М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 18

Так, скалярное произведение характеров, приведенных в таблице, вычисляется следующим образом:(X,Xl)=-•(-*) +(-!)•(-!)Частным случаем скалярного произведения характеров являетсяих скалярный квадрат, который для характеров, данных в таблице, приобретает следующие значения:(X, Х ) =- - О +1+1+1)-!.89Отметим ряд замечательных свойств, присущих характерампредставлений.1. Характеры эквивалентных представлений совпадают, и, наоборот, два представления, имеющие одинаковые характеры,эквивалентны.2.

Характер приводимого представления Т равен сумме характеров всех неприводимых представлений т, которые содержатсяв Т. Пусть Шг — число, показывающее, сколько раз представлениетг- содержится в Т. Тогда % (g) =S m ^ (ё)- Это обстоятельствосвязано с квазидиагональным видом матриц приводимого представления. Перестановка блоков квазидиагональной матрицысоответствует переходу от представления Т к эквивалентномупредставлению.

Таким образом, набор коэффициентов тг- определяет представление Т с точностью до эквивалентности.3. Характеры неприводимых неэквивалентных представленийортогональны между собой, т. е. их скалярное произведение равно нулю.4. Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единице. Последние два свойства можно выразить общим соотношением: (хг, хл) = 6гь, где 6^ = 0 при i^k и 6г-/< = 1 при5. Скалярный квадрат характера приводимогобольше единицы: (X, У,) =гп2.представленияi6. Приводимое представление можно разложить на неприводимые, если известны характеры последних, с помощью формулы7. Значения характера для взаимно сопряженных элементовгруппы одинаковы: %(g) = %(xgx~i).

Иными словами, характересть функция классов сопряженных элементов: %(g) ^^(Kg).Пользуясь этим свойством, в таблицах характеров выписываютлишь по одному элементу g из каждого класса и приводят соответствующее ему значение характера.2.8. ХАРАКТЕРЫ Н Е П Р И В О Д И М Ы Х П Р Е Д С Т А В Л Е Н И ЙТ О Ч Е Ч Н Ы Х ГРУППВ табл. 5 приведены характеры неприводимых представленийважнейших точечных групп j .

Группы расположены по возрастанию их порядка. Изоморфные группы, имеющие одинаковые таб1Более полные таблицы такого рода можно найти в книге Е Вильсон,Дж. Дешиус, П. Кросс. Теория колебательных спектров молекул (М , I960), атакже в книге А Б Болотина и Н. Ф. Степанова (см. список рекомендуемой литературы).90Таблица 5Характеры неприводимых представлений точечных групп(использованы обозначения е — е~ш'п и е"- — величина, комплексносопряженная с е)С2АВеС2111—1Ci\*АиCsС3А'ес^AiBlВ2ov (У) Gv (X)С2^4Лл111 — 1^|1—i111 — 1—1AвEl(MAgАиBQBu'лАг111188*—8*—8_____*—8—8—8*_____J—111C61— 111—88—8le2e2*ee*e*ee*e2E0____CA,61—1S3511—111C 2^8*82111—1B2Ba11111ABI82*82Л6ог1-3C8*8*8828 2t3ayGi112C3C!88te2 — 1c11зг/' ci8l111A>c«c*hiС111м'. • cl c^ 3ВCА111111 — 1 — 11 — 11 — 11 — 1 — 11Лоe*— 8**ec*AgA'A"E"}E:AUE'91eD2hAgBigBigC2<Z)C2( V) C 2 (X)IB3g——AuBIUВыBSU——11c'\tC*hEg{AuBu1_j1_1Bgl1i——— 1___ i___ 11—ii1—11—— 11—i——— 1EU{is1111—1—1—11—111B2121—1————Ali—11i—i*>»A,A,BI1—11—101—1_110A%BIBZE* E2CC^3%30,*,°sHA4AtA2A*AgBIA\AaA11111A»1111_1B!1—11—11B21—11—1—1i_i_iiЕг21—1—20E,2—1—1206I.1111—2e2C*i11—1—106,C><>l*4e\11—1—11—111_ji—i—11—ii4VAtBI1—11—1—11—11lCAo(X)—1—111—c4a(Y)11—1—11 —C 21Ag<T(Z)1][—1]—1]111 ——1 ——][]1t36BZDada.XAZU0EiE"Eu0E2E'E&а*eAigАо%1111B^gB%211112AIUAouBIUEuтAFej\°hAlgAIUA4AS*2Ui'FigЕйFluF2gF 2Ur2C43e1111223333J1——(3——I(3111—21111—23«33C21ee*01e*e0111—14C111C8C3——00002C21—11—1011J_J_0<1—1—1101—1—110TdA1A*zEFIFii*>*1—2—1—1—1—121._ i1—10—11—110e8Сззс26S4bod1111— 100111— 11—102—1—1—1_1-22336C46C2I111111—1—1011—1_j—— 100—1—1112—23—33—3011—1_j1111^11—1—10—1—11101111acj22—1—1—1—1"AЪ11—— 12—1_j01—1_1_110—111—100лA,_ J1EЛFt856Зал6S46od1_i1—11—12—2_ i1—111—1_111—1—11001—1—110000001—1—11—111—1лицы характеров, объединены.

В верхней строке каждой таблички выписаны симметрические операции, точнее классы сопряженных операций. Для неабслевых групп указано число операций,входящих в данный класс. В крайнем левом столбце даны символ группы и обозначения неприводимых представлений. При наличии изоморфных групп справа приводятся символы этих группи соответствующие этим группам обозначения неприводимыхпредставлений. Так как число неприводимых представлений равночислу классов сопряженных элементов, таблички характеров всегда имеют квадратную форму.Используемые обозначения неприводимыхпредставленийпредложены Малликеном. Они строятся следующим образом.Одномерные представления обозначаются А или В.

