М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур (1157638), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Дадим перечень этих групп и названия соответствующихдипирамид53диэдр (моногональиая дипирамида)ромбическая призма (дигональ»»2/wная дипирамида)тригональпая дипирамида3//п(6)тетрагональная дипнрамида4/АПи т. д.ромбическая призма (димоногональная дипирамида)ромбическая (дидигональная) дитттпирамида»»3/mm2(6/n2) дитригональыая дипирамида»»4/тттдитетрагональная дипирамидаи т. д.5. Антипризмы. Прочие группы семейства вращающегося цилиндра порождают изоэдры иного типа, называемые антипризмами:точечная группа 1пинакоид (моногональная антипризма)»»4тетрагональный тетраэдр (дигональнаяантипризма)»»3ромбоэдр (тригональная антипризма)»»8тетрагональная антипризма»»5пет атональная антипризмаи т.
д.Наиболее важные из этих антипризм изображены на рис. 1.7.7.Среди групп низшей и средней категории нам осталось рассмотреть группы вида пт, где п — нечетное, и группы вида й2га,где п = 41, из семейства неподвижного цилиндра. Задавая грань впроизвольном положении и размножая ее элементами симметрии,мы получим еще один ряд изоэдров, которые также являютсяантипризмами.точечная группа тТочечная группаГ/я (2/т)42тЗт82т5ти т. д.Название аптипризмыдимоногональнаядидигональнаядитригональнаядитетрагональнаядипентагональнаяи т. д.Кристаллографическое названиеромбическая призматетрагональный скаленоэдртригональный скаленоэдр——Примеры таких антипризм показаны на рис.
1.7.8.Антипризмы симметрии 42т и Зт в кристаллографии обычно называют скаленоэдрами. Первый из них считается «тетрагональным», а второй —- «тригональньш>, что обусловлено принадлежностью точечных групп 42т и Зт к тетрагональной сингонии и тригональной подсингонии соответственно (см. раздел 36).54Теперь нужно обратиться к изоэдрам, порождаемым точечнымигруппами высшей категории, ,но прежде введем некоторые дополнительные понятия и дадим комментарии к методике вывода всевозможных изоэдров.Во всех рассмотренных группах мы задавали исходную граньв произвольной ориентации. Таким образом были получены изоэдры, которые являются общими для соответствующих точечныхРис.
1.7.8. Антипризмы:а — общий вид тетрагонального итригонального скаленоэдров, б — ихпроекцииа^Рис. 1.7.7. Антипризмы:а — общий вид тетрагональноготетраэдра, ромбоэдра, тетрагональной антипризмы, б — их проекциигрупп. Вместе с тем в каждой точечной группе (за исключениемгрупп 1 и 1) возможны специальные положения исходной граниРазмножая грань, которая занимает специальное положение относительно элементов симметрии, мы получим изоэдр, которы!является частным для данной точечной группы.Так, в группе 32 существуют следующие специальные положения граней (рис.
1.7.9): 1) перпендикулярно оси 3, 2) перпендикулярно оси 2, 3) параллельно оси 3, 4) перпендикулярно биссектрисе угла ос между двумя осями 2, 5) перпендикулярно плоскостипроходящей через ось 3 и ось 2, 6) перпендикулярно плоскостипроходящей через ось 3 и биссектрису угла а. При этом возникгют частные изоэдры (см.
рис. 1.7.9). Как уже было сказано, общим изоэдром в данной группе является тригональный трапецоэдр. Кратность первого изоэдра равна 2, второго — 3, всех прочих — 6. На рис. 1.7.10 показано, как сочетаются некоторые изэтих изоэдров в конкретном многограннике — кристалле кварца.В приведенном примере примечательны два обстоятельства.Во-первых, кратность некоторых частных изоэдров равна кратности общего изоэдра (в отличие от того, что мы констатировали дляорбит).
Во-вторых, все частные изоэдры группы 32 являются общими для других точечных групп, все они фигурировали выше.Рис.1.7.9. Проекция изоэдровгруппы 32.1 — пинакоид, 2 — тригональная призма, 3 — дитригональная призма, 4 — гексагональная призма, 5 — дитригональная пирамида, б — ромбоэдр,7 — тригональный трапецоэдрРис 1.7.10 Кристалл низкотемпературногокварцаSiO2:1 — гексагональная призма, 2 и3 — ромбоэдры,4 — тригональнаядипирамида, 5 —тригональный трапецоэдрЕсли для групп низшей и средней категории наряду с общимирассмотреть всевозможные частные случаи, то не обнаружится никаких новых изоэдров.
