 1 — 2; 1 — ( — 2)), Я ( — 1; — 1; 3), 2ф ( — 2; — 2; 6) Слсловатсльно (2й+ЗЬ)-(й-2Ь) будет иметь координаты (-2 — ( — 1); 8 — (-3);-4 — 5)!, или ( — 1; !1; — 9) и следовательно (2а+ ЗЬ)-(й — 2Ь)+ 2(й-Ь) будет иметь координаты ( — 1+ ( — 2); 11+ (-2); — 9+ 6), или ( — 3; 9; — 3). № 4!2. Для вектора ~ это будет вектор с противоположным знаком( — ~'),лля /этовектор( — 7) ит.л.

ю' 11; 0; О), -/ (- 1; 0; О); /з(0; 1; О), -ук (О; — 1; О); Й (О; 0; 1), -/г (О; 0; — 1); й (2,' 0; 0), -й (-2; О,' О); Ь (-3; 5; -7), -Ь (3; -5; 7)1 с (-О,З; О,' 1,75), — с (0,3;0;-1,75). № 413. а) Коорлинаты вскт<>ра а (3; 6; 8) пропорц1нзпип ны координатам вектора Ь (6; 12;! 6): 3 6 8 1 — = — = —, глс/г=- 6 !2 16 2 Поэтому а--ЬЬ, и тогда векторы й и Ь колли нсарны. б) Коорлинаты вектора с (1; — 1; 3) не нронорниональны координатам вектора г/(2; 3;! 5), например: ! 1 2 3 Поэтому векторы с и г/ нс коллинеарны.

в) Координаты вектора Ц!; 0; О) не пропорциональны координатам вектора / (О; 1; О), значит, векторы ~' и /' нс коллинеарны. 139 !. Кос динаты точки и кос инаты вокто а г) Координаты вектора гл (О; 0; 0) и вектора л (5; 7; -3) пропорциональны при гг = О, значит, векторы гл и л коллинеарны.

! д) Координаты вектора р ( —; -1; 5! не пропорциональны ко- 3 ординатам вектора д ( — 1; -3; -15), например: 1 3 — ив -1 -3 Поэтому векторы р и д не коллинеарны. № 414. Для коллинеарных - х, у„ а=lгЬ: — '= — "= — ' х, 15 гл ! 5 а ) — = — =-=- 18 12 л б векторов есть А такое, что гл 0,4 1 б) — = — ' Ы' ' 1 ( 5(, 2! гл=- 12=5 2=10 5 б б 1 и = — =1- =1,2 5 5 и = 0,4 ( — 5) = — 2 №415. а) Векторы а!-3; — 3; 0),г' (1;0; 0] и 7(О; 1; 0) компланариы, т.к. записав равенство а = х~' + уГ' в координатах, получим -3=1 х+О у -3=0 х+1 у 0=0 х+О у у =-3 Эта система уравнений имеет решения относительно х и у, значит, вектор а можно разложить по векторам ~' и у. Векторы а, г и гт компланарны.

б) Запишем равенство Ь = хг + уг' в координатах: 2=1 х+О у О=О. +! у — 3=0 х+О у Система нс имеет решений. Значит, Ь, ~' и г' нс компланарны. 140 Глава Ч. Метод кос динатв л ест анствв в) Запишем равенство с =х) + у/г в координатах: с(1;0;-2),гт(1; 0;0),ЦО;0; 1). 1=1 х+О у 1=х 0=0 х-0 у 0=0 -2=0 хе!у -2 =у Система имеет решения, значит, вскторы с, 7 и )г комг1ланарны.

г) Векторы г((1; -1; 2) и е ( — 2; 0; 1) не коллинеарны, т.к, координаты одного не пропорциональны координатаи другого. Если вектор Г (,5; -1; 0) можно разложить по векторам с и е, то векторы гг', е и у'компланарны. Если жс вектор нельзя разложить по векторам г( и е, то векторы а, е ну'нс компланарны (в противном случае вск- тор У можно было бы разложить по векторам гг и е). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор у разложить по векторам с) и е, то есть существуют ли числа х ну такие„что у'=хг(+уе. Записывая это равенство в координатах, получим: 5=х-2у -1=-х 0=2х+у Система имеетрешсние:х 1,у = — 2.

