atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 13

— =9п!,отсюда!=27(см); 360' 360' 3 Н= ъ!2 — г', и- 22'-92 '9 ) 9 2-9 9 Г)-к9 ()-999-)5 2 ( ): Я =пг'=и 81= 81п(см)) гз) г. Кон с 1= и 2 в) и а совср 5„,,„= п(!+ г)г, а ' а а Х...„= и 2в!па,2м!па 2в!па саяр> па а ( ! '~ па (! + совч1) 25!па 2в)па совср, 4$!п'асовф Рис. 353 М 566. (рис. 354). 5„„= 25,„; Х,„, = пН, !) г = т в!и <р, 1= т; 5',. =пт в(п<р т = па'ь!п<р; 2] 5„, = 2пт* в( и в1, 1Еси аращеиии йси Рис .153 Рис. 354 Л, г/ 43, № 56?, (! и„355в г:.Зсм.г,=бсм. Н--)см.! =? 1!ровслем А,б! -' ОА. А,М=Н=4см. 181=3 и. А,А 5 С?И и АЛ! =-Ч ! б е 9 = 5 (см).

0 Рис. 355 № 568, ПровелемА,Ч 3 ОА (рис. 356), 4 А И = О О = Нем, АМ = б сль № 565. (рис. 353). При врашении полу- чим коническую поверкность, 5„= пг1, 5„,, = тг(! + г), !) !=ч!б' е8' =чг3б+64 = 1О(см): 2) 5и. = п 8 10 = 80п (см ); 3) 5.,„= п 8(10 + 8) = 18 8 и = !44п (см). 282 Глава И. илии, кон и ша О, а) Н= 40' -б' /Г00 36 = 8(см); б)В 4В Н 5+11 Ян,„и= 8=!6 4=64(см'). № бб9. Осевое сечение усеченного конуса — равнобедренная трапепия с основаниями 2г и 2В.

(рнс. 357). Найдем высоту трапеции ОО, = Н. АК =  — г, ГЛАВК вЂ” прямоугольный равнобедренный, ВК= 00 = Н= Л вЂ” г. ВС+ А/) 2г+ 2Я В = — Н = — ( — г) = (Я + г)( — г) = В' — сс ики 2 2 А М Нем О Рис. 35б г О ~~О Я Рис. 357 № 570. (рис. 358). 5, = 80 см', РО = ОМ, С/)3 РМ. 5, „„„=? Ю,„„= я(г+ г,)/, где г = ОС, г, = МА, /=СА, СΠ— средняя линия в 0АРМ, АС= СР. Я = ягАР. Примем АС= СР=/, сле- довательно пг, 21 = 80, или яг,/ = 40 (1) Е РОС вЂ” РсРМА. г / г 1 г, — = — — — = —, г= — ' (2) г, 2/ г, 2 2 Рис. 35В РО ОС РС РМ МА РА УЗ.С е 40 (г ) 40 сс Зг, 40 Из(1)! = —; Я„, = п~-с+ г7!.— = ' = 60 (см') 233 № 571. (рис.

359). Примем СВ = г, А0 = г, ! = 0С, Н = ВА. ПроведемСМЗ 0А. ИзсЗСМ0с 0М= 3 Г2соа45* = ЗЛ с2,3 2 0А = г 3+ 4 = 7(см). В = п(г+ г,)1, 5 „= п(4+ 7)3 /2 = и 11 З~Г2 = 33 Г2п; В =В +л(,, +Р), Я„„= 33 Г2п +л(16+49) = 33/2п +65л. № 572. (рис. 360). 1 м'-150 г, Ф= 100 ведер. 5 = л(г+ г,)!, 5 „= ссг,', Ю =2(л(10+ 15)30+ и !О') = = 2(п 25 30 + 100п! = 2п[750 + 100! = 850 2л = 1700л (см') !и= 100см,! м'=1О'см',хм'=1700псм', ПООи х = = 0,17п ( м'). !00 100 5= 0,!7л ( м'), 1005=!7и(м'). Олсвевс: расход краски составит: 0,15 17л = 2,55л(кг) = 3(кг), ф 3. Сфера № 573. Через три точки проходит единственная плоскость, в частности, через точки А, В и О. Сечением булем окружность, проходяшая через центр сферы. а) Провелем радиусы ОА и ОВ. с.'сАОВ— равнобелрснньсй, ОМ вЂ” медиана(рис.

361). Тогда ОМ также и высота, то есть ОМ Л АВ. Рис. 55!С 10 75 Рис. Зб0 Рис. Зб! 254 Глава(27. Цилинд, кон с и ша б) Если ОМ.1. АВ, то 250МА = ОзОЛгВ. (ОМ вЂ” обгпий катет, ОА = ОВ = В). Тоглв МА = МВ, точка М вЂ” ссрелнна АВ. Утвсржлен и с локо за но. ,ч(в 574.

