М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 15

Здесьповороты обозначаются Cnh, а повороты с отражением в плоскости— S n fe , где п и k — целые числа, связанные с углом пово360^~рота ф соотношением ср — ———. Операция отражения в плоскоепти S^ обозначается также а1, операцию инверсии часто обозначают буквой i или /, а единичную операцию — буквой в.В качестве примера запишем обозначения операций симметрии, входящих в группу симметрии молекулы транс-дихлорэтилена.

Группа симметрии этой молекулы по международной символике обозначается 2/т и содержит следующие симметрически*преобразования: 1, 1/, 2, 2/ =/п. Так как 1г = 52, a 2, = Si, то, mШенфлису, эта группа симметрии содержит операции: Ci = tSz = ij С2, Si —а. Приведем также обозначения по международно]символике и по символике Шонфлиса операций симметрии, входящих в группу симметрии молекулы борной кислоты (группаили С3л, см. рис.

1.3.6): G^Sa5; 62 = 31 = C31; 6i3 = m = S: = a6/^З^Сг; б;5-Ss1; l = Ci = f.При замене поворотов с инверсией на повороты с отражениев плоскости инверсионные оси заменяются зеркально-поворотным1Символ ah обозначает отражение в горизонтальной плоскости (т. е. плскости, перпендикулярной главной оси), символ ov — отражение в вертикальнсплоскости.осями.

Последние определяются как циклические точечные группы, содержащие повороты с отражением в плоскости. При такомподходе мы пользуемся двумя типами элементов симметрии: поворотными осями, которые, по Шенфлису, обозначаются С ?? , изеркально-поворотными осями, обозначаемыми Sn. Так, зеркально-поворотная ось 53, присутствующая в молекуле борной кислоты, включает в себя операции Ss1, S32 = 32, 5з3 = а/*, S34:=31, 5з5>S^ = e. Но соответствующую точечную группу обычно обозначаютне S3, a C3h (см. раздел 1.5).2.5.

ИЗОМОРФИЗМ И С О П О Д Ч И Н Е Н И ЕТ О Ч Е Ч Н Ы Х ГРУППВ табл. 4 дан полный перечень групп низшей и средней категории вплоть до групп 24-го порядка (в каждой строке выписаныгруппы, имеющие одинаковый порядок); перечислены также точечные группы высшей категории (кроме предельных группс осями оо). С помощью этой таблицы удобно рассмотреть изоморфизм точечных групп. Изоморфные группы объединены в нейрамками.При я нечетком имеется только одна точечная группа я-го порядка. При я = 4/-{-2 таких групп насчитывается пять, причемгруппы вида я, (я/2) и я изоморфны; изоморфны также группывида (я/2) 2 и (я/2) яг.

Следовательно, есть только две абстрактноразличные группы с порядком я = 4/ + 2. Исключение составляютгруппы второго порядка: таких групп только три, и все они изоморфны (группы 2 и 12 тождественно равны группам т и 2 соответственно).При я = 41 имеется семь точечных групп с одинаковым порядком, причем изоморфны группы вида я и я, а также группы(я/2)22, (я/2)mm и (/г/2)2т (или (я/2)яг2). Если я кратно восьми(я = 8р), то в соответствующей строке насчитывается четыре абстрактно различные группы.

Если же п = 8р-\-4, то группы вида(я/4) mm оказываются изоморфными группам (я/2) 22 и строкасодержит только три абстрактно различные группы. Исключениепредставляют группы четвертого порядка: их всего пять, и ониотносятся к двум абстрактно различным группам (группы 1т и2т2 равны соответственно группам 2/т и 2mm).Из групп высшей категории изоморфны две — группы 43ти 432.Во многих задачах, связанных с симметрией, оказывается необходимым найти подгруппы той или иной группы.

При этомудобно использовать табл. 4 и теорему Лагранжа (см. предыдущий раздел) .Будем называть точечную группу Si подчиненной группе S^,если SidSn, т. е. группа St является подгруппой 52- На основеэтого определения можно составить схему соподчинения точечныхгрупп. Фрагмент такой схемы показан на рис. 2.5.1. В качестве78Таблица 4Точечные группыНизшая и средняя категорииСемействоСемействовращающегосяцилиндравращающегося гонусаСемействонеподвижногоконусаСемействоскрученногоцилиндраСемейственеподвижногоцилиндраСП1 2Т1 '4i 6J1 8Ъ \\105W \\1277 |\6/т \|/«7/4 ||т(12\(V222| 21т\3 \3^J/77(Т т) \j4 тт42 т\1/77/77/77|5т |I 526 mm\ 622\(7т 2)2/77/77\ 422\ 4//Т7 \I6т27т^Зт \|СЮкIF \\8/m \I 18J18 \\20ТО \\2277\ Ю /т\\ 8228шт\9т92\~82т\ 4/'/77/77/77|\Ютт10 22\22 \\11 211т\ П/т \\12 2212 т т10 т 25т ,72 7/7?| Ыттт\ГГП\2t24 \высшая категорияI руппосшt^uПорядокП2*+[ 4J/772^ЛЛО241 "'• Зт \Ш!Ж]4<У^/2<?примера здесь рассмотрены подгруппы группы 6/mmm, порядоккоторой равен 24.

Эта группа имеет пять подгрупп 12-го порядкеи единственную подгруппу 8-го порядка. Эти группы, подчиненныегруппе 6/mra/n, в свою очередь, содержат подгруппы б-го и 4-го порядков и т. д. На рис. 2.5.1 выписаны подгруппы точечных групп6/т и ттт\ разумеется, эти подгруппы являются также подгруппами исходной группы 6/mmm. Некоторые ветви продолжены догруппы 1, которая в качестве тривиальной подгруппы входит влюбую точечную группу. Остальные ветви во избежание загромождения рисунка оборваны, что отмечено многоточиями.Группы—— --/IV———;- _ _ — -2I/ _ _ _ _ _ /т Т-----2i/i1— — — —— 7Рис.

