atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 29

Отсюда вследствие перпендикулярности векторов а и с, й и Ь, ВС и Й: ВС 0 А = са — йЬ вЂ” (с — Ь3г7 = О, аналогично 0 В 3. АС, О,С АВ, № 795. Пусть 0 — центр сферы, 5А = а, В 5 5В = Ь, 5С = с — данные хорды, а — плоскость 5АВ, ю — сечение сферы этой плоско- А стью. О Так как ЛА5В = 90', то А — диаметр лля ез.

Если 05 — другой диаметр, то А5ВО— пряиоуголы<ик и точка О, персссченьи его диагоналей — центр для ез и, следовательно, 00, 3 а. Поскольку 5С 1 5А и 5С 1 5В, то 5С2. пи, значит,5С 3 00,. Плоскость, проходягцая через зти прямые, содержит большой круг шара. Так как ~05С 90', то ОС вЂ” диаметр сферы. ВС' = Оз + 5С'= АВ'+ 5С'= (а'+ Ь') + с'. Сумма а' + Ь + с равна квадрату диаметра сферы и, следовательно, не зависит от положения хорд. № 79б. Плоскость а, проходящая через данную прямую а, пересекает сферу по некоторой окружности с центром С. Пусть СА Л а,(3 — плоскость ОАС.

Тогда ОС 3 а так как а са, то ОС 3 а, кроме того, СА Л. а, и поскольку ОС ~ (3 и СА ~ р, то (3 Л. а, Так как ЛОСА = 90, то С лежит на окружности с диаметРас 593 ром ОА. Искомое множество — дуга окружности с диаметром ОА, находящаяся внутри сферы и лежащая в плоскости )3, проходщей через центр сферы 0 перпендикулярно данной прямой а. Задачи повышенной г дносги 373 № 797. Пусть5А,5В,ВС-ланные касательные к сфере радиуса Я с центром О. гзА50 = гзВ50 = гз5СО как прямоугольные по гипотенузе 50 и катету Я, следовательно,5А = 5В= 5С.

ЬА5В= сзВ5С= с~С5А по лвум катетам, поэтому АВ = ВС = АС. Перпендикуляры, опушенные из 5 и 0 на плос- кость АВС, пройдут поэтому через центр О, окружности, описанной около гзАВС, и совпадут, Если 5А = а, то из треугольника АВ5:АВ=аГ2. Так как О,А — радиус описанного около треугольника АВС круга, то АВ = О,АЛ, вас 594 № 798. Данный тетраздр состоит из четырех пирамид с верши- нами в центре шара, высотами, равными Я, н основаниями, совпа- дающимии с гранями тетраэдра. Если объем тетраэдра У и плошади его граней 5, 0 = 1, 2, 3, 4), то 5Я, 5, У = — '', откуда — ' = — ', С другой стороны, 3 3 а, У=,'Г-5,Я, =,'~ — Я=УЯ,'~" —.

,3 '',,а, ,., и, Следовательно, 1 1 '1 г У=УЯ~ —,-=~ —. ,, Я, Я ,, Я, г О № 799. Пусть О, — центры данных шаров, где ! = 1, 2, 3, г, — их радиусы,где г,>г,>г„А,-ихточки А касания с плоскостью. Тогда Г2 Я АО, 113 ОА =аа —. ЬОА5- ЬОА5, следовательно,— = — '=— 13 05 А5 а 05 = 0,5Я Гб. Искомое множество — сфера, центр которой совпадает с центром данной сферы, а радиус равен 0,5Я /6, 374 Глава Ий Обьемы тел № 800 Пусть О, О, О, О, — проекции на данную плоскость центров шаров радиуса Я, а 0„0, — центров шаров рааиуса г, Тогда треугольники 0,0,0, и 0,0,0, — равносторонние со стороной 2Я, О, и О, — центры этих трсу гол ьн и ко в. Если О = 0,0, П 0,0„то г, 0,0= 12,0,0.1 0,0,и г=- Н 1830'= —.

багз Ряг. 59б -ОО =00= ! № 801. Если А„А„А, — точки касания шаров с плоскостью и 0- центр основания конуса, то А,А, = = А,А, = А„4, = 2й и 0 — центр окружности, описанной около треугольника А,А,А,. Следовательно, 271 = ОА, Л и ОА, = Пустьтреугольоик А58 — осевое сечение конуса, ОА = г — радиус его А, А г О В Рос 597 основании, ~ОА5 = а, О, — центр одного из шаров, С, — точка касания этого шара и конуса.

