atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 5

Угол между ОВ и РА — угол между стороной и диагональю квадрата, т. е. а = 45', ОА" ВО=! 35'= ОА" В,Ос Глввв Ы Метод кос динвтв и ест внстве 1бб е) АО = ВСо Примем 0 — точка пересечения диагоналей ВСи ВС, кваарата ВВС,С, ВС, =20С„ВС=20С, значит ВС, "В,С= =ОС, "ОС = 90', поэтому угол между векторами ВС, и АО равен 90'. ж) А,д, =- ВС, поэтомуугол А,1), "АС = 0' з) АА, = — С,С, значит, если их отложить из одной точки, они будут принадлежать одной прямой и образуют угол ) 80'. № 442. Сделаем рисунок, отложим от точки О вскторыОР = =СО, иОЧ = АВ, (рис. 249). ВА =-АВ = АВ =ОЧ, ОС =-СО=СО, =ОР.

Следовательно ВА" ОС =О~Ч "ОР=<р, СО= )80' — ~р, .АВ "С0= АВ "ОР= 180 — лх Риг. 249 ВА " ОС = ОЧ " № 443. (рис. 250). Для вычислений воспользуемся формулой (и. 47); а а=(а) )гясоа(а"а) С а) АО В,С, = (АБ( )В,С,) х х сов(АВ В,С, ), т.к. АЮ = В,С, Рис 250 АО В,С, = )АУ5 ~В,С,! соя 0' = )АЕ( )В,С,! = а' 101 2 Скаля ноеп оизведениевекто ов б) АС = -С', А„соа (АС " С, А, ) = сов 180' = — 1, 1АС) = ~'', А, ! = ъ/а' + а' = ас/2 АС С,А, =а /2 а /2 ' (-1) = -2а' в) Р В Л. АС (по теореме о трех перпендикулярах АС.!.0,В), сов ( Р, В * АС ) = соа 90' = О, 0 В АС' = О. г) ВА совпадает с диагональю грани куба, как и ВС,.

)ВА, ! = 1ВС,) = ас/2 ! ~'~ВА,С, — равносторонний, ~А,ВС, = бб' = ВА, " ВС,, соз60' =— ВА, ВС, ~ВА,~ !ВС,!сов(ВА, "ВС,) =а/2 а~/2 — =а' 1 д) А,О, = — А,С,, соа(А,О, "А,С,) = сов 0' = 1, 1 — 1 — — — 1 !А,О,!= — 1АС,~= —.а/2, АО, АС, =а/2 — а~/2 !=а' 1 е) 0,0, = — Р,В„ 1 — 1 ВО = — В0 = — РВ = — 00, 2 ' ' 2 00, "В,О, =!80',сов!80'= — 1,~РО,~ =!В,О,) = — анг2 — 1 1 а 00 ВО = — а~Г2 — а/2 ( — 1) =— 2 2 2 ж) ВО, совпадает с гинотенузой прямоугольного гхВВ,О„у кото- рого катеты: 1 1, а~ГЗ !ВВ ) = а, !В О ) = — а~/2, !ВО ) = а' + — 2а' = —, 2 ' 4 /2 !С', В( = а /2 б фккее», ю — н «л.

162 Глава К Метод кое динат в о ост анстве ВО, "С В = 180' — (ВО, "ВС) = 180' — ~ОВС (рис. 12). ! 1 х.О,ВС, = — ~А,ВС, = — 60' = 30', т.к. сзВА,С, — равносторон- ний, как показано в пункте г). — — а/3 ъГ3 3, ВО С В=!ВО'! 'К. В( соя150 = — а/2 ( — )= — — а' ,/2 2 2 № 444. Примем а (х„у„с,), Ь (х,; у,;х,), следовательно а Ь = х,х,+уу,+с,с, (и, 46), а с=1 5+( — 1) 6+2 2=5 — 6+4=-3, а Ь= — 1 — !+2=0, Ь с=-5+6+2=3, й а=!+1+4=6, зГЬЬ =,/!+~+! =,/3 № 445.

Еслиа = 3~' — 5/' +/г,то а(3; — 5; 1). Если Ь = уч — 5 /с, то Ь (О,' ! ', — 5). а)а Ь=З 0 — 5 1 — 5! — 10; б)г (100)а г =3 1 — 5 0+ 1 0=3; в) ул (О; 1; 0), Ь /т = 0 0 + 1 1 — 5 О = 1; г)(а + Ь)/г = а . /с + Ь /с, /г (О; 0; 1); (а + Ь)/г = 0 3 + 0 (-5) + ! 1 + 0 0 -ь 1 0 — 5 ! = 1 — 5 = — 4; л)(а — 2Ь)(/г+г' — 2ук) = а./г+ а ю' — 2а уч — 2Ь /г — 2Ь /т+ + 4Ь уз = (3 0 — 5 О+! 1) + (3 1 — 5 0+1 0) — 2(3 0 — 5 1ч.

