М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур (1157638), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Всего имеется ——+ 3 класса. Например, группа 622содержит шесть классов: 1; б1, б5, б2, б 4 ; б3; 2(i>, 2 (3 ), 2(5>; 2(2), 2 (4 ), 2 (6 )Подобно тому как это было сделано для группы вращений,ооможно показать, что в полной ортогональнойгруппе——сю, cornдержащей всевозможные повороты и повороты с инверсией, совокупность всех поворотов на один и тот же угол представляет собойкласс и совокупность всех инверсионных поворотов на одинаковыйугол является классом.Переходя к неабелевым подгруппам группы —— оо, нужно дотполнить это правило требованием эквивалентности направлений,относительно которых совершаются повороты и повороты с инверсией.
Как и в подгруппах группы вращений, Ck (а) и С^(а), а также Sk(a) и Skj (ос) будут сопряжены, если некоторая операция s,входящая в группу, преобразует одно из этих движений в другое.Группы вида пт, (п/2)т и птт, а также п2т и пт2 изоморфны соответствующим группам п2 и п22 (см. табл. 4). Поэтому здесь разбиение на классы будет вполне аналогичным с той82лишь разницей, что повороты вокруг главной оси полностью иличастично заменяются на повороты с инверсией, а повороты вокругпобочных осей 2 полностью или частично заменяются на отражения в вертикальных плоскостях симметрии.Из групп низшей и средней категории нам осталось разбить па классы сопряженных элементов группы вида п/ттт, где п — четное число, причем л>4.пИз этих классов -р- + 3 класса точно совпадают с классами групп л22, явля-ющихся подгруппами групп п/ттт.
Остальные классы для групп с л = 4/ + 2птаковы:1ni3п31 г -; /г* , ni ~ \ л* , Я г ~ ; ...;пт~ 2, n т+ 2; т±,п.L(л/2) Л (л/2)/"- 1 ;лг(1), т(3), ..., т (я -1); лг (2) , ш (4) , ...., л? (п) . Всего в таких группах л + 6 классов. Например, группа 6/mmm разбивается на двенадцать классов; шесть из них уже были приведены (для группы 622);остальные классы: 1/; 6Д 6г-5; m j ; ЗД Зг 5 ; m<i), лг(3), лг (5 ); лг(2), лг (4 ), т(6).Для групп с п = 41 классы, не входящие в группы л22, таковы, 1*; лД л;'1"1;m ( i), лг (3 ), ..., m ( n -i); лг (2 ), т (4) , .
., /и (П ).ЗлВсего в этих группах —— -f 7 классов. Так, группа 4/т/пт содержит следующие классы: 1; 41, 43; 4 2 ; 2 ( i), 2 ( з>; 2(2), 2 (4 >; Ь; 4Д 4 г - 3 , mj/, m(i), m (3 ); m (2) , m (4 )^Теперь обратимся к группам высшей категории. В группах 23и шЗ отсутствуют элементы симметрии, связывающие концы прямых, по которым проходят оси 3; иными словами, эти оси полярны. Поэтому повороты З1 и З2 (а также повороты с инверсией <Vи 3? в группе тЗ), совершаемые вокруг одной и той же оси,здесь не сопряжены. Вместе с тем все четыре оси 3, а также трикоординатных направления симметрически эквивалентны. В результате для группы 23 получаем следующее разбиение на классы: 1; oVi-^; 32(1_'1}; 2 ( i_ 3 ).
Здесь и ниже запись З1^) обозначаетчетыре поворота З1 вокруг эквивалентных осей 3, запись 2 ( i_ 3 ) —три поворота вокруг эквивалентных осей 2 и т. п. В случае группы тЗ, содержащей группу 23 в качестве подгруппы, к этим классам добавляютсяследующиеклассы: h; (3i 1 ) ( i_ 4 ); (3i 5 )(i-4h/Я(1-3).В группах 432 и m3m перпендикулярно осям 3 и 4 располагаются оси 2. Поэтому для каждой оси 3, 4, Зг-, 4; повороты З1и З2, 41 и 4°, З;1 и З;5, 4^ и 4г 3 сопряжены. Кроме того, симметрическиэквивалентны здесь не только направления осей 3 и координатныенаправления, но и шесть направлений, соответствующих диагоналям координатных плоскостей.
Это приводит к следующему разбиению группы 432 на классы: 1; З1^-/^, 3 2 ( i-/,); 4 1 (i_ 3 ), 4 :J (i_ 3 );42(1-зь 2(i_6). В группе m3m, содержащей 432 в качестве подгруппы, к этим классам добавляются классы: 1*; (Зг1)^-!), (3i 5 )(t-4);(4 г л ) (1 _ 3 ), (4/ 3 ) ( 1_ 3) ; /п(1.3);Щь-ъ).Группа 43тизоморфнагруппе 432 и разбивается на аналогичные классы: 1; З1^-^, 3 2 (i_4),(4г1)(1-з), (4г3)(1-3); (4i 2 ) ( i_3); m(1_6).83В группе 25 направления осей 5 и 3 не являются полярными,поэтому для каждой из этих осей сопряжены соответствующие.повороты: 51 и 5'*, 52 и 53, З1 и З2.
