atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 10

По формуле (2) п. 45 координаты точки О: 1 к = -(О + 2) = 1; 2 ! 3 у = -(2 + 1) = — = 1,5; 2 2 1 3 с = -(2 + 1) = — = 1,5. 2 2 О (1; 1,5; 1,5). 202 Главе К Метод кос инагвп ест ногае № 504. Введем прямоугольную систему координат Охуе так, чтобы плоскость а совместилась с плоскостью Олу. с~А,ВС, проекция ЛАВС на плоскость Оху; М, — проекция точки М. ~ А (х„; у„; 4), В (х„; у„; 9), С (х„„' у,з 5). М вЂ” точка пересечения медиан .!зАВС.

М(х„; у„; з„), гле с„— искомое в, расстояние от точки Мдо плоскости Рис 297 а (или плоскости Оху) (рис. 297). Если известг!ы координаты вершин ЛАВС, то точка пересечения медиан имеет координаты: (' ' ' ' ' ' ' "' ")( задач 423) 3 3 3 х, 'ха ч хк У, ч У8+Уг Е, + Ее+ Ее 3 3 3 0 № 505. Примем Е„Е, Е„Е, — середины ребер ВС, АР, АВ и РС, Точка О— середина отрезка Е,Е! ЕЕ, — средняя линия грани АВ0.

Точка М, — точка пересечения медиан основания (рис. 295). ! Е,Е, = — ОВ. I 2 кд С ! А се- Я] Аналогично Е,Е, = — РВ, ь 2 Е, ! †' В Е,О= Е,Е + Е,О= — РВ+ Е,О ОЕ, = ОЕ, + Е,Е, =ОЕ, + — ОВ. Но по условию ОЕ, = Е,О, позгому Е„О = ОЕ„то есть точка Π— серели на отрезка Е, Е,. (-- ! 00= РЕ, е Е,О = — РА+ — Е,Е,; Е Е, =Е,Р+ РС+СЕ,; Е,Е, = Е А+ АВ+ ВЕ, 203 ополнительные задачи Сложим эти лва равенства и заметим, что Е,д+ Е,А = О, ЕС+ Е В= 0 — поусловиюзацачи. Получим: 2Е Е, =Е 0+Е А+СЕ, +ВЕ, + РС+АВ= РС+АВ, Е, Е, = -(РС + А В), — 1 — 1 — ' 1 — 1 1 — ' 1 — ' 1 00=-РА+-Е,Е,= — РА+ — — (дС+ АВ) = — РА+ — РС+ 2 2 ' ' 2 2 2 2 4 1- 1 — 1 — 1-' — 1 +-АВ = — дА+ — РС+ -(Р — РА) = — (РА+ РВ+ РС); (1) 4 2 4 4 4 РМ РА+ АМ = РА+ -АЕ = РА+ — — (АВ+ АС) = 3 ' 3 2 = ОА+ ((Р — РА) + (РС вЂ” РА)) = РА+ -(РВ+ РС вЂ” 201) = 3 3 1 ' 1 1-.' 1 = — РВ+-РС+-РА =-(РВ+ РС+ РА); 3 3 3 3 РВ+ РС+ 0А ЗРМ, (2) Подставим (2) в (1): 3-- 1- РО 3 дО=-РМ„значит,ОМ, = -Р̄— =-.

4 ' ' 4 ' ОМ, 1 Значит, тачка О лежит на отрезке РМ, и делит его в отношении 3:1, считая от вершины. Повторив рассуждение лля других пар смежных граней, можно доказать это для всех остальных мслиан тетраэдра. Значит, все медианы тстраэдра пересекаются в одной точке, ко- торая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. №506.йЬ=х, х,+у, у,+с, а)йЬ= — 1 3+5 0+3 2=3; 1 1 б) йс = — 1 — — 3 5+ 3 4 = — 15+ 12 — — = — 3,5; 2 2 в) в' г( = 2' + 1' + О = 4 + 1 = 5; 204 Глава К Метод кос динатвп ос внстве г) (а+ Ь + с) а' = а д + Ь с! — с Ы = -1 2+ 5 1+ 3 0 в + 2 3+ О+ О+ — — 3+О -2+ 5+6+! — 3 7 2 2 1 3 д) (а — Ь)( с — В) = а с — Ь с — а В+ Ь В = — — 15 + 12 — — + 2 2 + Π— 8 + 2 — 5 + 6 .= -10 № 507.а) с'.АОВ= 45'= ОА" ОВ, ОВ= -ВО, ОА ВО= 180' — 45' 135'.