Тогда в четырехугольнике А,АСО,: гА,АС, = 180' — а, .сО,А,А = г'О,С,А = 90, следовательно, гА,О,С, = = а, а так как 2тО,А,А = ЬО С,А, то г А,О,А = 0,5и. ~А =Я; Г-м- т='Р7, '" """'" А,А, =2 9г,г„А„4, ? И,г,. Так как г, 1 г, > г„то А,А, 1А,А, 1 А,А„и по свойству сторон треугольника А,А, + А,А, 1 А,А, (при равенстве точки лежат на одной прямой), отсюда ,~г,г, +,~г,г, > ~г,г,,( (г, +,~г, ),~г, 1,~гг,, г, 1 (Д +Я 375 Задачи повышенной т дности ЛВ 2В ГЗ Из ЛАОСА: [8 а = —, А,А = ОА, — ОА = — — г, г 3 а А А 2хГЗ г нз ЬО/А,А: [8 — = — ' 2 Я 3 Я 2[8— Подставляя зти значения в формулу [8 а =, получим по- ,(з' [8— 2 еле упроп[ений: 3(Л вЂ” 2)г' — 4 ГЗ(Л вЂ” 1)Вг+ ЛВ' = О.

Прн Л =- 2 ы — 4 ГЗКг + 2В' = О, г = —. В,ГЗ б / /(/-О-л/' — /// // 3(Л вЂ” 2) При Л < 2 только этот корень положителен, Прн Л > 2 оба корня положительны, но больший корень г, ока- 2В,ГЗ зывается большим, чем, то есть радиус круга, описанного 3 около /5 А,А„4,; А„А„А, находятся внутри основания конуса и касание является не внешним, а внутренним; 9Л' — 18Л+ 12 = 9((Л вЂ” 1)'+ 3! > 9(Л вЂ” !)'; 2 Гз(Л -1) + 3(Л - 1) 2/(3(Л вЂ” 1) + ГЗ(Л -1) 3(Л вЂ” 2) 3(Л вЂ” 2) =,Гз — "' В >,Гзя > -'В,ГЗ. Л-2 3 / )[(в802.Точки Ми(тделятпополам диагонали прямоугольников АВВА, и АСС„4„поэтому МХ— средняя линия в треугольнике ВА,С (рис.

598). Пусть И объем призмы. Тогла )г г'„„= — (АА, — обшая высота), Рвс. 5[/8 Глава ИЬ Обьемы тел 37б вммь 5мвв, 1 — '' = — ' = — (АР— общая высота), следовательно: У У У„= —,У = — — — = —,У 12 '"' '" 3 12 4 ""'"" м "м 3 У У Р, Ьммсв, 3 12 4 У 51 1мсв мм 12 4 4 12 № 803. Дополним данный тстраэдр АВСР, ло параллелепипеда: АВВ,А, 11 СО„ВСС,В, ~1 АР„ А С00,С ~~ АВ, АРО,А, ) ВС, В А,В,С,Р, (~ АВСР. Рмс.

599 Тогла АВ= и, СР, = Ь, кАВА, АВ * СР, = вр, высота параллелепипеда СР = с. Я„ва„= 2Ю„вм = аЬ з)п вр; по задаче 776: У = вам. аЬсз(пвр № 884. Если РР = 0 С, РО 3. АВС, 0,0, .1 АВС, то 00 ~~ Р,Ом Р,О, = —, У„., следовательно У„= 'м' (основание 2 АВС вЂ” общее), т. о. У, = 1'„„ № 805.

Пусть Мдг — средняя линия грани ОСР, ОО, и Фвм', — перпендикуляры к основанию пирамиды, У вЂ” ее объ- В Ю„, ем, У„„м= — (так какЯ„ Рмс, б00 4 ввс ОО, У ФЬГ, = — '), Ум,„= У .„= — (5,вм = Я „, высота, проходящая через вершину А, общая), 377 Задачи повышенной г дносги У = — ""(5 = — ',в жми 4 ом«4 прохоляшая через всрщ и ну А, общая) У = — (В = — '', высота 00 2 "" 2 У общая), =» У син У 3У У 04«чм 8 4 ЗУ 5У У . = У- — = —, плоскостьде- 8 8 лиг объем в отношении 3: 5, г , ба) )»(в 806. Пусть а ~~ с)! ««', Ае а, Ве а, Се с, Ое «1. и — плоскость, содержащая а и с, 00„3. и (рнс. 602). Тогда 5,„.

не зависи~ от положения С, длина 00„не зависит от положения О, следовательно 00, У„„» = Я„и — ', не зависит от положения С и Р. Р Рис. б02 Рис. б03 Хо 807. Воспользуемся задачей А, )»(е803. Расстояние между скрешиваю- Е« щимися прямыми АЕ и О,Е, то есть расстояние между содержащими их параллельными гранями куба, равно С АО = ) см. Если Г, — середина СС, и М = РГ, й РЕнто 0Г,«)АЕи угол меж- 0 ду АЕ и О,Е равен углу ОМОН бз РО,Е = «АСОР„=» если 00, Е = «р, то СОР, = «р, РОМ = 90' - «р и в «300 М а РМО, = 90 . Из треугол ьников Ахии РР,Е; АЕ= РЕ=,~Г+ 025 = —, поэтому согласно )Ча803: »Г5 2 Глава И!.