Симметрически эквивалентныздесь направления шести осей 5, десяти осей 3, а также пятнадцати осей 2. В результате группа 25 разбивается на классы следующим образом: 1; S^I-G), 54(i_6); 52(i-6), 53(i_6); 3 l ( i _ i o b 3 2 ( i_i 0 ); 2 ( i_i 5 ) .Группа m5 содержит 25 в качестве подгруппы.
Поэтому для неесохраняются те же классы и добавляются классы, содержащие.повороты с инверсией: 1/; (5г 1 ) (1 - 6 ), (5; 9 )(i-6); (5г-3)(1_6), (5г7)(1-6);2.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙИ ХАРАКТЕРОВПонятие «представления группы», которое вводится в настоящем разделе, тесно связано с понятием линейного оператора.Поэтому для удобства читателя ниже дана краткая сводка основных сведений о линейных операторах.Пусть известно правило, по которому каждому вектору г данного пространства М ставится в соответствие вектор г', также относящийся к пространству М.Тогда говорят, что в пространстве М задан оператор А, преобразующий г в г'.Последнее записывают в виде равенства г'=Лг.Оператор А называется линейным, если выполняются следующие условия:где А, — постоянный множитель.Примером линейного оператора является оператортак какдdyiду2д1дхдхдхдхдифференцирования,дудхТригонометрические функции относятся к числу нелинейных операторов, поскольку, например, sm(x+y)= sinx+sm y\ sin kx=^k sin x.
Нетрудно показать, что всесимметрические преобразования — линейные операторы. Один из простейших л ;нейных операторов — умножение на число т. Линейность этого оператора подтверждается равенствами т(х+у)=тх+ту и m(kx)=kmx.Совокупность единичных векторов а/, где i=l, 2, ...
я, представляет собойбазис /г-мерного пространства, обозначаемый {аг-}. В этом базисе произвольныйвектор записывается в виде г = "V r/a / t где rt — коэффициенты разложения. Покажем, что действие всякого линейного оператора сводится к переходу от исходного базиса {аг} к некоторому новому базису {а/}. Действительно,г' = Аг =Отсюда видно, что вектор г' имеет те же компоненты, что и вектор г, но нев базисе {аг-}, а в некотором новом базисе {Лаг} = {а/}.Как было показано в разделе 2.2, переход от одной системы координат кдругой можно осуществить с помощью квадратной матрицы.
В общем случаеэтот переход описывает формула a t - = ^а^а^, где а,* — компоненты матриk34цы А. Таким образом, всякому линейному оператору Л соответствует квадратнаяматрица А и можно записать в матричной форме равенство т' = Аг.Операторназывается единичным, если ему соответствует единичная матрица. Такой оператор преобразует каждый вектор г в самого себя.
Если оператору соответствует унитарная матрица, то он называется унитарным.Последовательному действию операторов Л и Б отвечает произведениеВ А. Если результат не зависит от порядка действий, т. е. TtA=AB, то операторыназываются коммутирующими.
При этом коммутируют и соответствующие матрицы.Если линейный оператор Л преобразует вектор г, отличный от нуля, в вектор,пропорциональный г, т. е. Лг=Хг, где X — действительное число, то вектор гназывается собственным вектором оператора Л, а число К — собственным значением этого оператора, причем говорят, что собственный вектор г относится ксобственному значению Я.В последующих разделах для упрощения записей мы не будем пользоватьсяобозначениями типа Л. И операторы и соответствующие им матрицы будутобозначаться заглавными буквами.Представлением группы G называется ее гомоморфное отображение на группу линейных операторов Т. Согласно этому определению каждому элементу g из группы G поставлен в соответствие оператор T(g) из группы Т.
При этом произведению элементов группы отвечает произведение соответствующих операторов,т. е. T(gi)T(gz) = T(gig2). Размерность пространства М, в котором определены операторы T ( g ) , называют размерностью представления.Поскольку каждому линейному оператору соответствует квадратная матрица, можно считать, что представление группы — этоее гомоморфное отображение на группу квадратных матриц.В качестве примера приведем два из возможных представлений группы С4, содержащей повороты d, C , С42, С43. Нетрудноубедиться, что представлениями этой группы являются значениякорней |/"1 и |/1 (речь идет об операторах умножения на этичисла).
Здесь устанавливаютсяследующие соответствия: 1) Ci-^1,С4*-Ч С42-> —1, С43-> — i; 2) Ci-И, C 4 W— 1, С42-И, С43-> — 1.В первом случае порядок группы Т равен порядку группы G (этоизоморфное отображение, представляющее собой частный случайгомоморфного); во втором случае порядок группы Т вдвое меньше, чем порядок группы G.Если элементами группы G являются линейные операторы, тоэта группа образует так называемое ''векторное представлениесамой себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
