atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 28

PDF-файл atnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян), страница 28 Геометрия (5701): Книга - в нескольких семестрахatnasyan-gdz-10-11-2008-2 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян) - PDF, страница 28 (5701) - СтудИзба2015-08-22СтудИзба

Описание файла

Файл "atnasyan-gdz-10-11-2008-2" внутри архива находится в следующих папках: 25, atnasyan-gdz-10-11. PDF-файл из архива "Геометрия 10 - 11 класс Атанасян", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "геометрия" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "геометрия" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 28 страницы из PDF

Если ребро куба равно 1, то ребро этого тетраэлра равно «(1' + 1' = чГ2. Глава ИЬ Объемы тел 366 С! № 78!. Пересечение тстраэдров АВС0, и С,ВА0 есть многогранникес вершинами в центрах М, )У, К, 1., Р, Д граней куба, то есть октаздр. Например, его грань МХР ограничена отрезками М)У= (АВС) Й (С,ВА), С РМ=(АВС) й(ВА,0), РРУ = (АВ,С) Г (С,В0). Октаэлр — правильный; он выпуклый, грани его правильные треугольники со а стороной, глс а — ребро куба, и ч'2 в каждой вершине сходится четыре ребра.

А, В Рис. 580 № 782. Пусть АВС0 — грань наименьшего куба, прилсжацгсго к грани параллелспипсла. К его сторонам должны прилсжать большие кубы. Ноесли кАВиС0ониуже приложены,ток ВС и А0 приложить их нельзя. Рис. 581 № 783. Пусть и, — ллина )-го отрезка ломаной, хи у„д — плицы его проекций на три ребра куба с общей вершиной. Согласно условию проекции отрезков нс имеют обших точек, следовательно Рис. 582 Хх,<1 Ху,<1 ~~" г < ), АС, <АС+СС, <(АВ+ВС)+СС„ в соотвествии с этим и, < х, +у, + си Отсюла ~~> и, < ~Г х, + ~Р у, + ~Р е, < 3.

Пусть теперь куб на рисунке — данный, его ребро равно ), и ломаная АВ,С„С, лежит внутри куба. Если точки В„и С„достаточно близки к В и С, то ллина этой ломаной сколь угодно близка калине ломаной А ВССи то есть к 3. 367 Задачи повышенной т дности .х/я 784. Пусть выпуклый многогранник имеет/ ~репей, /г ребер и е вершин, Отлслив от него какую-нибуль грань, нолучич многогранную поверхность Р,. Отделив от Р, грань, прилежащую к сто крак>, получим многогранную поверхность Рг Г!рололжая этот пропссс, получим через гшагов(1 < з </) поверхность Рс ~иолом граней„г„ребер /г, и вершин е, Локажсм индукцией по числу граней, равному /; = /- з, что /, + е, — !Г, = 1 (1) При/;= 1(тоесты /'-1) равенство(!) верно,так как тогда х,=е,,откуда 1 — е,— /г, 1.

Пусть(!) вернодля/,'< /'„,докажем (1)лля У„. Разрежем Р „по ломаной, соединяющей лвс вершины, лежащие на краю, образованной ребрами и не пересекающей себя. Получим поверхности Р, и Р,соответственно с Р, и /', гранями, /г, и /г, ребрами,е, не, вершинами.Так как/', < у', иу", </„,то (2) (3) Пусть л — число ребер разреза; тогда число его вершин л + 1. Если сосчитатьчислореберили вершин на Р, и Р, и рсзульзвты сложить, то каждое ребро или вершина разреза булут сосчитаны дважды; поэтому е, +е, е,+и,/г, +/г, =8 „+и+ 1; кроме того, у', + /', = Г, .

Тогда, склалывая (2) и (3), получим /' „+ е, + и + ! — (/г,, + и) = 2, то есть/, + е, — /г „= ! и (1) доказано,ъзя /', = Г „. Тем самым (1) верно для любого /'. В частности, при /, =/(то есть прн з = 1) имеем /, + е, — /г, = 1; так как у,=/ — 1, е,=е, /г,=/г, то /+ е — /г = 2. .'хб 185. Прямая, соединяющая л юбыс звс нротивополо кныс вершины правильно~о долекаэлра, является для него осью симметрии 3-го порядка, то есть при повороте вокруг нее на 120' или 240'додсказдр совмсягастся с собой.