Таким образом, мы действительно получилиполный перечень изоэдров, которые могут встретиться в многогранниках, описываемых точечными группами низшей и средней категории.6. Изоэдры высшей категории. Иная картина наблюдается вгруппах высшей к а ч т о р н и . Здесь многообразие изоэдров отнюдьне исчерпываете* 1 л \,ором общих изоэдров.На рис. 1.7.11 -1.7.15 изображены проекции частых и общихизоэдров, порождаемых группами, которые содержит по четыреоси 3. Для упрощения рисунков показан только один квадрантстереографической проекции, другие квадранты нетрудно дорисовать с учетом симметрии. В подрисуночных подписях даны названия изоэдров.
Если исключить повторяющиеся случаи, получим56список, содержащий 15 изоэдров. Их удобно систематизироватьследующим образом:1) тетраэдр и изоэдры, являющиеся его производными (рис. 1.7.16),2) октаэдр и изоэдры, являющиеся его производными (рис. 1.7.17),2-2Рис.1.7.11. Проекция изоэдров группы 231 — куб, 2 — ромбододекаэдр, 3 — пентагондодекаэдр, 4 — тетраэдр, 5 — тригонтритетраэдр, 6 — тетрагонтритетраэдр, 7 — пентагонтритетраэдр3-3Рис. 1.7.12. Проекция изоэдровгруппы тЗ:1 — куб, 2 — ромбододекаэдр,3 — пентагондодекаэдр, 4 —октаэдр, 5 — тетрагонтриоктаэдр, 6 — тригонтриоктаэдр, 7 —дидодекаэдр3-3 2-2 3-31Рис.1.7.13.
Проекция изоэдровгруппы 43/п:1 — куб, 2 — ромбододекаэдр,3 — тетрагексаэдр, 4 — тетраэдр, 5—тригонтритетраэдр, 6—тетрагонтритетраэдр, 7 — гексатетраэдрРис.1.7.14. Проекция изоэдровгруппы 432:1 — куб, 2 — ромбододекаэдр,3 — тетрагексаэдр, 4 — октаэдр, 5 — тетрагонтриоктаэдр,6 — тригонтриоктаэдр, 7 —пентагонтриоктаэдр3) куб (гексаэдр) и тетрагексаэдр (рис. 1.7.18),4) пентагондодекаэдр и дидодекаэдр (рис. 1.7.18),5) ромбододекаэдр (рис. 1.7.18).На рис. 1.7.19 изображен кристалл NaClO 3 , представляющийсобой комбинацию четырех изоэдров высшей категории.Особняком стоят изоэдры, имеющие симметрию 25 и т5. Длявывода таких изоэдров нужно рассмотреть возможные положениянормалей к граням; при этом достаточно иметь в виду лишь однуРис.
1.7.15. Проекция изоэдровгруппы m3m:1 — куб, 2 — ромбододекаэдр,3 — тетрагексаэдр, 4 — октаэдр, 5 — тетрагонтриоктаэдр, б — тригонтриоктаэдр, 7 —гексаоктаэдрРис 1.7.16. Изоэдры, выводимые из тетраэдра:тетраэдр, тригонтетраэдр, тетрагонтритетраэдр, пентагонтритетраэдр,гексатетраэдриз симметрически эквивалентных нормалей. Результат выводапредставлен в табл. 3, которую иллюстрирует рис. 1.7.20. Наиболееважные из перечисленных изоэдров — правильный додекаэдр иикосаэдр (см. рис.
1.4.5, б) — уже упоминались в разделе 1.4.Подводя итоги, обратимся к еще более общей классификациивсех названных выше изоэдров. Они делятся на: 1) изоэдры низшей категории (нет осей высшего порядка), 2) изоэдры средней58Таблица 3Изоэдры в точечных группах 25 иПоложение нормали к гранина стереографической проекции(рис.
1.7.20)Точка АТочка ВТочка СДуга АВДуга АСДуга ВСОбщее положениеа) в группе 25б) в группе т5Название изоэдраЧислог ране идодекаэдрикосаэдрромботриаконтаэдрте грагонпентадо декаэдр (тетрагонтриикосаэдр)тригонпентадодекаэдртригонтриикосаэдр12203060пентагонтриикосаэдр (пентагонпентадодекаэдр)гексаикосаэдр ( декад одекаэдр)606060120категории (одна ось высшего порядка), 3) изоэдры высшей категории, которые, в свою очередь, подразделяются на кубические(четыре оси 3) и икосаэдрические (шесть осей 5).Имеется 7 изоэдров низшей категории: моноэдр, пинакоид,диэдр, ромбическая призма, ромбическая дипирамида, ромбическийРис.