Провслем секупгу)о плоскость через точки А, В и 0 (рис. 362). Сечение сферы этой плоскостью булет окружпосзькз ралиуса Я с исгзтро25 и точке О. ОМ вЂ” мсчиана в равнобслрспном ЛАОВ, поэтому ОМ ' АВ. а) В = 50 сч, АВ = 40 см, найти ОМ. Вм ..)а АЛ(= — АВ =. 20 (см), Из ООАОМ: ! 2 ОМ-,'ОО'-ОМ'- )2'-ОМ'- )5)2-25'- '25)О-ММ-О)))О2)))-,)2).ГОО= )О,'2) ) ): б) Я = !5 мч,О(В=!ь чм.

найти ОМ. ОМ = 1(ЯΠ— -АВ1 =- чг!52 — 5)7 = ч'225 — 8! =- О(!44 = 12 (ь)л)); в) Н = 10лч. ОМ = 60 ем, )ийгп;(В. ОМ = 60 сч = 6 лм. АЛ!--2)04 -ОМ =0!0)-6 =Ч'!00-36=з(64 =В(ГМ). АИ вЂ” ' 2А (( =- 16 (лч)'1 5) В.= а. ОМ=- ') пап)п 1,)6 !М ==,01* -О!Г:.

ай) — О !( 'ъ' з7; )р)'...) )К ь)см) 3 ')') 5' 5)А. В)5 о )ку Π— 2)сн) р.фсры пргчзс)с2) ольги ость. В сс )сппи 2).ы) «ч,))эь,.)зс)5, рыпзиа В. пролоппцая через 5;сп гр с )ыры. й равнобслрс;п)2 25 ..ОАВ 1рог)слез) ОМ )! лВ 05(-- ьыс )га а р впобслрсглгоч )рсуголы.иО:с, з))з гз)г,ОМ вЂ” мслпшнп )и ()мс. 343 Л(А = МВ = —. ОМ вЂ” г)ско2)ос расс го55555)е.

2 ОМ =-, ОМ ' — МА) = ~Я' — — "'- = ' 4 2 63.С еа 235 № 576. а) А(2; — 4; 7), Н = 3. Соглааю формуле (!) и. 59 (х — х,)'+ (у — у„)! + (с — г )' = Я' имеем: (х — 2)' + (у + 4)' + (г — 7) = 9; б)А(0;0(0), 8=42; х'+у'+е'=2; в) А(2; 0; 0), Я = 4, (х — 2)' -> у' + г' = ! 6, № 577. а) А(-2; 2;0), Ф(5; 0; — (). Согласно формуле (!) и, 59 уравнение сферы с центром в точке С(хор г~ гр) имссч Вил (х хц) ! (у у~) (с е~) Я В ланном случае оно имеет вил: (х+ 2)'+ (у — 2)' + е'= Я'.

Т.к, точка %лежит на сфере, то ее координаты удовлетворяют даю юму уравнсникк (5+ 2)' + (Π— 2)' + (- ! )' = )!', 49 + 4 + ! = )(', /(' = 54, ноатому уравнение сферы имеем вид: (х+ 2)'+ (у — 2)'+ с' = 54; б) А( — 2; 2; 0), Дг(0; 0; 0). (х — х„)' + (у — у„)' -г (с — г„)' = й'. (х+ 2)'+ (у — 2)'+ е'= Я'. (О + 2)' + (Π— 2)' + 0' = )(', 4+ 4 = Я', Л' = 8.

Уравнение имеет вил; (х+ 2)'+ (у — 2)'+ с'= 8; в)А(0; 0; 0), М(5; 3; !). (х — 0)'+ (у — 0)'+ (с — 0)' = 8', '+у'+ =)(',5'+3'+ !'=8',25+9+ ! =35,)('=35. Уравнение имеет вил: х' + у' + е' = 35. № 578, а) х + у' + с' = 49. (х — х„)' г (у — у„)' + (с — г,)' = К где Я вЂ” радиус сферы, и(х„; у„ г,) — координаты точки С вЂ” центра сферы. В данном случае х — х =х; у — у„=у; с — г, = с, поэтому х, = 0; у„=О; г,=О, а )! = /49 = 7. Итак, координаты центра (О; 0; 0), радиус равен 7, б) (х — 3)'+ (у+ 2)'+ с' = 2.

