М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур (1157638), страница 8
Текст из файла (страница 8)
_Отличие символов 42т и 4т2 заключается в том, что в первом случае ось X направлена вдоль оси 2 (это обычный способвыбора осей координат), во втором случае осъ_Х совмещена сперпендикуляром к плоскости т__(т. е. _с осью 2). Аналогичныйсмысл имеет разница в символах 62т и 6/п2, но для этой группыв качестве стандартного обычно принимают второй способ выбора координатной системы.1.4. СЕМЕЙСТВА Т О Ч Е Ч Н Ы Х ГРУППВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИКак уже было сказано, точечные группы, которые содержатнесколько осей высшего порядка, не совпадающих по направлению, т. е. группы высшей категории, делятся на два семейства.Для групп семейства VI характерно отсутствие инверсионныхосей, в том числе плоскостей симметрии; группы семейства VIIвыводятся из групп семейства VI добавлением плоскостей т.VI.
Семейство шара с вращающимися точками поверхности.Можно строго математически доказать, что существует лишь триточечные группы, содержащие конечное число не совпадающихпо направлению поворотных осей высшего порядка (при отсутствии инверсионных осей).Первая группа обозначается 23 (принципы международнойсимволики групп высшей категории изложены ниже); она содержит три взаимно перпендикулярные оси 2, которые удобно при37пять за координатные оси; кроме того, присутствуют четыреоси 3, проходящие по объемным диагоналям октантов. Перечисленные оси расположены так, как это показано на рис. 1.4.1, а.о5Рис.
1.4.1. Точечные группы семейства шара с вращающимисяточками поверхности:а — группа 23, б — группа 432Каждая ось 3 образует с любой из осей 2 угол ~54,7°, а уголмежду двумя любыми осями 3 близок к 70,5° (смежный угол,равный —109,5°, обычно называют «тетраэдрическим»). Примермногогранника, имеющего симметрию 23, показан на рис. 1.4.2, а.Рис. 1.4.2. Примеры многогранников, симметрия которых описывается точечными группами семейства шара с вращающимися точками поверхности:а — пентагонтритетраэдр (группа 23), б — пентагонтриоктаэдр (группа 432)Во второй группе (группа 432) при таком же расположенииосей 3 вдоль координатных осей проходят оси 4.
Вместе с тем(в соответствии с теоремой 4) возникают оси 2, проходящие подиагоналям координатных плоскостей (ось 4 содержит в себеось 2). Расположение перечисленных осей показано на38рис. 1.4.1, б. Примером фигуры с такой симметрией является многогранник, изображенный на рис. 1.4.2,6.Третья группа (группа 25, рис. 1.4.3) содержит шесть осей 5,десять осей 3 и пятнадцать осей 2. В отличие от двух предыдущих групп здесь минимальный угол между осями 3 составляет-41,8°.Если расположить в пространстве какие-либо две поворотныеоси высшего порядка в относительной ориентации, не встречаю-%:^^^гГ^^7^?\*- •* ^у\:^\V-vx~^ >' /х 1 ^-^—L\>7Рис.
1.4.3. Расположение элементов симметрии в точечнойгруппе 25. Если считать штриховые линии изображениемплоскостей симметрии, то получится точечная группа т5щейся ни в одной из перечисленных групп, и рассмотреть, какиеэлементы симметрии при этом возникают, то окажется, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения исходных осей,является осью оо.
В итоге получается группа, обозначаемая оооои содержащая бесчисленное множество осей бесконечного порядка. Эту группу называют группой вращений', она содержит всебе всевозможные повороты вокруг всевозможных осей. Геометрическим образом, иллюстрирующим такую симметрию, являетсяшар, в котором все точки поверхности вращаются в одном направлении (например, по часовой стрелке) вокруг соответствующего радиуса (см. рис. 1.3.1, г).То, что всякое расположение двух осей высшего порядка вориентации, не встречающейся в группах 23, 432 и 25, приводит39к группе оооо, означает, например, что две оси 6 или ось 6 и какая-либо другая, не совпадающая с ней по направлению, осьвысшего порядка могут одновременно присутствовать только вгруппе оооо.VII.
Семейство шара. Добавление к группам 23 и 432 трехплоскостей симметрии, совпадающих с координатными плоскостями, приводит к группам тЗ и тЗт (рис. 1.4.4, а, в). Если к груп-Рис 1 4.4. Расположение элементов симметрии в точечных группах семействашара: __а — группа тЗ, б — группа 43т, в — группа тЗтпе 23 добавить шесть плоскостей симметрии, перпендикулярныхдиагоналям координатных плоскостей, возникает группа, обозначаемая 43т (рис.