Пусть Л— вершина лслекаэлра, 0„ 0„ О, пснтры нрилсжшпих граней (рис. 583). При повороте на 120" вокруг проходящий через А Риг. /ЮЗ Глава И/. Объемы тел 388 № 786. Рассуждения, как и в №785; используются оси симметрии 5-го порядка (рис. 584). Доказательства №785, 786 интуитивны, так как материала для строгих доказательств в учебнике нет. Рис. 584 № 787. Рассмотрим параллелограмм АВСР. Искомый угол а равен углу между 5С и прямой РС, параллельной АВ, то есть углу 5СР. Искомое расстояние А есть расстаяв не от точки А прямой АВ до плоскости 5СР, проходящей через РС параллельно АВ, то есть высота тетраэдра А5СР.

Так как А5 = а — другая его высота, то его объем. Р„„, = -5„„8= -5., <)) 1 1 Так как А5 = АВ = ВС = АР = а, Рис. 585 то 5В = 5С = 5Р = а Г2 а МС Л Если 5М 1 РС, то РМ = МС = —, откуда соз а = — = —, 2 5С 4 Г 1 яи й'-си' Г2 4 2 а ач7 а'/7 а' . „а'ГЗ 5 =- — —,5 = — з)п60'= —. 2 2 4 ' 2 4 оси 3-го порядка О, совмещается с 0„0, — с 0„0, — с О„следовательно, треугольник 0,0,0, — правильный. Таким жс образом используя ось, проходящую через В, убеждаемся, что треугольник 000, правильный и равный треугольнику 0,0 Ог Продолжая аналогично, получаем 20 равных между собой правильных треугольников.

Многоугольник, который они составляют — выпуклый, из каждой его вершины исходит 5 ребер. Он является поэтому правильным икосаэдром. 369 Задачи повышенной т дности а'~Г7 а' ГЗ. а ГЗ Тогда из (1) получаем: — г) =, 8 = а —. 4 4 ~(7 М 788. Пусть РС 1 ВС и Р = РЕ и ВС, а а ТоглаЕО= ЕС вЂ” СС= ЕС вЂ” ВР= ач2 — — = — = ВО= СС, зГ2 Г2 РР = ОЕ, РВ= ВС= а. Из бЗА ВР: АР =,(а + — = а ( —; 2 ~(2 (1) Е из сзАСЕ: АЕ= /а'+ 2а' = а ГЗ; (2) из б.' РСЕ РЕ= 1а'+ — = а —; а' ГЗ (3) О С 2 )(2 из (1), (2), (3) н по теореме, обратной теореме Пифагора, ~АРЕ = 90'. Р В С В сз РВА: Ф с'РВА = 180' — 60' 120', РВ = ВА а, с.'РАВ = кР= 30* и с'.РАС = 30' + 60' = 90'.

Рис. 58б По теореме о трех перпендикулярах с'.РАЕ= 90', и аз = с'.САЕ- 1 искомый угол между плоскостями. Из 1~АСЕ соа у = 73 с, М 789. ЕслиАВ=а, АО=Ь,АА, =с,то АС, =АВ+ВС+СС, =а+Ь+ с, ВР, =ВА+ АР+00, = — а+Ь+ с, аналогично: А СА =-а-Ь+ с, РВ =а — Ь+ с. При сложении квадратов этих трехчленов удвоенные произведения взаимно уничтожаются: а Рис.