б) Отложим из точки В векторы р =СВи9 = РВ(рис. 299). ОВ "СВ= р" ((= к.'ОВС, Рассмотрим ЛОВС. с'.ВРС= 60', ОС = РВ, значит, к.ОСВ = к'.СВО (треугольник равнобедренный). к.ОСВ+ л.ОВС = 120', значит, с'.ОВС = к'.ОСВ = 60*. Рис. 299 в) ВО" ВА = ~РВА. ЛОВА— равнобедренный, значит, 180'-45' 135' ~ОАВ = ~РВА = = — = 67'30.

2 2 № 508. По определению проекции прямая .00, нерпе!шикулярна плоскости АВС, значит, она перпендикулярна всем прямым, лежашим в этой плоскости. а) ОРЗ ОВ. 00 — направляюший вектор прямой 00; ОВ— направляюший вектор прямой О,В. Значит, О, В Л. Р,О. б) РО, также направляюший вектор прямой Р,О, которая перпендикулярна плоскости АВС.

00, .( ВС, поскольку ВС лежит в 205 Дополнительные задачи плоскости АВС. ВС вЂ” направляющий вектор прямой ВС. Значит, 00, Л. ВС. Поскольку 0,0= — РР„то угол гр, между 00, и плоскостьюАВСравен: д,=!80' — гр, гдето = 90' — угол междуна, и плоскостью АВС(см, а)); в) РА и ВС вЂ” направляющие векто- Р ры прямых 0А и ВС. Если РА ) ВС, то РА 3 ВС. ! Поскольку тетраэдр АВСР— пра- 1 вильн ый, то его вершина Р проектируется в центр треугольника АВС (рис. 300).

Если мы провслем в ЬАВСвысотуАМ,то высота тетраэлра 00, пересечется с вы- " Р~ - м сотой ЕАВСвточке 0.. 1) СВ2.АМ, т. к. АМ вЂ” высота Е АВС; Рис 300 2) СВ.1 00„т. к, 00, перпендикулярна плоскости АВС; 3) АМ и И), лежат в плоскости И),А, — прямь|с АМ и РР, пересекаются. Из 1), 2) и 3) слелует, что СВ перпендикулярен плоскости РО,С, значит, СВ 3. РА, ВС 3. РА. г) РС и Р,В не перпендикулярны, т,к. прямые РС и 0,В не перпендикулярны. Если бы СВ 1 О, В, то по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, СР, .1 Р,В. Но это прямые, солержашие медианы правильного треугольника.

Они не перпендикулярны. )Чь 509. По формуле (2) п. 48 солгу, где гр — угол между прямыми, равен 1соа 6(, где 8 — угол между направляющими векторами этих прямых. соа р = 1соа АВ " СБ(. а) АВ (1; 1; — 2); СР ( — 3; 3; — 1) (см. п. 44). 206 Глава К Метод кос динатал ост анстве сов !р— 7! ! ! ! ! !,!,'в т!!!' б) АВ (-5; 1; 1);СР(2; 2; — 2) )-1О+ 2-2! 10 5 7!! ! ! 74+! ! !т! !77! ! № 510. Примем, что ребро куба равно а.

С!!едоввтельно, вершины куба имеют координаты: А (и; О; 0), В (а; а; 0), С (О; а; О), Р (О; О; 0), А, (а; 0; и), В, (а; а; а), С, (О; и; а), Р, (О; 0; а). сомр = Рис ЗО! и а — а-2а а в) А,Р( — а;0; -а), М( —;и; — ), АМ ( —; в;-) 2 2 2 2 — а(а - 2а) а' сок(А 'Р" ~М) = — а +2а -и ! 7 ! = 0; А, Р " АМ = 90'. а и б) МР ( —; а( — ). ВВ, (О; 0; а), 2 2 а' 1 сов(МР ВВ, ) . '.. ° '.7 '14 4 — — —; МР" ВВ, = 114'Об'. 2 а' Гб Гб 207 ололнительные задачи № 511. Вычислите длины векторов АС, и ВР,.

АС, = АВ+ ВС+СС, = АВ+ АР+ АА,, АС, АС, = ~АС,('соаО', АВ'+А0 АВ+АА, АВ+АВ АР+ / и - А(У+АА, АР+АВ АА, +АР АА,+ А. ! + АА,' АВ'+ 2АР АВ+ 2АА, АВ+ 4 -' А)У+2АА ° АР+ АА '= !'+ 2 !'х хсоабО'+2 1 соа60'+ !'+2 !'х 1 хсоабО'+ !'= 3+6 — =6; 2 !АС,!' = 6; !АС, ) = чб ВР, = ВА+ АР+ 00, = АА, + А0 — АВ, В0,' = !ВР,! сох О', (АА, + АР— АВ)(АА, + АР— АВ) = !ВР,'~ АА,'+ АР АА, — АВ АА, + АА, АР+ АР' — АВ АР— АА,х х А — АО АВ+ АВ'= АА,'+ 2АР АА, — 2АВ АА, + АИ— — 2АВ АР+ АВ'= !'+ 2 !' соабО' — 2 !' соабО'+ !' — 2х х 1' соа 60' + 1' = 3 — —: = 2 = ~ВР !'; !ВР ) = ч2, А В тьье 302 № 512.

РВ.! АС;АО= ОС= 4; РО=ОВ= 3. ВС= /3'+4' = /25 = 5, ВФ= СФ= 2,5. ОВ 3 ОС 4 соя к'.ОВС = — = —, соа ЛОСВ = — = —. , ВС 5 ВС 5 а) МФ и ВС вЂ” направляющие векторы прямых М!Ч и ВС Косинус угла между прямыми МФ и ВС равен сок (МЛ' * ВС) (рис. 303). 210 Глава К Метод кос динатвп ест анстве № 513. Примем, что сторона куба равна и. Введем прямоугольную систему координат. Синус угла между прямой ФМ и плоскостью РР,С,С, равен )сов ()УМ РА)~. а) Ф (-и; 0; 0); А (а; О; О); 3 5 А, (и; О; а); В (а', и; 0); В, (а; а; и); М (а; и; — ); Р (О; 0; 0); Зи 5 рис 304 — 2а Зи й(М ( —; а; — ); РА (а 5 5 По формуле (2) п. 48: О; О). -и +О+ 2 5 2 — и )сиз(ЙМ " РА)) = 4+ 25+9 25 2 ! 2 5 2 5 38 5 )38 ~38 1( 25 б) Синус угла между прямой М)т' и плоскостью А,ВС,Рн равен ()УМ " АА )).

АА,(0; 0; а) 3, +О+-а' )сов ()УМ " АА, )! = 38 а ( — ч'а' 25 3 и' 3 5 3 5, 38 5 /38 ~Г38 'г' 25 № 514. В задаче 4бО, которая решена в учебнике, доказано, что координаты ненулевого вектора и в прямоугольной системс координат равны (Д сез ар,; асов <р,; Д сояр ), где гр„~р, и <р, — углы, которые и составляете осями координат. и = ~*' '7;7,.*,У,,— ° .„-- . з--. Дополнительные задачи Ц~ х~ +у! ь е~ Да оса)р + )г(~ созга + )с)~ соа~<р Д~ (соа~<р + + соатр, + соз~лз,), соа~<р, + собр, + соа~<р, = !. Доказано. Ма 515. Проведем из точки С прямую Сг, перпендикулярную плоскости АОВ, в плоскости АОВ проводим ВА 2. ОА, ГВ 2. ОВ.

По теореме о трех перпендикулярах СА 2. ОА и СВ 3.. ОВ. Примем ОС = а. Рис 305 Из БАСРА ОА = ОС сов 60' = —, а из ЬСОВ ОВ = ОС соя 45 = —. 2 чГ2 Для АЛОВ запиюем теорему косинусов; АВ' = ОВ + ОА' — 2 ОВ ОА соа 45", 2 4 ~/2 2 /2 2 4 2 4 2 Итак, сзАО — равнобедренный, ОА = ЛВ; БРАВО = 45', ~ОА В = 90'. — Тогда, отрезок ВА совпадает с отрезком АВ и точка С проектируется в точку В.