+ 1 0) — 2(0 0 + ! 0 — 5 1) — 2(0 1 + 1 0 — 5 0) + 4(0 0 + + 1 ! — 5 0) = 1 + 3 + 10 + 1О + 4 = 28. № 446. Извес~но, что: !) По формуле (1) и. 47 для ненулевых векторов а (х„уй х,) и Ь (х,;у,;с,) х) ' «г + у) 'ур + х) ' еа созсг = 163 вх. Скаля наел оизведениевекто ов 2) Если 0 < п < 90' (острый угол), то сока > О, если секст= О, тоа = 90' если 90' < а < 180', то сока < 0 Знаменатель х,'+у,'+ г,' х,'+у,'+с,' > Одля любых ненулевых векторов.

Поэтому знак выражения сока совпалает со знаком числителя;если(х, х, ++у, у, +г,.с,) >О,тесова>Ои наоборот. а) сок (а * Ь) < О, т. к. 3 ( — 5) + ( — 1) 1 + 0 ! = — 15 — 1 = — 16 < О, угол тупой; б)сок(Ь" с) > О, т. к, — 5 ( — 1)+ 1 ( — 2)+О 1=5 — 2 =3 >О, угол острый; в) ссе (а " с) = 0 т к 3 ( — 1) + (-!) ° (-2) + 1 ° 1 = — 3 т 2 + 1 = О, угол сг = 90' № 447,Ц1; 0; 0); уз (О; 1; 0); )г (О; 0; 1). Формула (1) п.

47 для соков сока = х х +у у +с Т.к. знаменатель больше нуля лля любых ненулевых векторов, то знак соэх зависит от знака числителя. а) Еслисоя(а" г) >О,тоа" г <90'.Докажемэто. х, х,+у, у,+с, д,=З 1+( — 5) О+О 0=3,3>О,значит, и все выражение положительное, соя(а "г) > 0; а*г' <90'. б) Если соя (а" ~') < О, то ив ",~ > 90*. Докажем это. х, х,+у, у,+г, с,=З О+(-5) 1+О 0=-5, -5<0, значит, и все выражение отрицательное.

соя (а * ув) < 0; а " т' > 90'. в) а" /с = 90', когдасок(а" /с) = О. По формуле (1) сок а = О, если числитель равен нулю. х, х, +у, у, +г, с, = 3 О+(-5) 0+0 1=0,значит, сок(а " 8) = О, а " lг = 90'. № 448. а Ь =х, х, +у, у, +г, с, (и. 47). а) а ° Ь = -1 5 + 2х — 3 ! = 2х — 8. 1 2х — 8= 3; 2х= 11; х= 5 — = 5,5; 2 164 Глава К Метод кое дунет в и ост анстве б)о Ь =2х — 8=-1; 2х=7; х 3,5; в)а?.Ь,значит соз(а" Ь) О, а Ь 0,2х — 8=0; х 4 №449.

а(вн 3;4);Ь(4;т;-7), а Ь = 4е+За-28 =0;7е = 28; а = 4. В С №450.(рис,251).АВ( Г2 — 0;1 — 1;2 — 2), АВ(.72; 0; О), РС( зГ2 — 0; 2 — 2; ! — 1), РС ( Г2; 0; О). Векторы имеют одинаковые координаты, А Р значит, ониравны,тогла,)АВ) =!РС), АВ)) РС, Рис 25! АВСР— параллелограмм, Параллелограмм, у которою хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник. АР (О; 1; — 1), созАВ .4Р= х~ х'+У' У'+~' ~' сов АВ" АР= х, х, +у, у, + е, е, = 0 /2 О+О 1+0 (-1)=О,значит,сов(АВ" АР)=0, АВ" АР= 90', Значит, АВСР— прямоугольник.

Прямоугольник, у которого две смежные стороны равны, — квадрат. Докажем, что) АВ) = )АР(. )АВ(=ДЛ) =ч2, )АР(= чГО' ь('.!.!' =ч2, т.о. АВСР квалрат, ч.т.д. 76461.И у ф Р лбу: *, *,+у 'у "е 2 3+( — 2).0+О ( — 3) 6 6 а) сов(а "Ь)— ?тт+О ~9 О 9 Т8 т~8 2,Г2 3 '2 6 1 = — = —, а " Ь = 60'. 12 2 166 62.Скала новп иэв ениеввкто ов № 452.

а (2; 1; 2) и (1; 0; О) „ЯО;1; О), /с (О; 0; 1). 2 1+0+0 2 2 соз(а "1)= — = —; а "Т = 50 46' 4+44! Л+О+О 3! 3 2 0+1 1+0 1 соз(В "ут)= = —; а "уп =63*26'; /4+1+ 4 1 3 соь а " Ь = —; а " В = 50' 46'. 2 0+10+21 2 ~я 4 3' № 453. СА [1 — 1; 3 — 2; 0+ 1), СА (О; 1; 11; СВ (2 — 1; 3 — 2; — ! + 1), СВ (1; 1;0); — О+!+О ! ! сов(СА "СВ) = = —, СА "СВ = 60'. .)( +!' 1 +1' /2 42 2 № 454. (рис.