Обьемы тел 378 А1г Р,В.АРчйпх'.РМР, 0,515.0,5Г5 а1п90' 5 ю~ы 6 24 № 808. Пусть Π— какая-нибудь точка на среднем сечении ланного многогранника. Разобьем его на пирамиды с вершиной О. Основаниями двух из них булут служить основания многогранника, основаниями остальных — треугольники, из которых состоят его боковые грани. Объемы первых лвух пирамид: Ряс б04 Ю, .0,5Гг о,л 5,6 У= ' ' = — ', У = — '. Если ~~ АВА — один из 3 6 ' 6 ! треугольников, на которые разбиты боковыс грани, то среднее сечение пересечет его по срелней линии А,В,.

Тогда 1 ! Ячч..=45.,п.. Уьчч.,=4Ую,в;, Уси,в„.,= — Вьчп — =е ! Так как сумма площадей всех таких треугольников равна Х„то сумма объемов всех пирамид с основаниями на боковых гранях 4о,л равна У = —. Объем всего многогранника равен з й(Х, +Ю, +45,) 379 Задачи повышенной т дности Рис. 605 № 809. Если оси Оу и Ос являются осями цилиндров, то в системс Ох»с их боковые поверхности имеют уравнениях'+ х'=1и у +х~=1. На рисунке изображена часть данного тела, лежагцая в первом октанте.

Ее сечение плоскоспю,перпендикулрнойоси Ох — квадрат со стороной х у = «(! -х'. Поэтому обьсм этой части тела равен У-)"(1- ')Ах=.- — ч =-. 2 !6 Объем всего тела равен 8 — = —. 3 3 АВ+ АХ+ ВХ № 810. 5 ОМ = — АВ 5С, отсюда 2 (АС+ВА) =АС ВС (у +,~х ' + у ' ) г = х», Я г ч(х'-~у' =у(х — г), г'х'+ г«~' = у'х' — 2у'хг+у'««, гх г у = х — 2г ! х« 1'= — пу'х = -кг « 3 3 х-2г г 1, 2х(.с — 2г) — х' А У С В 3 (х — 2г)' Рис. 604 По необходимому условию экстремума У' = О; 2х(х — 2г) — х' = О; х = 4г. Так как при х < 4г У' < О, а при х > 4г У' > О, то У имеет минимум.

Тогда у' = 2г', А5 =,/х' чу' = Зг~/2. Если хАЬВ = а, то с'.АВС = —, <х 2 зво Глава И!. Обьемы тел а АС г!2 1 . 1 Из с."~АЯС: з!и — = — = — = —, а = 2агсз!и —. 2 АЮ Зг/2 3 3 № 811. Пусть АС = Я вЂ” радиус основания конуса, АХ = ! — его образуюгцая, УС= й — его высота, ОМ= г- ралиус вписанного шара (см.

рис. к №8 10). Тогда Я„„, пЯ'+яЯ! Я(Я+!) В „4яг' 4г' АС ОМ Я г ЬАЮС вЂ” ЛОХМ, — = —, — = — „Ял — Яг = (г, Яй = (Я+ !)г. АВ 05 ! л-г" У, пЯЪ 4пг' Я Я)г Я(Я+!)г Я(Я+(~ Ю„„„ 3 3 4г' 4г' 4г' В „ А В В р й(а 812. При повороте пирамилы ВАВСО вокруг 3 прямой р, параллельной АВ, отрезки А,А, ВМ, В„В, перпендикулярные р, займут ,г~'0 ! С соответственно положения А,4в ВМ„В,В, в плоскости совпадает с телом, полученным при вращении многоугольника А,А,ВВВ,. Его объем равен разности между объемом цилиндра, полуРис 607 ченного при вращении пря- моугольника А,В,В,А, и объемами конусов, полученных при врашении равных треугольников Аг(,5 и В,ВгУ.

а а Из ЛАЯМ: ВМ= — г8-; 2 2 Из й0$М:ОХ= ВМ -ОМ' = — сг8' — — — =,но а',а в' а сова 4 2 4, а' 2 зв! Задачи повышенной т дности а 5М = ХМ„ОХ = А,А„, А„В„= АВ = а, А„З = —, поэтому объем тела врашснил равен 2, а а', и ! а' сози яа', и сози — — кОЯ' — = я — с|8' — а — — и а= — 3с|8' — — — . 3 2 4 2 3 4пи |2 2 „пи 2 № 8|3. ПустьА — диаметр полукруга, Я вЂ” его рааиус, О - его пснтр, ОК3. АС, Сд 3 АВ. Объем тела, полученного при врашении фигуры А)чС, равен разности объемов шароаогоссгмент, полученного при вращении А)УСО, и конуса, полученного при вращении АОС: Рис. 60а ,( А1)'! яОС'АО НОАС= 2АК= 2Я сов и, АО=АС сов и = 2Я сов и, ВС = АС ь!и и = 2Ясоз и з|п и, следовательно, У =л4Я соа и |(Я вЂ” ) — — 4Я соз из(п и 2Ясоа и= ( 2Я сов)и ) и ~м 3 ) 3 = — яЯ' (! 2соз' и — 8соз' и(соз' и + з)п' и)) = — яЯ' соз' и.