atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 12

№541. (рис, 330) И = 20 = 0,2м„Х„„= 2л г ! = л В / 5 = ';Ю +Ю.,=л 0,2 4+ !00 2'5л 0*2 4 = О 8 + ОМи 2,5 100 100 2,5'! = 0,8л '! + — ') = 0,8и (1+ 0,025) = 100) = 0,8л 1,025 = 0,82и (м'). Рис. 329 Рис. ЗЗО № 542. (рис. 33! ) 5„„= 5; 5 = лЯ'. Примем высота цилиндра Ь. сзАА,Вс 222 Глава И. Цилинд, кон с иша Рис 33! А, 2Я )В 2Я !В А .о  — =!ар, Я= а —,В- — =с!а р г,( —, '!' и l 5 = 2яЯЬ = 2те~ — с!а ~р 2пЧ> — = В = 4к сщ ~р — = 45 с!а <р l я Вг' 1 „№ 543. (рис. 332) Вк, =? Ю„„,„=? Я„' В о „= 2яЯЬ, В „= 2пЯ(Ь + Я), 0 АВ АВ 2пЯ,Я = —.

(!) 2к Ь=ААг (2) Диагонали прямоугольника Т равны и в точке Тдетнгся пополам. ЬАТАг По теореме косинусов: А В АА,'=( — ~ +Л вЂ” 2 — ° — саяр= !(2)! !,г! гЮ : . гЮ = — (1 — сов д) = — 2а(п — = б' ага —, 2 2 2 2 2 2 АА, =,)б'ып' — = был —, АА, = Ь, Рассмотрим ~АТВ. По теореме косинусов: Ркс 332 АВ' = ~ — ~ + ~ — ~ — 2 — — соа(1 80' — <Р) = — + Ы Ы 4 2б' б' б', <р,, ~р + — сов <р = †(1 + соь <р) = — 2соа' — = б' соа' — , 4 2 2 2 2 4В бсоа АВ = б сов — = б сов —; Я = — = — 2.

2 2 2а 2п Вк„= 2п — — 2- ' б 5!и — = сТ ып — соа — = — б 251п — соа — = Ю Ю 1. Ч .Ч 2п 2 2 2 2 2 2 пб соа Л „2 = — б а)п<р;В„=пЯ'= = — соа' —;5,„=5г +25„ 2 4я' 4п 2 22З Ь Е Цииинд Б . — А'а|паз+2 — соз' — = — яп(з+ — сов'— | . И',у сс' .

с(',ср 2 4л 2 2 2л 2 ( ' ) ~1~ . |,<р) 5(п Сз + — соз 2 и 2) Если принять за основанисАА„за высотуАс3, то Я не изменится. с(51п— Я =? А= — = —; Х„=псс =л ° — АА,— 2. — ~ —, 2- 2. 2п 2л 4л' 4л 1 1(р 2 И яп— 5„.„= — ас з|п о+ 2 — =-с( а|п у+ — а|п —; ~ф 2 4п 2 2л 2 № 544. (рис. 333) Х „= пЯ. И Сторона квадрата .

— = 2п)с =з 42 н2 )(= —;5 = —,=— п2 и Зп' 8л Рис. 333 № 545. )с = ОА = а, Н = АА, = а (рис. 334). а) Ь',,= 2с(Н = 2аа = 2а'| б) 5 = 2лВН = 2лаа = 2па' в) 5'.,„= 2ла'+ 2(па') = 4|си', № 546. а) |. 3„, = 2лЬа; 2. Ю = 2лиЬ(рис. 335); Я„.„одинакова. б) 5, = 2пЬа + 2лЬ' = 5с 5, = Я, = 2лаЬ + 2ли' Я, 2пЬ(а+ Ь) Ь 5, 2 па(а+ Ь) а Рис. 334 Рис.

333 224 Глава И. илинд, «он с иша 8 2. Конус № 547. 50 = л = 15 см, )! = ОА = 8 см, / = АЯ =? в- 'Ю'+ОА'-Л5' г 225+а-1Р ь .3(я. 0 Ряс. 336 № 549. РО л = 8 дм (рис. 338). а)5, = — 5, РО, =-? 6)5, = — Х„„, Ю, =? ! Согласно п. 57 плоскость, параллельная основаниюю (она же перпендикулярная к его оси), )) пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. РО, ОА, Ю, г, ЬРО,А, — ЛРОА, — ' = — ' РО ОА 8 г Рис Ззг Ю, 5,-,Р,Р=~-,Ю = =1' я 8 5„1Ю,„„ д № 548. (рис.