587 Глава И/. Обьемы тел 370 АС,'+ ВР,' +СА,'+ РВ, '= 4 и'+ 4Ь'+ 4с' = 4АВ'+ 4А)У+ 4АА,' = = (А В' + РС' + А В,' + Р С) + (А Р' + ВС+ А Р,' + В С, ') + (АА, ' + + ВВ,~ + СС,' + РР;) М 790. Направим оси координат влоль ребер ОА, ОВ, ОС. Прололжсние данного луча с направляющим вектором й (х; у; е) и луч, отраженный от плоскости Оху, симметричны относительно этой плоскости. Поэтому вектор и, (х,; у,; г,) = и, (х; у; — е) является направляющим вектором отраженного луча. Действительно,и=(х~ +у!)+сгг,и, =(хГ+у~) — еВ, где вектор МФ = хг +угх лежит в плоскости Оху, а векторы с)г и -гй перненликулярны к плоскости С Оху, противоположно направлены и имеют равные длины.

Аналогично и, (х„' у,; е,) = Фу = и, (х,; -у„' -с,) = и, (х; -у; -е)- направляющий вектор луча, 0 отраженно~о от Охг, а вектор М й,(х,; у„' е,) = и, (-х,; уй е,) = =и, ( — х; — у; -г) — направляющий вектор луча, отраженного х -гл от Оуб Но тогла и, = -и, сле- довате:и но, направления вхоРис 5ВВ лянге~о н выходящего лучей противоположны. Замечашге: в данной задаче существенно, что луч успевает отразится от всех граней тстраэдра. Хв 791. Пусть С лежит по одну сторону с Е от АВР, СВ: х!В, СР Л АР, АВ = а.

Тогда и трсуголь- Р нике АВС х'.АСВ = 30', АС = 2а, ВС = аЛ, в ~~АСР СР = 2и йп 45, в ЛАВР по теореме косинус<и ВФ = и'+ 2а' — 2и ичг2 2соа45'= и', Риг. 5ВУ З71 Задачи повышенной т двести в ~',ВВС тогда ВС' = В1У + СВ' и по теореью, обратной теореме Пифагора, СР.Е ВР; так как егле и СР.1 АВ, то С02. АВО. По условию, АЕ3 АВВ. следовательно, С011АЕи к.'САЕ = 90' — 45' 45'.

Если С лежит по разные стороны с Е от А ВО, то е'.САЕ= 90" + 45' = 135'. № 792. Пусть высоты АА„ВВ„ Р СС„РР, тетраэдраАВСР пересекаютсяя в точ ке Н; а — плоскость А ВН, М М= а гз РС, В а Т.к.АА 5.ВСВиСВсВСР,то А АА, 5 СВ; аналогично ВВ, 5 СР. 7 Т.к. АА, сан ВВ, са,тоСРЛ.а, ноАВ с а, слелователыю, С05 АВ. Аналоги ~но доказывается, что ВР 5 АСиА0.1 ВС.

Рис. МР Обратно, пустьСВЛ.АВ, В0.1 АС, А05. ВС;а — плоскостьАВА,. ТаккакАА,5 ВСВиРСсВСО,тоАА,Л.ВС,апосколькуипоус- ловиюАВ 1 ВС,гоаб. ОС.Таккак ВВ,са,то ВВ„5. ВС,новместес тем ВВ, 5. АМ. Поскольку РС с АРС и АМ с АВС, то ВВ„3 АРС, то есть ВВ„совпадает с высотой ВВ, тетраэлра. Таким образом, высоты АА, и ВВ, тетраэлра пересекаются в точке Н; аназогично и остальные высоты тетраэлра попарно пересекаются. Их точки пересечения совпадают, так как в противном случае все вьюоты тстраэдра лежали бы в одной плоскости. № 793.

Если в тетраэдре АВСВ АВ = ВС = СВ = а, 00 = В, т'АВО = = Е ВРО = ~СВО = = а, то РА РО=ВВ ВО= РС 00= А = аВ соз а, откуда (Р — РА100 =1РС вЂ” РА100=0, АВ ВО=О,АС 00=0, РО Л АВ, 00 .Е АС, 00 1 А ВС. Зуг Глава ИЬ Обьемы тел № 794. Доказано в Мо770. Доказательство согласно указанию в учебнике:еслиОА = аОВ =Ь,ОС=с00, =в,то ВС= с — ЬО А= = а — д.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее