Лекция (16) (Ю.Л. Словохотов - Кристаллохимия (презентации лекций))

Все точечные группы (по Шёнфлису)1. Низшая категория: нет осей порядка выше 2.Возможные элементы: C2, s=S1, i=S2 (e=C1)7 групп: (C1) C2 , Cs , Ci , C2h , C2v , D2 , D2h2. Средняя категория: ОДНА (и только одна)ось Cn или Sn порядка n > 27 семейств: Cn, Sn (n=2k), Cnh , Cnv , Dn , Dnd , Dnh3. Высшая категория: БОЛЬШЕ ОДНОЙ осиCn или Sn порядка n > 2.7 групп: T, Th , Td , O, Oh , I, Ih4. Предельные точечные группы бесконечного порядка7 групп: C , S(=Ch), Cv , D , Dh (=Dd), K , Kh7+7+7+7Несобственное вращение тетраэдра:поворот в плоскости экрана на 90ос отражением в этой плоскости+S4−−N+катион тетраэтиламмонияN(C2H5)4+S42=C2химфак МГУ, весна 2016Строение кристаллических веществи материаловЛекция № 2Система Германа - МогенаIUCr: International Union of CrystallographyМеждународный союз кристаллографовПочему имеется два (и только два) видазакрытых операций симметриив трехмерном пространстве?Как преобразовать пространство:матрицыya11 a12A=a21 a22x0y0матрица 22y0x0вектор на плоскостиa11 a12x0A=a21 a22y0x0a11x0+a12y0=y0a21x0+a22y0xПреобразования симметрии: расстояниямежду точками должны сохранятьсяyA=1 21 −1y0x0A y =01 21 −1x0y0=x0 + 2y0x0 − y0x0x0−y0x0+2y0xне всякая матрица задает преобразование симметрииКакие матрицы для этого подходят?y1 0A1 =0 −1x01 0=A1 y0 −10x0x0=y0−y0матрица А1: отражение относительно оси хxКакие еще матрицы для этого подходят?0A2 =1A2x00=y011010yy0x0=x0y0матрица А2: отражение относительно диагоналиxДетерминант (определитель) матрицыa11 a12deta21 a221 0A1 =0 −1= a11a22 − a12a21A2 =0110det A1 = det A2 = −1это общее свойство всех матриц отраженияМатрицы поворотаy0 1A3 =−1 0x00 1=A3y0−1 0y0x0= −xy00xобщий вид матрицы поворота:A=cos f −sin fsin f cos fdet A = cos2f + sin2f = +1Два вида преобразований симметрии: det A = 1Матрицы и операции симметрии1.

Умножение матриц некоммутативно: АВ ≠ ВАоперации симметрии в общем случаетоже некоммутативны2. E =1001− единичная матрица:АЕ = ЕА для любой Асовсем как тождественное преобразование в группеОперации симметрии в n-мерном пространствеможно задавать матрицами n n, у которых det = 1Симметрические преобразованиятрехмерного пространства: матрицы 3A=cos f −sin f 0sin f cos f 00013det A = (±1)(cos2f+sin2f)= ±1приводятся к этому виду выбором системы координат (x,y,z)Для конечных точечных групп f = 2p/ndet A = +1: собственные вращения Cn(включая тождественное преобразование C1 = e)det A = −1: несобственные вращения Sn(включая отражение S1 = s и инверсию S2= i )Зачем (нам) еще одна система обозначенийопераций симметрии и точечных групп?Симметрия молекул и конечныхфрагментов кристалла: точечные группысистемаШёнфлисасистемаГермана-МогенаСимметрия кристаллов и бесконечных«структурных мотивов»:пространственные группыАртур Шёнфлис (Arthur Shönflies), 1853 – 1928Немецкий математик, ученик Вейерштрасса и Клейна,работал в областях кинематики, геометрии, топологии,кристаллографии.

В 1888-1891, параллельно сЕ.С.Федоровым, вывел 230 пространственных групп.Символы кристаллографических классов «поШёнфлису» стали основной системой обозначенияточечных групп в физике, химии и спектроскопииШарль Моген (Charles Mauguin), 1878–1958Французский кристаллограф и минералог,изучал слюды, жидкие кристаллы, один изоснователей IUCr.

В 1931 г. предложилсистему обозначения групп, основанную насимволах их элементов симметрии.C.-V. MauguinКарл Герман (Carl Hermann), 1898–1961Немецкий кристаллограф, составительпервого «банка» рентгеноструктурных данных.Соавтор современной кристаллографическойсистемы обозначений групп и элементовC. HermannсимметрииЧем различаются системы Шенфлисаи Германа-Могена (международная)?Международные кристаллографическиеобозначения операций и групп симметрии:cистема Германа – Могена1. Другие обозначения операций симметрии.2.

Другой геометрический образ для операциинесобственного вращения:по Шёнфлису − зеркальный поворот,по Герману-Могену − поворот с инверсией.3. Символы групп – из символов операций,«привязанных» к системе координатСобственные вращения (повороты на 360о/n)по Шёнфлису (n=N) Cn:по Герману-Могену N :C1=e C2 C3 C4 C5 C6 ...123456 ...и так далееДля несобственных вращений всё сложнееC∞∞Порядки зеркально-поворотной оси (по Шёнфлису)и инверсионной оси (по Герману – Могену)для одного и того же несобственного вращениямогут различатьсяC2 s = iSn ↔N :если n=4k, то N=n,если n=4k+2, то N=n/2если n=2k+1, то N=2nНесобственные вращения на 360о/nmпо Герману-МогенуN:1 2 3 4 5 6 7 8 ...∞m:(┴)( || )по Шёнфлису Sn, ноS2=iS6S1=sS4S10S8...S14 ...