337) а) а = 30'. ! 2чГЗ г- )? =АО = А5 сока =АХ сок 30'= — = б ! 3 (ем) 2 5„„=я)Г = я(бч'3) = 36 3 я = 108я(см'); )) б) и=45',)(= 12 — 6 Г2(см), Г2 2 Я„„=я (бз)2)' = 72я (см'); ! в) а=60'. )1= 12 — =6(см). 5„„=я 6'= Збл(см') 2 Е Кон с )5 Г! 8 .»- б) РО, = 8 ~ — = 8 ~- = — = 4 ! 2 (дм); )( 5„„)( 2 Г2 Г! 8 в) РО,= 8 1- — = 4 (дм).

!((4 2 № 550. МАРВ = 90', АО = ОВ = 5 см, 5,а 2 5,„— АР РВ= — АР',(рис. 339) 1 1 2АР' = АВ'(по теореме ПиФагора), АВ = 10 см. АР' = — 25 4 = 50 (см'), 2 50 5 = — = 25 (см'). м»» 2 Р ! а. ! ! 64~ ! г» № 551, а) 4'.ВРС = 30', РС = РВ = 2г (рис. 340). 1,, А В 5„= — РВ РС а!п 30', С 2г 2г 5 = — = г» (кв. ед.). 2 2 б) 4'ВРС = 45, 5,„= = г' Г2 (кв. ед.) 2г 2г ~Г2 в) г'ВРС= 60 5„= =г'ГЗ(кв, ед.) 2г 2г тГЗ Рис 340 № 552.

РО = Ь, г'АРО = б0', АР 3 РВ, Р — образующая. 5 „= " .(рис. 341). 1) АР= 2Ь, т. к. РΠ— кате!, лежаи!ий против угла в 30; 2) АР = РВ = 2Ь вЂ” как образующие конуса; 3) й.АРВ прямоугольныЙ. 5„= — АР РВ 1 2 Рис 341 8 Фь!е»ь. !Π— !!»ь Глава У!. Цилинд, кон суша 226 2Ь 2рл Я ' 2ль (кв сл ) мрк № 553. Е~АР — оссвос ссчснис. В„,„= = б лм', Я„„= 8 лм', б = РО = 3 (рис, 342). 1) Ю „„, = — РО А В, А В = 2г.

1 2г Ви = — '=гб,6=об : кр» Рис. 342 2)5.„=.пг,б )а 2,Г2 3) из(2) г= ) — = —,--; из(1) ~)п чп 6 бил 3хГп !и Ь = — = — = — = б,! — (лм) г 2,Г2 Г2 )) 8 (2) = — х2п, 3 2 Рис. 343 р „ ~, Я ' (лл' - р Глл 1 Г4Р— г' г ~ —,: — — —; 2 2 4 б)СВ=гГ2, РК= Р— ~ — ~ б г;2( -г /2 Г2 ,Г2 ~"'-"' = ',21:т 2 Г2 2 № 554. ВС вЂ” хорла, стягиваст угол а) в 60'! б) в 90'. 5, = 3 (рис. 343). Провалом ОК 3 СВ и сослиним Р и К. По тсорсмс о трсх псрпснликулярах РК3 СВ. РК вЂ” высота к.'уВРС. В, кВ =-СВ РК. 1 В 2 а)ВС= г, т.

к. сзВОС вЂ” глранилльный, т, к, ~ВОС=60'. их крлл'. рк= ю' ок'. ЛХСРК: РК = ~СРл -СК'. бк. Кон с 227 О Н А Риг. 344 6) (рис. 345),. '/6!О = 45 . РА '= » 62 (сч) ='!к ' (счь Ол = /, Гу! 2/! /Р г (ь!, 2 5 =--:= /~ч2 -- — с/ = — ~'((сч) ,'3 '3 и) (риг. 345) . 'РАЬ вЂ” еиг » г, » ОА и — =(060 =:,3.ОА-- —, СчОА ' ' "',/т' ',х (,',— 2// » 2/~ СВ = — — (сч), РА = —,— =' — — (см). 3 а(п 60' чх3 л (хч'. № 555. ОР = » = (О см, ВС вЂ” хорда, кСОВ = 60', (рис.

344) лвугранный угол межлу плоскостью основания и плоскостью ВРС равен: а) 30'; б) 45'; в) 60'. 5 ма Построим линейный у!ол данного двуграниого угла. Проводим ОА ' ВС, строим отрсаок РА. Потсорсмеотрсх перпендикулярах РАЗ ВС. ТРАΠ— линейный угол ллуграгиюго угла. РАЗ.ВС а) к'.РАО = 30'. Из /хРОА; » Р РА = — — = 2», ит ЬСОВ; ВС = г = 2СА. в!и 30' СА, ! ОА — = (л 30' = — —, СА = —- ОА,(3' 7З » /1, ! Из УХ РОА: — =' (030' = —, ОА = М 3 ОА х~3 /,/3 Итак. СА = —,= = », ВС' = 2».