1.7.17. Изоэдры, выводимые из октаэдра:октаэдр, тригонтриоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр,пентагонтриоктаэдр, гексаоктаэдр5<Рис. 1.7.18. К,уб (гексаэдр), тетрагексаэдр, пентагондодекаэдр, дидодекаэдр иромбододекаэдрРис. 1.7.19. Кристалл ЫаСЮ 3 :1 — куб, 2 — ромбододекаэдр, 3 — Пентагондодекаэдр, 4 — тетраэдрРис. 1.7.20. К выводу изоэдров точечных групп25 и т5. Показана 1/5 стереографической проекции группы 25тетраэдр. Из них два первых могут встречаться в многогранникахс точечными группами низшей и средней категории, остальные —только в группах низшей категории. Изоэдров средней категориибесчисленное множество, и все они специфичны для групп средней категории.
Аналогичная избирательность наблюдается длякубических изоэдров, которые встречаются лишь в группах 23,432, тЗ, 43т, тЗт, и для икосаэдрических изоэдров, которые существуют лишь в группах 25 и тЬ.1.8. Е Д И Н И Ч Н Ы Е И П О Л Я Р Н Ы ЕНАПРАВЛЕНИЯ.ПОЛЯРНОСТЬ И ХИРАЛЬНОСТЬ МОЛЕКУЛВыше мы рассмотрели системы эквивалентных точек (орбиты)и эквивалентных граней многогранников (изоэдры). Аналогичноможно рассмотреть системы симметрически связанных, а следовательно, вполне эквивалентных прямых. Особое значение имеютпрямые, проходящие через начало координат и называемые направлениями; здесь подразумевается, что начало координат выбрано в точке, кратность которой равна 1.Как и системы эквивалентных точек, системы эквивалентныхнаправлений характеризуются определенной кратностью и могутбыть частными и общими.
Частное направление совпадает с направлением какой-либо оси симметрии (я>1) или лежит в плоскости симметрии. Например, в молекуле 5Ь(С 6 Н 5 )зС12 (см. рис.1.3.4, а) направления осей 2, вдоль которых проходят связи Sb—Си которые связаны осью 3, составляют частную трехкратную систему эквивалентных направлений.Если некоторое направление представляет собой систему скратностью 1, т.
е. не размножается симметрическими операциями,то оно называется единичным. Такова, например, прямая, по которой проходит ось 3 в молекуле 5Ь(СбНб)зС12.Б точечных группах высшей категории единичных направленийнет. Во всякой группе средней категории имеется одно и толькоодно единичное направление, совпадающее с осью высшего порядка.В точечных группах низшей категории единичных направленийтри или бесчисленное множество.
Так, в группах ттт, 222 и тт2единичными являются три взаимно перпендикулярных направления, совпадающих с осями 2 или 2 (т. е. с нормалями к плоскостям симметрии). В группах 2/пг, 2 и т единичные направления —это направления осей 2 или 2 и все направления, лежащие в плоскости, перпендикулярной этим осям. Наконец, в группах 1 и 1 всенаправления единичные.Если два конца данного направления (т. е.
два луча, исходящие из начала координат и составляющие одно направление) непреобразуются друг в друга под действием какого-либо из имеющихся элементов симметрии, направление называется полярным.61Очевидно, что в группах, содержащих центр инверсии, полярных направлений нет. Во всех остальных г р у п п а х имеется бесчисленное множество полярных направлений. При отсутствии центраинверсии данное направление является полярным, если перпендикулярно к нему не проходят плоскость симметрии или ось 2.
Приописании свойств молекул и кристаллов часто бывает важно выделить единичные и притом полярные направления. Такие направления имеются во всех группах семейств вращающегося и неподвижного конуса, где они совпадают с направлением оси п (в группе т это любое направление, лежащее в плоскости т). В другихточечных группах полярных единичных направлений нет.Завершая обсуждение геометрического аспекта точечных групп,обратимся к двум важнейшим свойствам молекул, которые позволят продемонстрировать эффективность аппарата симметрии.Речь пойдет о полярности и хиральности молекул. Полярными называются молекулы, обладающие ненулевым дапольным моментом.
На уровне точечной или точечно-штриховой модели молекулы,в которой каждому атому приписывают эффективный заряд qiyлокализованный на i-том ядре, дипольный момент определяетсявыражением 1ы = Х<7; г *» где г/ — радиус-векторы атомов (ядер)tв какой-либо системе координат 1 , или адекватным выражениемв которое входят сумма положительных (или отрицательных) зарядов и так называемое плечо диполя 1 = г+~ — г~, где г^ и г~ — векторы, определяющие положение «центров тяжести» положительных и отрицательных зарядов r+ = V</j~iy, r~ = V<7i-r }ДляLг, р-модели (см. Введение) нетрудно получить:iгде Zi — заряды ядер, р — распределение электронной плотности.Очевидно, что при любом из этих двух определений дипольногомомента вектор \ь должен совпадать с единичным полярным направлением (это легко доказать, например, от противного).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