252). сова = АВ(3 — 1; — 1+ 1;1 — 3), АВ (2; О; -2), ВА (-2; 0; 2); АС( — 1 — 1;1+ 1;3 — 3), АС ( — 2; 2; О), СА (2; — 2; 0); ВС(-1 — 3; 1+ 1; 3 — 1),ВС(-4; 2; 2),СВ(4; — 2; -2). -4+0+0 4 1 сов(АВ" АС) = ч'4+4 ~4+4 8 2 АВ " АС = 180' — 60' = 120"1 В Рис 252 /2 (-3)+ Г2.(-3)+0.2 — 6~/2 Г2 2+2+4 9+9+0 2 Г2 3Г2 2 соз(а" Ь) < 0 значит этотупой угол а" Ь = 180' — 45' =!35, 0 О+ 5 (- /3) + 0 1 — 5 ГЗ ГЗ в) сов(а "Ь) -=- ~0+25+О ~(0+3+! 5 2 2 соз(а" Ь) СО,значит, уголтупой, и а*Ь = 180'-30 = 150'; Глава К Метод кос динатв и ест анстве — 2.( — 4)+О 2+2 2 8+4 12 соа (ВА " ВС) = «6 66««)6 6 6 2Г22 2Л 6-2 2 3 ГЗ, ВА " ВС = 30'; — 2 4+( — 2) ( — 2)+0.(-2) 8+4 5ГЗ )Сф 'СР) СА СВ = 30'; Углы при основании равны. Трсугольннк АВС вЂ” равнобелрениый.

Найдем периметр 65АВС. Для этого найдем 1ВС) и !АВ) (!АВ! = -)6С)) .ф.р уо".65:2.,Р у !ВС~ = 2/ 6+ 4 «ф 4 = 2/24 = 2 /2 5/3, !АВ~ = /4+ 4 = 5Г8 = 2 Г2, Р- !ВС! +2 (АВ! = 2-Г2 .ГЗ+ 2 2,Г2 = 2,Г2(,ГЗ+ 2) ! — ' Найдем площадь ЛАВС: Ю = -!ВС) (АЦ где АО 2 ВС. 2 Точка  — середина отрезка ВС, т. к. 6."зАВС вЂ” равнобелренный. ГЗ-1 1-1 1+3) Согласно формуле(2) п,45: Р~ —; —; — ), !3(1; 0; 2) 2 2 2 ) = /0+1+1 = Г2(по формуле !АБ( = и. 45 (5)). Ю= — 2 Г2 2ГЗ /2 = 2 ГЗ.

2 № 455. Примем, что сторона куба равна а, следовательно; а) В прямоугольном треугольнике АА,С,(рис. 253)АА, = а, А,С, = 6/ау+ а' = а /2 (по теореме Пифагора). ус,-«' ' (н'2) -ЛУ )с= а ГЗ, Рис. 255 В2. Скаля нов п оиэведение некто ов 167 АА, а ! оГЗ сов(АА, "АС,) = сов ~А,АС, = — '=— АС, а/З»ГЗ 3 б) Векторы ВР, и РВ, лежат в плос- В, кости ВВ,Р, сечение куба этой плоскостью есть прямоугольник ВВ,Р,Р со сторонами а и а о(2.

ВР, " РВ, = ~В,ОРг В По теореме косинусов в ~~В,ОР, (рнс. 254): ВР,'= ОВ,'+ ОР,' — 20В, ОР сов с'.В,ОРг ОВ, = ОР, = — РВ = —,4С, = —, В, Р, = А,С, /з Рг Рис. 254 а Г2, =ь оо,'+ос,'-оо ( 1 ~ ~ 2 ) 20В, О.Р, аГЗ аГЗ а 3 а'3 о 3 — + — -2а' -а' -2а' 4 2 4 -а' 2 3 3 3 2 в) СС.!. ВР,АС Л ВР(по свойствуднагоналн квадрата) (Рнс 255). Значит, ВР перпендикулярен плоскости АС,С, тогла ВР 3. АС„ соа (ВР" АС, ) = сов 90' = О.

А Рис. 255 1ОВ Глава К Метод кос инат в и т нстве № 456. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке Р (рис. 256). Следовательно координаты вершин прямоугольного параллелепипеда: А(2;0;О);А,(2;0; 2); ЧЭ С, В(2',1',О)',В',(2',!'!2)', С(0; 1; 0); С,(0; 1; 2); ))(О; 0; 0); б,(0; 0; 2). х, х+у, у+с, т, сова = где а " Ь = а, а (х„у,; с, ); Ь (х,; у,; с,); а и 0; Ь х О. ВВ, (2; 1; 2), что соответствует коорди- Рис. 256 натам точки Вг ВС, (Π— 2;! — 1; 2 — 0), ВС, ( — 2; 0; 2) — 2 (-2)+! О+ 2 2 -4+4 соз(()В, " ВС, ) = Д г7з4 О 1 9тя ()В, " ВС, = 90'. № 457.