atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 7

х'.МОИ = 60'. № 474. Зададим прямоугольную систему координат Охус так, как показано на рис. 270, и рассмотрим единичный вектор А~ ~ Вг а, сонаправленный с вектором АС . Вектор I и а имеет координаты (соз 60'; соз 60'! соз гр), -С 1 1 1 1 Р а ' или (-; —; соз 40. Т.к. !а! = 1, то — + — + ~ А, В + соыр = 1. Отсюла получаем Рис. 270 соз'аг = — или соз иг = х —. Г2 2 2 ,Гг Т.к. угол д острый, то соз ~р = —, откуда р = 45 . 2 № 475. Примем, что точка Ф вЂ” середина отрезка СВ, М вЂ” точка пересечения медиан ЛРВС, х'.РАН = гр, Введем прямоугольную систему координат Охус (рис.

271). Следовательно С (О; 3; О), В (4„' 0; О). Точка Ф вЂ” середина отрезка СВ; 3 Ф(2,—,0). 2 Р (5 соз 60"! 5 соз 45'1 5 з! п гр); 5 5Г2 А,Р( —; —; з|п гр) 2 2 АР АР 1АД'=25, 25 = ~ — 2! + — + (5яп (р)' (2/ ~ 2 ~ Рис 27! 25 = — + — + 25яп р 25 25.2 4 4 Г ( 2 Г1 ! з! и гр = (1- - - — =,'- = —; гр = 30 . 4 4 14 2 АР ( —; —; — ), ~РАгУ = 30, 5 5~Г2 5 2 2 2 2. Скаля нов п оизведениевекго ов 181 3 1 9 !25 5 А!У(2; —;О). (А/У( ~4+ — = ~ — =— '2' ' ~( 4 44 2 АМ = А/У+ !УМ = АЖ+ — 7/(Р= АУ+-(АР-АМ) — АР+ 3 3 3 '/// ° /Ъ / /(// // /1 / //О // / 36 36 б 3 № 476.

Примем кСАС, = гр. Зададим прямоугольную систему координаг Охуг (рис. 272), рассмотрим единичный вектор а, сонаправленный с векгором АСп а (сов 60; соя 60'; йп (р), 1 1 ай= — + — + а!пгр= 1, 4 4 1 . Г2 в(п//р = —, а!и /р = —, /р = 45'. 2 2 Рис. 272 № 477. Введем прямоугольную сис- тему координат Охус (рис.

273). При- мем сторону квадрата равной а, КК, = Ь, где К, — точка пересечения диагоналей, или центр квадрата. Сле- довательно АР(а; 0; 0), АВ (О; а; О), ВР(а; — а; 0). 0 Рис. 273 2— + — А///, 3 1 5 2,1 5Г2 2 31 5 — ' 5+85/Г2 5 АМ =(- -+-.2; — — +- —; — -), АМ =-( —; — +1;-), 32 3 3 2 3232 б б 6 13 5 Г246 5 — 169 (5~Г2+6) 25 ЛМ =( —; ;-). (АМ(= — + + — = 6 6 6 36 36 36 169+ 25 2+ 2 5 Г2 6+ 36+ 25 182 Глана И Метод кос инат а и сг ансгве а а Т.к. точка К вЂ” центр квалрата, то К ( —; —; 0), соответственно ! 2 2 К(-"1-'; Ь); АК(-";-'; Ь). 22 22 Для локазательства используем формулу скалярного произведения вектороа, Найдем длины векторов В0и АК. Из прямоугольного треугольника ВА 0 В0 = /2а' = а /2. 1 /2, Из прямоугольного треугольника АКК, где АК = — В0 = —; 2 2 ~к- !г Я'-~ь АК В0= 1АК) 1В(а сох(АК" В0), а' а' АК В0=хх +уу +сг = — — — +0=0 ! ! ! ! ! ! 2 — — — + 0= а/2.