2.5.1. Примеры соподчинения точечных группПредставляет еще интерес выяснить, какие из точечных группявляются абелевыми.Очевидно, что разные степени поворотов /г1 и п^ коммутируют.k ln n = nlnk = nh+l и niknil = nilnik = riih+l. Это означает, что группы пи п абелевы.Справедливо также более общее утверждение: если повороты,содержащиеся в любых двух операциях s4 и $2, совершаются вокруг одной и той же оси, то операции s4 и s2 коммутируют. Действительно, нетрудно убедиться, чтоЭто означает, что абелевыми являются также группы вида п/т,где п — четное, из семейства вращающегося цилиндра.К числу абелевых относятся также группы 222, mm2 и ттт:ортогональное расположение элементов симметрии этих группприводит к тому, что все содержащиеся в них операции коммутируют (см., например, рис. 2.3.1).80Как будет видно из дальнейшего, группы, входящие в семейства неподвижного конуса, скрученного и неподвижного цилиндра,неабелевы, если порядок главной оси /г>3.

Неабелевы также всегруппы высшей категории.2.6. КЛАССЫ С О П Р Я Ж Е Н Н Ы Х ЭЛЕМЕНТОВТОЧЕЧНЫХ ГРУППВ группе G элемент gi называется сопряженным с элементом g"2, если найдется элемент группы х такой, что xgiX~i = g%.Нетрудно доказать следующие утверждения:1) всякий элемент группы сопряжен с самим собой,2) если gi сопряжен с g2, то g2 сопряжен с gi,3) если gi сопряжен с g"2, то gi~l сопряжен с gy1,4) если g"i сопряжен с g2 и g2 сопряжен с g3, то gi сопряженс зПоследнее позволяет разбить группу G на классы взаимно сопряженных элементов.

Отметим, что класс элементов, сопряженных с е, содержит лишь е, так как хех-^ = е. В абелевой группекаждый класс содержит по одному элементу, так как xgxr^ == gxx~l=ge = g. Следовательно, задача разбиения группы наклассы сопряженных элементов нетривиальна только для неабелевых групп. Эта задача имеет большое значение для теориипредставлений групп, основы которой изложены в разделах2.7 и 2.8.Разобьем на классы сопряженных элементов группу вращений оооо.

Эта группа включает в себя всевозможные поворотыCk (а), которые производятся на угол а вокруг направлений,определяемых единичным вектором k. Найдем все поворотыCkj (oti), сопряженные с произвольным фиксированным вращением Ck (ос). Для краткости примем обозначения Ck 1 (°t 1 ) == C 1 иCk(a) = iC.

Согласно определению сопряженных элементов С\ == gCg~ , где g — некоторый элемент группы вращений. ОтсюдаC{g = gC. В результате поворота С вектор г переходит в векторг', равный Сг (рис. 2.6.1). Будем считать, что векторы г и г' лежат в горизонтальной плоскости.В результате последующего поворота g вектор г' преобразуется ввектор г", вообще говоря, уже нележащий в горизонтальной плоскости (r"=gr' = gCr). Пусть конецвектора г" находится на высоте г.Согласно равенству C\g = gC вектор г" можно получить иным спо(собом — путем последовательного чхосуществления поворотов g и С\.При этом сначала получается век- рис 2 6 1разбие нию группытор т" , равный gr, конец которогонаходится на высоте z, а затем —враще нийна классы сопряженныхэлементов81вектор г", причем r" = Cir'" = Cigr. Из рис.

2.6.1 видно, что Ci —это поворот на угол а вокруг оси g"k, т. е. а\ = а.2 и ki=gk. Последнее означает, что каждый класс сопряженных элементов состоит из поворотов на один и тот же угол вокруг всевозможныхосей.Этот результат послужит для нас основой при разбиении наклассы сопряженных элементов точечных групп конечного порядка. Здесь, однако, нужно будет учесть одно важное обстоятельство: в группе вращений все направления, определяемые векторами k, симметрически эквивалентны; в подгруппах группыоооо это не так.

Поэтому сопряженными окажутся все те и толькоте симметрические повороты на угол а, которые совершаются вокруг симметрически эквивалентных направлений. Иными словами,Ck (ос) и С^(а) сопряжены, если в группе содержится симметрическая операция s, которая преобразует k в k 4 и само движениеCk (а) в Ck x ( a )- Так, в группах вида п2 и п22 сопряженными являются я1 и /г*1, п2 и п~2 и т. д., поскольку любая из побочныхосей 2 преобразует положительное направление оси в отрицательное, причем поворот на угол а превращается в поворот наугол —а.В группах п2, где п — нечетное, все оси 2 эквивалентны. Поэтому группап—\1п22~~2п+\~~2разбивается на следующие классы: 1; п , п ~\ п , я"~ ; ...; п, п; 2 ( i),п— 12(2), ..., 2( П ).

Всего имеется ——— + 2 классов. Например, группа 32 содержиттри класса: 1; З1, З2; 2 ( i), 2(2), 2(3).В группах я22, где п — четное, присутствуют две системы побочных осей 2.Классы сопряженных элементов таковы. 1; я1, л п ~ 4 ; п2, л п ~ 2 ; ...; /г п / 2 ; 2(i), 2(з>,...я..., 2( П -п; 2(2), 2(4), ..., 2( П ).