1.4.4,6); при этом на месте осей 2 в соответствии с теоремой 3 появляются инверсионные оси 4. Добавлениетаких диагональных плоскостей к группе 432 снова дает уже упоминавшуюся группу тЗт. К группе 25, содержащей пятнадцатьосей 2, можно добавить пятнадцать плоскостей симметрии, перпендикулярных этим осям, что приведет к группе, обозначаемой т5.Таким образом, получаются четыре группы (тЗ, тЗт, 43т,т5), содержащие наряду с плоскостями симметрии конечное количество осей высшего порядка. Заметим, что в трех из них(тЗ, тЗт и т5) присутствуют плоскости т, перпендикулярныеосям 2; _следовательно, эти группы содержат и центр инверсии.Группа 43т центра инверсии не имеет.Добавление плоскостей симметрии к любой из групп предыдущего семейства в какой-либо иной ориентации приводит к возникновению бесчисленного множества осей высшего порядка.В итоге всякая прямая, проходящая через центр, окажется осьюбесконечного порядка, а всякая плоскость — плоскостью симметрии.
Так получается предельная группа, обозначаемая —оо итописывающая симметрию шара, ее называют полной ортогональной группой. Эта группа содержит в себе всевозможные повороты и повороты с инверсией вокруг всевозможных осей. Все то40чечныс группы симметрии всех семейств являются се подгруппами.Приведем примеры фигур, симметрия которых отвечает группам последнего семейства.
Многогранник, изображенный нарис. 1.4.5, а (пентагондодекаэдр), с гранями в форме «равнобедренных» пятиугольников имеет симметрию тЗ. Аналогичный многогранник с правильными ^^угольными гранями дает примерсимметриит5. Такую жесимметриюимеетикосаэдр(рис. 1.4.5,6).Симметрией 43т обладают правильный тетраэдр и имеющаятетраэдрическое строение молекула метана СН 4 (см.
рис. 1.1.2,0).ОтражениеS л/10скостуРис. 1.4.5. Примеры многогранников, симметрия которых описывается точечными группамисемейства шара:а—пентагондодекаэдр (группатЗ), б — икосаэдр(группат5)Рис. 1.5.L_ Действие инверсионной оси 4 эквивалентно действию зеркально-поворотной осиS,Группой тЗ/n описывается симметрия куба и октаэдра, а такжемногочисленныхоктаэдрических молекул и ионов (например,ион [PtCl 6 ] 2 -).В заключение нужно остановиться на принципах обозначенияточечных групп высшей категории. Развернутый символ групп, вкоторых присутствуют четыре оси 3, состоит из трех позиций.Первая позиция отводится для обозначения координатных элементов симметрии (плоскостей, перпендикулярных осям координат, и осей симметрии, проходящих вдоль осей координат),третья позиция — для диагональных (плоскостей симметрии, перпендикулярных диагоналям координатных плоскостей, и ос?йсимметрии, проходящих вдоль этих диагоналей).
Во второй позиции ставится тройка, которая обозначает оси 3, проходят евдоль объемных диагоналей октантов. В остальном правила построения символа те же, что и для групп низшей и средней ьлтегории.Развернутая форма записи231432Сокращенная фор-ла за.шси234322—31т/г?3-43т43/тг42— 3 ——m m/яЗт41Символы групп с осями пятого порядка 25 и т5 строятся поаналогии с символами групп 23 и тЗ.1.5. ЗЕРКАЛЬНО-ПОВОРОТНЫЕ ОСИИ СИМВОЛИКА ШЕНФЛИСАДо сих пор мы подразделяли закрытые элементы симметриина поворотные и инверсионные оси. Существует, однако, и другой,совершенно равноценный способ описания симметрии фигур, когда вместо инверсионных рассматриваются так называемые «зеркально-поворотные» оси.В общем случае зеркально-поворотная ось S n , как и инверсионная ось п, — это прямая, несущая на себе особую точку О.Однако специфическое свойство зеркально-поворотной оси определяется иначе: фигура, обладающая такой осью, должна самосовмещаться при повороте вокруг данной прямой на угол 360°//г иотражении в плоскости, проходящей через точку О и перпендикулярной оси поворота.На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