~Ь'+ — соз(АК * В0) 2 2 2 Г 7 0 = а /2 ~Ь' + — соз(АК " В0) 2 Тогда, т. к. вектора ненулевые, то соз (АК" В0) = О. Значит, АК " В0 = 90', что и требовалось доказать. 5 3. Движение М 478, а) ((ентральная симметрия относительно начала координат. Примем О (О; 0; 0) находится в начале координат, то есть является центром симметрии. Согласно п. 49 для двух точек М(х; у; е) и М, (х„у,; е,) симметричных относительно точки О, имеем; х, = — х, Тогда, получаем такое соответствие: Точка Ей симметричная А (О; 1; 2), А, (О; -1; -2); В(3; — 1; 4), В,( — 3; 1; — 4); С(1; 0; — 2) С, (-1; 0; 2). б 3.

вижение 183 б) Осевая симметрия относительно ксюрдинатных ясненне дано в и. 50. Если ось симметрии — ось Ох, то: Точка Ей симметричная А (О; 1; 2), А, (О; -1; -2); В(3; — 1; 4), В,(3; 1; -4); С(1; 0; — 2), С, (1; 0; 2). Если ось симметрии — ось Оу, то: Точка Ей симметричная А (О; 1; 2), А, (О; 1; -2); В(3„-1; 4), В, (-3; -1; — 4); С(1; О; -2), С, (-1; 0; 2). Если ось симметрии — ось Ос, то: Точка Ей симметричная А (О; 1; 2), А, (О; — 1; 2); В(3; -1; 4), В,(-3; 1;4); С(1; 0; — 2), С, ( — 1; 0; — 2).

в) Зеркальная симметрия относительно координат отей. Разъяснение дано в п. 51. Если плоскость симметрии — плоскость Оху, то: Точка Ей симметричная А (О; 1; 2), А, (О; 1; -2); В(3; -1;4), В,(3; -1; -4); С(1; 0; — 2), С, (1; 0; 2). Если плоскость симметрии — плоскость Оуа, то: Точка Ей симметричная А (О; 1; 2), А, (О; 1; 2); В(3; — 1; 4), В,(-3; -1; 4); С(1; 0;-2), С,( — 1;0; — 2). Если плоскость симметрии — плоскость Охс, то: Точка Ей симметричная А (О; 1; 2), А, (О; -1; 2); В (3; — 1; 4), В,(3; 1; 4); С (1; 0; — 2), С, (1; 0; -2).

осей, Разь- ных плоско- № 479. а) Согласно теореме п. 3 через центр симметрии и данную прямую можно провести единственную плоскость. Примем Π— центр симметрии, а — данная прямая, а — плоскость, проведенная через О и а (рис. 274). 184 Глава У. Ллвто кое динвтв и ест анстве Выберем точку А е а, проведем отрезок ОА, Продолжим ОА за точ- куОнарасстояниеОА = АО. Получим точку А„симметричную А, Выберем точку В и а.

проведем отрезок ОВ. Продолжим ОВ за точ- куОнарасстояниеОВ, = ВО. ПолуРис. 274 чим точку В„симметричную трчке В, ЧерезА, и В, проведем прямую Ь. Рассмотрим с.' АОВ и с."хА,ОВс АО = А,О, ВО = ОВ, к'.АОВ = ~А,ОВ, как вертикальные, поэтому г'АОВ = с."зА,ОВс Тогда к'.1 = Л2, а они являются внутренними накрест лежащими углами. По признаку параллельности двух прямых на плоскостна 11 Ь. б) Выберем некоторую точку А и а. Для нее симметричная точка А, тоже принадлежит прямой а; АО=ОА,. Точка А выбрана произвольно, поэтому любая точка прямой и ей симметричная точка относительно Рис.

275 центра 0 лежат на прямой а, поэтому прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии. М 480. а) Пусть Π— центр симметрии,а †данн плоскость(рис. 27б). 1. Выберем точку Се а, проведем отрезок СО и продолжим его за точкуОнарасстояииеОС, = ОС. 2. Выберем точку А и а, проведем отрезок АО и продолжим его за точку 0 на расстояние ОА, = ОА, Рис. 276 3. Выберем точку Ве ос проведем отрезок ВО и продолжим его за точку О на расстояние ОВ, = ОВ.