Буква Аиспользуется тогда, когда значение характера, соответствующее93операции Сп1, где Сп — главная ось симметрии, равно I, т. е.x(CV) = l (в таких случаях говорят, что представление симметрично относительно операции CV). Буква В употребляется тогда,когда х(С п 1 ) = — 1 ( в таких случаях говорят, что представлениеантисимметрично по отношению к данной операции). Индексы gи и отвечают соответственно представлениям, четным и нечетнымотносительно инверсии, т. е. случаям %(i) = l и %(i) =—1- Аналогично символами А и А' обозначают представления, для которыхх ( а / г ) = 1 и %(oii) = —1.

Если имеется несколько представленийодного типа, то их различают с помощью цифровых индексов.Двумерные представления обозначают буквой , а трехмерные — буквой F (или Т). По аналогии с одномерным случаем,различают Eg и и, Е' и ", Fg и Fu и т. д.Обратим внимание на то, что символ ", отвечающий двумерным представлениям, встречается в табличках для групп видаC n , Sn, Cn/ ( , хотя эти группы абелевы и их неприводимые представления одномерны. Это объясняется тем, что два мнимыхвзаимно сопряженных одномерных неприводимых представления,объединяемых символом , суммарно отвечают двумерному подпространству, которое, если ограничиться вещественными операторами, является инвариантным.

Поскольку во многих физических приложениях теории представлений нас интересуют толькодействительные величины, нет надобности разлагать такое двумерное представление на истинно неприводимые. Так, в случаегруппы С4 можно пользоваться представлением , содержащим1 0 \ / 0 1 \ / - 1 0\ ,0 — 1котматрицы ^ T j - ( - Т ОН О -ТИТ OV'°Р™соответствуют значения характера 2, 0, —2, 0.Конкретное геометрическое содержание, заключенное в таблицах характеров, выявляется при анализе движений, которыемогут совершать точки, связанные той или иной группой симметрии.

Рассмотрим это подробнее.Возьмем в качестве первого примера точечную группу С2г,. Нарис. 2.8.1 изображена система общих эквивалентных позицийэтой группы. В результате операции С2 исходная точка MI переходит в точку М2; операция o v ( Y ) преобразует исходную точку вточку М3у а операция av(X) — в точку М4; в результате единичной операции точка М± преобразуется сама в себя.

Пусть точкаMI смещается вдоль оси X, т. е. совершает поступательное движение Тх. Тогда при условии сохранения симметрии C2v точка Мздолжна сместиться в том же направлении, а точки М2 и УИ4 — впротивоположном. Если считать, что смещению в положительномнаправлении оси X отвечает оператор +1, а смещению в отрицательном направлении — оператор —1, то получим совокупностьоператоров, соответствующую неприводимому представлению BI'группы С27; (табл. 5). Аналогичное рассмотрение движения TY показывает, что оно описывается представлением Bz.

При смещенииточки Mi вдоль оси Z с сохранением симметрии С 2и точки М2, Мз,М^ должны двигаться в том же направлении, что соответствует94Рис. 2.8.1. Поведение общей системы эквивалентных позицийгруппы Czv при поступательном движении вдоль оси X и вращении вокруг оси Унеприводимому представлению А\. Результаты проведенного анализа отражает таблица:ОперацииеС2точкиMIМ2Si кBlRgB2i.ullov (У) ov (X)М31—1 1 — 11—1—1111AIA*ТипдвиженияМ41 1 11—1—1Тх, RyТуу RxTz*zПроизвольное перемещение точки Mi складывается из составляющих Тх, TY, Tz и описывается векторным представлением, которое приводимо и является суммой неприводимых представленийBi + B2-\-A\.

Соответственно матрицы, входящие в векторное представление, имеют вид/1 0 0\ / —1 О О0 1 0 ,\0 О 1/\0 — 1 000 1Неприводимые представления точечной группы позволяют описать не только поступательное, но и вращательное движение точек, входящих в систему эквивалентных позиций. Пусть точка M tвращается вокруг оси У, т. е.

совершаетдвижение RY (см.95-рис. 2.8.1). При сохранении симметрии C2v точка М3 должна вращаться в том же направлении, а точки М2 и М4 — навстречу.Если считать, что вращению точек Mi и М3 соответствует оператор + 1, а вращению точек М2 и М4 — оператор —1, то получим,что рассматриваемое движение описывается представлением ВА.Аналогично, вращение Rx ассоциируется с представлением В2, а вращение Rz — с представлением Л 2 .Обратимся теперь к точечнымгруппам, содержащим оси высшего-т*порядка. В качестве примера расм,__*. смотрим группу С4. На рис.

2.8.2Yизображена совокупность точек,связанных операциями этой группы.Здесь прежде всего обнаруживается тесная связь движений Тх и 7V.~Рис. 2.8.2.о о о Поведениет-г*Действительно, если точка М\ смеобщейсие- ^темы эквивалентных позиций труп- Щается в положительном направлены С4 при поступательном движе-вии вдоль осей X и Yнии оси X, а точка М3 — соответст-венно в противоположную сторону,то точки М<2 и М 4 при сохранениисимметрии С4 должны сместиться в противоположных направлениях вдоль оси У (составляющая Тх для двух последних точекравна нулю).