S∞S3...Поворот с инверсией (N) и зеркальный поворот (Sn):разные обозначения одной и той же операции(несобственного вращения)по Герману-Могенупо ШёнфлисуN=4k: n=Nнет ни m,ни1S44+−N=4k+2:n=N/2есть mS3N=2k+1:n=2Nесть1S6−+−+−6=3/m+−−3:++−+вершиныпризмы3 и1вершиныантипризмыКакие элементы симметрии содержит осьN ?N=2k+1: поворотная ось N + центр1 (3,5,7, … )N=4k+2: поворотная ось N/2 + перпендикулярнаяплоскость m (6=3/m, и т.д.)N=4k: ТОЛЬКО поворотная ось N/2;плоскости m и центра1 НЕТ (4,8 и т.д.)Обозначения точечных групппо Герману-Могену.

Низшая категория2/m 2/m 2/m= mmm 1 1 2/m=2/m mm2D2hC2h C2vxyzВ каждом направлении:1, 2, 1/m (=2) или 2/m(полный символ группы)«1» не записывают;вместо «1/m» пишут «m»;m «старше» 2(краткий символ группы)mmm222D2mСs2 1 1 по Г. – М.С2 Ci C1 по Ш.−++−2222/mСистема точек, связанных операциямисимметрии группы: орбита«1» записывают только для группы1 (=Ci), хотя инверсияесть во всех группах с нечетнойN или c N/m при четной NОбозначения точечных групппо Герману-Могену.

Средняя категорияz x(y)диагональныйэлемент (если есть)3m (C3v)Например:семейства групп4mm (C4v)42m (D2d)по ШёнфлисуCnS2nCnhCnvDnDndDnhпо Герману-Могену(N=n)n=2kn=2k+12N N/mN N 2N(=N/m)NNmmN222N 2mNmN2NmN/mmm2N m2Семейства точечных групп средней категории симметриив обозначениях по Шенфлису и по Герману-МогенуСимволгруппы поШенфлисуCnSnCnhCnvDnDndDnhСимвол по Герману-МогенупримерывсеNC2=2, C3=3, C4=4, … , C∞=∞n=4kn=4k+2n=2k+1N(N/2)S4 =4, S8 =8, …, S∞=∞S6 =3, S10 =5, …, S∞=∞C3h=6, …, C∞h=S∞=∞n(N/m)=(2N)N/mNmNmmn=2k+1n=2kn=2k+1n=2kN2N22Nm(2N)2mC2h=2/m, C4h=4/m, …, C∞h=∞C3v=3m, C5v=5m, … C∞v=∞mC2v=mm2, C4v=4mm, C6v=6mm,… C∞v=∞mD3=32, D5=52, …, D∞=∞2D2=222, D4=422, …, D∞=∞2D3d=3m, D5d=5m, …D2d=42m, D4d=82m, …n=2k+1(2N)m2D3h=6m2, D5h=10m2, …n=2kN/mmmD4h=4/mmm, D6h=6/mmm, …n=2kn=2k+1n=2kПримечание: Dnd, Dnhn →→ /mmТочечные группы по Герману-Могену.Высшая категорияx,y,zдиагональоктантаоктаэдрдиагональ коорд.пл-сти xy (xz,yz)и др.

(если есть)4/m3 2/m = m3 mГерманМогенШёнфлис23m34 3 m432m3 m235m35TThTdOOhIIhСтереографическая проекцияПроекция пересечений плоскостей и осей с «северной»полусферой на «экваториальный» большой кругПрямая проекцияNНаклонные элементыПроекция плоскости:дуга на большомкругеN0Sи так далееПроекция оси:точка, отмеченнаясимволом осиSСемейство тетраэдра: T (23), Th (m3), Td (43m)группа 2 3группа 2/m3 1 = m3группа4 3 mТочечные группы правильных многогранников4 3 m(Td)тетраэдрm3 m(Oh)октаэдркубm35(Ih)пентагон-додекаэдрикосаэдрВажные полиэдры симметрии m3 m (Oh)усеченныйоктаэдркубооктаэдркуб с 6 «шапками»ромбододекаэдрЭлементы симметрии группы m35 (Ih)C5,S10C2C3,S6Группа поворотов: I = 2 3 5Группа симметрии Ih= 2/m3 5= m3 5координатные оси C2(x,y,z)Обозначение групп Кюри по международной системеNNN/mN2N22NmNmmK: ;Kh: /m Nm2 NmN/mmm N2mобновленный сайт:http://www.chem.msu.ru/rus/lab/phys/cryschem/welcome.htmlздесь будут все лекции в pdfразработки и пособия по курсусайты Международного союзакристаллографов,Курчатовского центра СИ,банков структурных данныхпрограммы визуализации структур,программы для РФА и РСАЗдесь будут текстовые файлыс кристаллическими структурамипо курсу кристаллохимиииз раздела «Полезные ссылки».