4. Через точки А„В„С, проведем плоскость 13 (по аксиоме А, (п. 2) такая плоскость — единственная). б Э, вижение 185 5. Соединим точки А, В и С отрезками; соединим точки А„В, и С, отрезками, ЛОАС = ЛО,А,С„потому что ОА, = ОА, ОС, = ОС и ~АОС= кА,ОС, как вертикальные. ОтсюлаАС = А,Сг Таким образом х.А,С,О ~АСО и по признаку параллельности прямыхА,С, !! АС. б. Для ЛОАВ и ЛОА,В, повторим рассуждение и получим, что ЛОАВ = ЛОА,Вг Таким образом, хА,ВО = БРАВО, по признаку параллельности прямых А,В, ~! АВ.

7. Если две пересекающиеся прямые (АС и А В) одной плоскости (а) соответственно параллельны двум прямым (А,С, и А, В,) другой плоскости ((5), то эти плоскости параллельны. Итак, и !! !), угвержаениедоказано. № 481. а) Примем а — осьсимметрии, (!! а. Из точки Вя 7 проведем Ь,А, ) а; продолжим гА за точку А на расстояние АМ = ьА (рис. 278). Из точки 7., я ! проведем А,А, 2. а; продолжим 7.,А, заточкуА, на расстоя- ниеА,М, = 7.„4,. Параллельные прямые а и! лежат в одной плоскости, тогда, четырехугольник 7ММ,Ь, — плоский четырехугольник. А, ! Рис 278 б) Если точка О и а, то для любой точки А и а прямая ОА тоже / Вг приналлежит плоскости и, слеловательно и любая точка этой пря- А мой тоже принадлежит плоскости а,значит и точка А,симметричная точке А тоже принадлежит плоскости а (рис. 277).

Рис 277 Итак, для А в а ей симметричная точка А, и ок аналогично лля Вп п ей симметричная точка В, и а; лля С а а ей симметричная точка С, а а. Через три точки А„„фпринадлежащие плоскости !3, можно провести единственную плоскость, следовательно, она совладаете плоскостью а. (ве Глава К Метод кос динвт в л ест внстве М1. = М,Е, — по построению.

МЕ 2 1 и М,Е, Л. 1, значит, МЕ !! М,Е, поэтому четырехугольник ЕММ,Е, — прямоуголы<ик. Т.е. ММ, (! Ы.. или 1 11 в<. б) Если а не паралслльна 1, то а пересекается с 1 в некоторой точке А. Возьмем некоторую точку (Ч е 1, проведем 1<1Е.1 а, продолжим отрезок ФЕ эа точку Е на расстояние ЕГ= 1тЕ (рис. 279). Через точку Г проведем прямую ГА (или в<). Рассмотрим <хАЕГ и ЬАЕ1т.

1<1Е= ЕГ,АŠ— обший катет, и значит, ЬАЕГ = Л АЕ)У, поэтому х'.ЕАФ = х'.ЕАГ= <р. Итак, прямая тв образует угол <р с осью симметрии. Рис 279 № 483. а) В плоскости (3 выберем три точки А, В, С, нележашие вводной прямой. Проведем АА<.1 а, ВВ,2. а, СС,З а.

Продолжим эти отрезки за точки А„В„С,так, что А„4, = АА„ВВ, = ВВ„С,С, = СС, № 482. Выберем в качестве плоскости, относительно которой рассматривается зеркальная симметрия, плоскость Оху (рис. 280). Примем, что прямая а параллельна плоскости Оху. М 1<1 Точки М и Е симметричны, А< и Рис. 2ВО Ксимметричны; МА = АЛ, ФВ = ВК. Если а параллельна плоскости Оху, то )УВ = МА = ВК=АЕ, две прямые, перпендикулярные плоскости, между собой параллельны, то есть МЕ !! <тК. Кроме того, МЕ ФК, тогда, четырехугольник МВСК вЂ” прямоугольник, поэтому ЬК!! М1<1, или, что то же самое, а, !! а. А параллельные прямые лежат в одной плоскости (п.