atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 11

НО и СВ перпенликулярны к плоскости АВО, значит они лежат в олной плоскости, к'.НОВ= 90', к'.СОВ= 45, значит, искомый угол 0 = 45'. М 516.СА Л. АВ. Из точки А проведем ОА ) АВ, ОСЛО= ~р. Построим точку О в плоскости АВР, ~акую, что ОА ( АВ и ОР )) АВ (рис. 306). Не умаляя обгпности можно считать, что АС = АО, иначе рассмотрим точку С, на прямой АС, такую, что ЛС, = АО. 2!2 Главе К Метод кос инвтвп ест внстве 001!АВ, аОА 2. АВ, значит,00 2. ОА, По теореме огрех перпендикулярах СО .1 ОР.

Примем АР = а. В гзАОР: АО = а з|п О, ОР = а соз О. В гзОАС по теореме косинусов СО' = ОА'+ АС" - 2 АС АО соз гр; СО' = а'яп'+ а'яп'Π— 2а'яп'Осоз~р = 2а'яп'О (1 — сезар). В прямоугольном ЬСОР СР' = ОС'+ 0(У; СР' = 2 а'яп'О(| — сох гр)+а'соз'О. В г.'гСАР по теореме косинусов искомый к.САР = х; С!У = СА'+АР' — 2 СА.АР созх. 2а'яп'О(! — созгр) + а'соз'9 = а'яп'О+ а' — 2а'згп Осозх, 2 яп' Π— 2 х|п' О соз д + соз' О = з|п' О + 1 — 2 яп О соз х, я и' Π— 2 э|п' О соз гр+соз' 9-1 = -2 яп О соз х, 1 — 2яп'Осозчг — 1=-2япбсозх, 2 яп' О соз ~р = 2 в|п О сов х, яп 9 и О, поэтому яп О соз р = сов х.

Рис Зса № 517. Ч срез точку 0 проведем луч параллельно ребруАВ; через точку А проведем луч, перпендикулярный ребру АВ; эти лучи пересекакгтся в точке Р Таким образом, АГ 2. гР. Проведем отрезок СЕ и отрезок СР. По теореме о трех перпендикулярах СВ 2 ВР и тзСГР— прямоугольный (рис. 397). АЕР — прямоугольник, АВ = ВР = р, А В = г0 = гл.

Для ЬСАГзапишем теорему косинусов: г)з Дополнительные задачи Сс'= АС'+АР' — 2 АС АГ соа !20' = п'+р — 2пр сох(!80'— с — 60') = и'+р'+ 2пр ° вЂ” =п +р + яр. 2 В схСЯ); СВ' = СЕ' + ЯУ, СФ = п' + р' + пр + т'! сс-,~' р'+ '+.р Рис. 307 № 518. а) По условию а !! а, значит все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости а. Предположим, что при движении а, не параллельна а, значит, а, пересекает а, то есть точки прямой а находятся на различных расстояниях от плоскости ап а это противоречит тому, что при движении расстояние между точками сохраняется. Предположение неверно, а, (~ ас б) Дано: Результат движения; Рис, 30с Примем йт — точка плоскости а, в которой а пересечета.

Выберем произвольные точки А па, Ваа, Са а, так, чтобы точки В М,С не лежали бы на одной прямой. (рис. 308). 214 Глава У. Метод коо инат в п оот аистов ЛАМВ и " АМС вЂ” прямоугольные; АМ' = А — ВМ' = АС' — СМ'. При движении АВ = А,В„АС А,С, АМ = А,Мг Значит, А,М, перпендикулярна плоскости а, по признаку псрпснликулярности прямой к плоскости. № 519.

РО 3. АО,АОса. Выберем нарсбредвугранногоугла РО точку О; проведем ОВ Л. РО, ОВ, 1 Ро,. к'.ВОА = ~9 (рис. 309). Рис 309 При зсркальной симметрии точка В е () перейдет в точку В, е (3, при ззом а3. В,В и проходит через середину отрезка В,В: ВК= В,К. гзВ,ОК= "ВОК, они прямоугольные, ОК3 РЦ, ОК вЂ” общий катет, В,К = К — по определению зеркальной симметрии, Тогда, ~ВОК= к'.ВОК= г9, поскольку линейные меры двугранных углов равны, то и соответствующие лвугранные углы между плоскостями а и (3, а и (), тоже равны. № 520.

а) Выберем в плоскости а точку К и проведем через нее две пересекающиеся прямые а и Ь (рис. 3! О). При движении (параллельном переносе) прямая Ь переходит в параллельную сй прямую Ь„а прямая а — в параллельную ей прямую ак Поскольку а и Ь пересекаются, то а, и Ь, тоже пересекаются. Через а, и Ь, проведем ополнительные задачи плоскость аг Если две пересекаюгдиеся прямые олной плоскости соответственно параллельны двум прямым лругой плоскости, то зти плоскости параллельны. Таким образом, а 'В иг Доказано. б) Проведем на п;юскости а прямую а 'Г р и Ь з р. Как известно (см, задачу 484), прямая, параллельная Р или содсржапгая р, отображается на себя. Прямая Ь переходит в прямую Ь, а прямая а перехолит в прямую а (рис.

3!!). Через параллельные прямые а и Ь проходит единственная плоскость а, которая таким образом отображается сама на себя. Доказано, Глава Л. Цилиндр, конус и шар $1. Цилиндр № 521. Я = 1,5 м Н = 4 м ( рнс, 312). ~с- сс /Й (2Е - 'О' с' " /Гб+ 9 = 5 (и). ! Р , 3!г № 523.

АА,В, — квадрат, АВ, = 20 ем,АВ = Н(рис. 3!4): Н Г2 = 20 =» Н = — = — = 10~Г2, 20 20~/2 Г2 2 Н = 10 Г2, В = пк', 1 ! где Я = —, АВ = —, Н = 5~Г2, 2 2 Я„„= я(5~Г2)' = 50я (см') Я Рис. 333 Рис. 314 Рис. 335 № 522. АА,В, — прямоугольник. Иа ЛАВ,В (рнс.313): АВ = гК 48 а(пбО' = — = 24 ГЗ (см); 48 ГЗ 2 В = ! 2~ГЗ (см); Н= В В=48соабО'= — =-24(см); 48 Б = яВ' = и (12 ГЗ)' =.

В, =и 144 ° 3=432л(см'). нлинд 217 № 524. Осевые сечения путем нала!ке! ния совпадут (то есть будут равны), но высоты цилиндров не обязательно равны: ам Ь (рис. 315). в, № 525*. (Рис. 316) ! 10 ! ! Н 2Я=10 2Н и Я'=5 ( 5) "-5 Я=.— 5 Н. 5п — =1 Н' Рис, 3?б в, Н=!Н = 5 ( ) Н Хи526.(рис.

317)5 = пЯ!1Х, = 2НЯ п~ГЗ я~аЗ пЯ' Я игЗ Х 4 4 2НЯ Н 2 2Я 1 ГЗ !8а = —; =ь — !8и = —; Н 2 2 !8а =.ГЗ, и = 60и с.'В,АВ= 30'; йА,ВА = 30 ~0 = 180' — 2 30' = 120'1 ~А?'А = 60'. № 527. АВ и 0,0 — скрещиваются (рис. 3!8). а) 1. Построим плоскость, содержашую АВ так, чтобы зта плоскость была параллельна 0,0. АА,ВВ, — прямоугольник. р(АВ, 00,) = = р (пл. АА,В, до ОО,). Проведем ОР 3. А, В, р(АВ, 00,) — расстоя- ние от прямой АВда прямой 00и р(АВ, ОО,) = = ОР = И (по условию). 2. г = 10 дм, В = 8 дм, АВ = ! 3 дм, Ь =? А,Р = ВР = ? г' — с?', А В = 2 Гг' — с?', А,В = 2 /100-б4 = 2 6 = 12 (дм), Рис. 3!й 218 Глава И.

илинд, кон о и ша ,ЯВ'-4В' з69-та 5 ьч. б) л = 6 см, г = 5 см, АВ = 1О см, И =? А В= ~IАВ'-6' = х()00-36 = 8 (см) А,Р= РВ = 4 см). ИзЬА,ОР:В= ~г' — А,Р' =хГ25 16=3(см). Ха 528. Примем и — сек)чная плоскость, плоскость п !! 0 О (рис. 3! 9).

О О пер ненли куля рна плоскостям оснований, значит, прямыс АВ и Сд, по которым и пересечет боковую поверхность цилиндра, тоже булут перпендикулярны плоскостям оснований. Отсюда АВС?) — прямоугольник. Точка А переходит в точку В и точка Р переходит в точку С параллельным переносом согласно п. 53. 1 Рис. 3!9 н, № 529.

Н = 8 см, К = 5 см. ?) Зсм.Я=? Рис. 320 АА,В, — прямоугольник (рис.320). -'АВ=,)К:- Р АВ=2?К':Р; 2 5 = АВ Н = 2сгК' -У. Н = 2 /25-9 8 = 16 4 = 64 (сн ). № 530. Н= 12 см, К = 10 ем, АА,В, — квалрат (рис. 321). в' =? ! АВ = Н = 12 см, -АВ = Ч К' — а" ~ 2 — = ъГ)00 — г~'; 6 = х()00 — сР; 36 = 100 — с('; !2 2 д' = 64, в' = 8 (см), № 531. Н= 10 дм, 5, = 240 лм', В= 9 лм. К=? 5 = Н АВ; 240 = 10 АВ =ь АВ = 24(дм).

Рис. 33! 1, Цилинд 2!9 -АВ= )К'-Р. 2 12 =,/К'-81, 144 = К' — В1, 225 = К', К = 15 (дм). Ряс. 322 № 533. (рис. 323) 5= 2КН=~К= —; 5 2Н -АВ= 'К'-У ! 2 У вЂ” АВ = ~ — - с('. В 2 14Н' х.. - 4 В . и = 2 и ( — - У = Г5 ' - Гн ' У . 4Н' №534.5 =2 «.я а~ ЛАОВ (рис. 324): АО = ОВ = К. ВМ = — АВ = г).)3 тле — = 1560'= /3. 1 ВМ 2 В 2ВМ = 2АГЗ; А В = 2Н.,ГЗ; Б = 2Я.13. Рис. 323 № 535. В= 2см, ЛАОВ = 60'(рис.

325). № 532, ~ВАС = гр — линейный угол двугранного угла СА,АВ (рис. 322). Примем К вЂ” радиус основания цилиндра, Н вЂ” высота цилиндра. А Всс~ АВ' К АВ К вЂ” — илн яп(180'-2~р) яп<р 2я(п~рсоагр в(п~р по теореме синусов из ЛАОВ (рис. 322) АВ = 2К сов у; Я, = 5„= АВ Н,= 2КНсоа(р; 5, 2КН ! В, 2КН сову сояр Глава И. илинд, кон суша 220 А ВК ВК , 1 — = — = гд 30'= — =и Вс, 2в" ' ОК 2 Г3 2 ВК = — —. ! , '4 4/3 АВ= 2 ВК= — = — (см). ,/3 3 АА,В, — прямоугольник, В 4/3 .о 5= — 1О/3=40(см').

3 Рис. 324 № 53б. ПАС — вписан- ный, поскольку ПАСВ= 90', то он опирается на диаметр. Примем, что Ь вЂ” обравушая, равная высоте цилиндра,  — радиус цилиндра (рис. 326) Примем ВС = х, слеловательно АС = /4~'-х' 5~= 5ввгс=Я=хд В,=Виси,=Ь т/4й'-х', х' = 4Я' — х', 2х' = 4Я', х' = 2В', х = В,/2 «м), В =— х /2 Площадь осевого сечения В = 2Ял= (см). 2хд 4~ Я,= /2(хл) = Ю/2. Рис.

323 Рис. 32б № 537. Р = 1 м; Н = яс). е = с Х = 2ягН, 1 1 г= — Н= — (м), 2 2 Н=я !=я(м), 1 с Я = 2п ° я = яг(м~) 2 221 1. Цилинд №538. 5,„=5,5 „=?(рис,327) 5 5 „= 2лгб = 5, 2гб = —; л 5 5„„а, =АВ Ь= 2гб = —, В, №539,0=1,5м, Н=Зм,иа!м' — 200г А краски (рис. 328). Л,5з' 5 =2игб+ 2лг'=п 1,5 3+2л~ — ')' = !, 2 ) 2,25 =л 4,5+ и — ' = 4,5л+ 1,125л = 5,625л. 2 Количество краски: 0,2 5,625л = 1,125и (кг). Рис.

327 № 540. (рис. 329). Н вЂ” Я = 12, Ю„„= 2лЯ(Я + Н) = 288л (см'), Я =?, Н =? < Н -Я=!2 Н -Я=12 Рис. 328 2лЯ(Я+ Н) = 288л ' Я(Я+ Н)=144 Я'+ Я (12+ Я) = 144; 2Я'+ ! 2Я вЂ” 144 = 0; Я' + 6Я вЂ” 72 = 0; Я„= -3 1 чг9+ 72 =- — 3 ~ 9. Я > О, значит, Я = б (см), Н = ! 2+ 6 = 18 (см).