(х — х„)' ж (у — у,)' + (е — г,)' = Я', х — З=х — х,х =3; а о у + 2=у — у„у,,= — 2; с-г,=с,г,=О; 2 =)!',)! = /2. Координаты центра сферы (3; — 2; 0), радиус равен /2. № 579. а)х' — 4х+у'+ т' = О, Глава И. илинд, кон с и ша х' -' у' + с' — 4х = (х' — 4х + 4) + у' + е' — 4 О, (х — 2)'+ у'+ с' = 2' — уравнение сферы. Координаты центра (2; 0; 0), Я = 2; б)х'+у'+ т' — 2у = 24, х'+ (у' — 2у+ 1) — ! +е' 24, х' ч.

(у' — 1)' + е' = 25 = 5'. Координаты центра (О; 1; 0), К 5; в) х' + 2х + у' + ез = 3, (х'+ 2х+ 1) — ! +у'+ т' = 3, (х + 1)" + у'+ т' = 4 = 2' — уравнение сферы с центром (1; 0; 0), К=2; г) х' — х + у' + Зу + е' — 2т = 2,5, 1 ! 1, 3 9 9 (х' — 2 -х + -) — — + (у' + 2 — у + -) — — + (т' — 2т + 1) — ! 2 4 4 2 4 4 = 2,5 х — — ~ + ~у ь — ~ + (е -1) = 2,5 + — + — + 1 = 2,5+ — + 1 = 2! ( 2) 4 4 4 = 2,5 + 2,5 + 1 = 6 = (~Г6)', х- — )! +~у+ — ) +(х-1) =(чГб)' — уравнение сферы; вточке 2! (, 2) 1 3 с координатами (-; —; 1) расположен ее центр, В = чб.

2 2 № 580. (рис. 364). Сечение шара плоскостью есть круг. ОВ перпендикулярен ~поскости сечения, ОВ= 9дм, ОА = В. Из прямоугольного ~зОВА: ~в=Я~'-ов' =,%':ов: = = з/41' -9' = ~/!681-81 = з)(600 = 40 (дм). Плошадь круга в сечении: 5 = я(АВ)' = и 40' = 1600л (дм'). Рис 364 № 581. Плоскостью 4ВС пересекает сферу с центром О по окружности; зта окружность описана около 2гАВС. Из точки О проведем ОК, перпендикулярный плоскости АВС, ОК вЂ” искомое расстояние, точка К вЂ” центр описанной УЗ.С ее около бзАВС окружности.

Соединим точку К с одной из вершин бзАВС, например с точкой А, проведем радиус в точку А (рис. 365). бзОКА — прямоугольный, из него по тео- реме Пифаго а находим ОК: ОК = ОА' — КА' = П3' - АК' Вычислим длину АК. АВ СВ СА 4 В В,„- Р(Р-АВ')(р-АС~,р-СА) 6+ 8и10 Р= 2 У=6))))=Я))с) ы') )с) '), 6 8 10 24 2 2 5 АК = — = = 5(см), 4 24 24 4 ОК= Г3' — 5' =зг69-25 = ЛМ = 12(см). Рис, 365 № 582.

Плоскость прямоугольника пересечет сферу по окружности, которая будет описанной окружностью около и рямоуголь- никаАВСР, Ее центр находится в точке перс- сечения диагоналей прямоугольника (рис, 366). Примем Π— центр сферы, следовательно ОК перпендикулярен плоскости АВСР, ОК вЂ” искомое расстояние. Из прямоугольного треугольника ЛОКА найдем ОК: Ос- ОА'-сс - У-3Р. бс равно половине диагонали АВСР. А 16 АК = — = 8 (см), 2 ОК= з/10'-8' = 400-64 = 6 (см). Рис. 566 № 583. (рис. 367). Равнобедренный сХРОЯ как бы положили на сферу, он касается сферы в точках А, В, С. Опус- Рис. 567 гзв Глава И, Цилиид, кон с и шар тим из пснтра сферы 0 перпендикуляр 00, на плоскость РОЯ.

ОА 3 РЯ,О В 3. РО,ОС 3 Я(2(Потсореме стрех перпендикулярах ОА, ОВ, ОС перпендикулярны к соответствутошим о!вронам езрьгЯ). ЛОО,А = схОО,В = 2хОО,С(они прямоугольныс, О,Π— обший катет, ОА = ОВ = ОС = Я). Вы вол: точка О, — центр вписанной окружности. Найлслг ралиус вниглшной окружнооги: 10+ 10+ 12 = 16 (см). р 2 По формуле Герона; 48 5, = 46 6.6 4 = 4 6. 2 = 48 (см'), г= — = 3 (см). 16 Из гзОО,В по теореме Пифагора: 00, =,„~ОВ' -О! В' = )Я' — г' = чГ5' — 3' = 4 (см) М 584. Звлача практически пословно повторяет задачу 583; отличшотся.