Ь' =- — В(' РА, /Ъг, 345 ! Л', — —.2/ю 2» =- 2/А(кв. сд.),.с„= 2 (00 = 200 (сч /. 2 228 Глава И. Цилинд кон с ища ! 2Ь 2Ь 26' 26' 5 = — — — = — = — (см) 2 43 3 3/3 9 24 3 100 200чГЗ 9 9 Р № 556. Плоскость а перпендикулярна оси конуса Ю (рис. 34б), Доказать, что: !) Сечение конуса плоскостью а будет кругом с центром в точке О„' РО, 2)г, = — 'г Ю Выберем произвольную точку М, и а н точку М, и 0(г,). (на плоскости а строим окружность с центром в точке О, и радиуса г и Ряс. 34б на этой окружное~и выбираем произволь- ную точку М,).

Черезточку Ри точку М, проводим луч РМ„который пересечет плоскость основания конуса в точке М. гзРО,М, - Г РОМ как прямоугольные, имеющие олинаковый острый угол. Ю, ОМ, РМ, Ю ОМ РМ РО О,М, РО ОМ= ' ' = — г, = г= солзг при заданной точке Р и Ю, Ю, окружности О, (г,). Щаод: точка М вЂ” произвольная, значит, весточки луча РМ, пересекающие плоскость основания конуса, лежат на окружности 0(г), то есть равноудалсны от некоторой точки 0 на расстояние г, что вилно из формулы. По определению РМ вЂ” образующая конуса. 4) Образующие составляют коническую поверхность, поэтому докажем,чтоесли сМ,п аи М,п РМ,тоМ,в 0 (г,).

5) Е РО,М, — ДИРОЛ(, где РМ вЂ” образующая. РО, РО, ОМ = ' ОМ= — ' г =г =солзгпризаланнойточкеРиг. РО Ю Вывод: эта окружность будет сечением боковой поверхности, а круг, границей которого является О, (г,), будет сечением конуса плоскостью а. 229 52. Кон с № 557. Из рисунка к задаче 556: ОМ, РО, г РО, — '. = — ', или -г- = — '; 5, = пг,'1 ! )г — !г)г г г г РОг ° я РОг г г п Рис. 347 № 559. (рис. 348). г = 1созбО' = —,г= —. ! 2 2 пГ'а Я = — = пгГ.

На((аем градусную мерудуги а: 360' збо и ! ! 180 п !' 2 Рис. 34ГГ № 560. (рис. 349). Примем »АРО = х. х=? п!'а — = пгГ, заесь ! = АР, г = ОА 360' п!'а а! 360' п ! 360' 180е4 ! 90"! ! а) г= — = —,б) г= — = —; 360' 2 360' 4 60'1 1 в) г= — =- 360' 6 АО г ИзйАРО:з(п»= — =-. РА Г 1 а) з(п х= —, х = 30', 4'.АРВ = 2х = 60'; 2 Рис. 349 № 558, (рис. 347). 1) Ю = — = пгГ; пГ'а 360' 2) ! = Гг' 4 И ' = /9+ 16 = 5 (см); 3)п 25.а=п 3 5,= 360'.п 3 5 72' 3=216'. 360' п 55 гэо Глввв И.

Цилинд, кон о и шв 1 . 1 . 1 б)а!пх=-,х= агса|п —, хАРВ= 2агса(п —; 4 4 4' 1 . ! . 1 в) ь(их = —,х = агса!и —, кАРВ = 2агса)п —. 6 6' 6 № 562, г".2АОР— равнобедренный (рис, 350); 65 /2 г= ОА =!а)п 45' = — ' 2 Х „=пг(, 5 =п — ' 6,5= 21,125п!2 (см'). 6,5 5Г2 В 2 № 563. Н = 1,2 см, 5„, = 0,6 см'. Ю „=? (рис. 351), Ю „= п(1 + г)г; 1 1 Я = — АВ РО= — 2г Н=г Н, 2,(99 0,6 6 ! 0,6 = г 1,2, г = — ' 1,2 12 2 Риг.

550 1= !Н)+ г', Г(и 925 г59 (.2 ( ): Ю =п 0,5(0,5+ 1,3) = = и 0,5 1,8 = 0,9п(см'). А В О Рис 351 № 564. По теореме синусов (рис. 352); а а г г — =2г =а г=; — =сов(р ~ != —, а(па 2а(па '1 соа(р № 561.г 9см,а=|20.Н=?Ю. =? п1'и п1' 120" п1 — =пг1, =и 9 1.