Поэтом) всктооУможно разложить по векторам Э и е, и, значит, векторы а, е и у компланарны. д) Запишем равенство Гл = хй+ ур в коорлинатах: 1 =х -у, у =х -! О=х+ 2у, х=-2у 2=-х+4у, х=4у — 2 Система нс имеет решений. Поэтому векторы т,л и р не компланарны.

е) Запишем равенство д =хт + уй в координатах: 141 !. Кое динвты точки и кое динаты аекто а 0= Зх+ у,у =-Зх 5=3х+у,у=5-3х 3 3 3=3х+4у,у = — — -х 4 4 Система не имеет решений. Поэтому векторы 4, г иВ не компланарны. № 416. А (3, 2; 1); В (1; -3; 5); С(--; О 75; -2 — ), т к. координаты 1 3 3 4 любой точки равны соответствующим координатам ее радиус- вектора и. 44, № 417.

ОА (2;-3;0), ОВ (7; -12; 18), ОС (-8; 0; 5), т.к. если О— начало координат, то ОА, ОВ и ОС вЂ” радиус-векторы для точек А, В и С. (См. задачу 416.) № 418. а) АВ(2-3; -1+1; 4-2), АВ (-1; 0; 2); б) АВ(3+2;-1-6; О+2), АВ(5; -7; 2); 1 ! 5! ! -- 1 ! ! в) АВ( — — 1,' — --; — — — ) АВ ( —; —; — ), 2 3 б 4 2 2 2 2 № 419, Т.к. А (1; б; 2) и В (2; 3; -1) являются концами вектора АВ,то имеем: АВ(х,— х,;у,— у„;е,— е) АВ(2 — 1; 3 — б; — 1 — 2), АВ(1; -3; — 3). Разложив по координатным векторам ! (1; 0; О), ун (О; 1; 0)и /с (О; 0;!), получим: АВ = ~ — Зут — Зк.

Точки В (2; 3; — ! ) и С ( — 3; 4; 5).- концы вектора ВС. ВС( — 3 — 2'4 — 3'5+ Ц ВС( — 5'1'б). ВС= — Я чунчб/с. Точки А (1; 6; 2) и С ( — 3; 4; 5) — концы вектора СА. СА (1 + 3; 6 — 4; 2 — 5), СА (4; 2; — 3), СА = 4Т + 2ун — ЗЙ. 142 Глава Ы Метод кое дина т в и оот анстве № 420. Определим координаты: А В (2 — 3; 3 + 1; -4 — 5), АВ ( — 1; 4; — 9), ВС (7 — 8; О + 4; -1 — 8), ВС (-1; 4; -9). Т.к, АВ и ВС имеют одинаковые координаты, то будучи отложены от начала координат.

зти векторы совпалут. Это означает, что векторы АВ и ВС раины, что и требовалось доказать. Рассмотрим векторы ВС и АВ. ВС (7 — 2; Π— 3; — ! + 4), ВС (5; -3; 3). АВ(8 — 3; — 4+ 1; 8 — 5), ЛВ(5; — 3; 3). Векторы ВС и .40 тоже имеют олинаковыс коорлинаты. а значит, проводя аналогичные рассужлсния получим, что векторы совпалуг. № 421.

а) Если векторы АВ и ЛС коллинеарны„то точки А, В и С лежат на олной прямой, а если не колл инеарны, то точки А, В и С пе лежат на одной прямой. Найдем координать< этих векторов; .4В ( — 8; 11; — 7), АС(24; — 33; 21). Очевидно, АС = — 3АВ, поэтому вектора< АВ и АС колли нсарны, и, тогда, точки Л, В и Слежат на олной прямой. б) Найлом координаты векторов АВ и АС АВ19; — !5; — 9), АС (! 8; — 30; — 18).