М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур (1157638), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В то же время с помощью стереогра- фической проекции очень удобно изображать грани многогранников (точнее, нормали к ним) (раздел 1.6).В заключение отметим, что если вдоль одной прямой проходят сразу две или несколько поворотных или инверсионных осей,то эта прямая и на обычной и на стереографической проекцииизображается как ось максимального порядка; при наличии поворотной и инверсионной оси одинакового порядка изображаетсяповоротная ось. Так, в кубе прямая, соединяющая середины противоположных граней, одновременно является осью 4, 4, 2 и 2;1Поскольку речь идет об изображении элементов симметрии, нас интересуют только прямые, проходящие через точку О.26ее проектируют как ось 4 (см.
рис. 1.4.4, в). Вместе с тем каждая присутствующая в группе плоскость симметрии т и центринверсии обязательно изображаются на проекции.1.2. ТЕОРЕМЫ О К О М Б И Н А Ц И Я ХЗАКРЫТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С И М М Е Т Р И ИНабор элементов симметрии, присутствующих в той или инойфигуре, не может быть произвольным. Он подчиняется ряду теорем, знание которых существенно облегчает анализ симметриифигуры.
Эти теоремы нетрудно доказать, пользуясь, например,правилами умножения симметрических операций (см. раздел 2.2).Теорема 1. Если две оси 2 пересекаются под углом а=180°/п,где п — натуральное число, то через точку их пересечения перпендикулярно к этим осям проходит поворотная ось п. В частности, при наличии двух взаимно перпендикулярных осей 2 перпендикулярно к ним обязательно проходит третья такая же ось.Теорема 2 вполне аналогична теореме 1, но относится к инверсионным осям 2. Если две оси 2 (т. е.
нормали к плоскостям т) пересекаются под углом а=180°/я, то через точку ихпересечения перпендикулярно к этим осям проходит поворотнаяось п.Угол между нормалями к плоскостям равен углу между плоскостями. Поэтому последнюю теорему можно сформулировать итак: линия пересечения двух плоскостей т, образующих угол а,есть поворотная ось с углом поворота 2а. В частности, взаимноперпендикулярные плоскости т пересекаются по оси 2.Теорема 3. Если ось 2 пересекается под углом а=180°/п сосью 2, то через точку их пересечения перпендикулярно к этимосям проходит инверсионная ось п.Из теорем 1—3 вытекает, что угол_ между двумя осями 2 илидвумя плоскостями т или осями 2 и 2 не может быть любым: онобязательно должен удовлетворять соотношению a=\80c-k/n.Отметим особо важный частный случай теоремы 3. Точка пересечения взаимно перпендикулярных оси 2 и плоскости т естьцентр симметрии.
Аналогичное утверждение справедливо по отношению к любой поворотной оси четного порядка, посколькукаждая из них содержит ось 2 в качестве подгруппы. Нетруднотакже доказать, что: 1) если на оси 2 располагается центр симметрии, то перпендикулярно к ней проходит плоскость т; 2) еслина плоскости га располагается центр симметрии, то перпендикулярно к ней проходит ось 2. Таким образом, наличие любыхдвух из трех элементов симметрии: 1, 2 и т — с необходимостьювызывает присутствие третьего.Теорема 4.
Если в плоскости, перпендикулярной к оси п, располагается ось 2 или ось 2, то всего в этой плоскости должнонаходиться п таких осей. Таким образом, если через ось п про27ходит плоскость симметрии, то всего через эту ось проходит пплоскостей т (см., например, рис. 1.3.5).Теорема 5. Если в плоскости, перпендикулярной к оси /г, располагается ось 2 (или 2), то под угло^ 180°/я к последней оси втой же плоскости проходит ось 2 (или 2) (см., например,рис. 1.3.9).Сформулированные теоремы показывают, что наличие в фигуре двух нетривиальных элементов симметрии обязательно вызывает присутствие по крайней мере еще одного элемента симметрии.1.3.
СЕМЕЙСТВА ТОЧЕЧНЫХ ГРУППНИЗШЕЙ И СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИИСовокупность закрытых элементов симметрии, присущих какой-либо фигуре, называется ее точечной группой симметрии1.Понятие точечной группы (и ее обозначение) аккумулирует всебе общую характеристику симметрии непериодической фигуры.Поскольку порядок оси симметрии в принципе может бытьсколь угодно большим целым числом, существует бесчисленноемножество разных точечных групп. Однако набор элементов симметрии, входящих в группу, и их относительная ориентация должны подчиняться теоремам, сформулированным в предыдущемразделе. Поэтому удается выделить семь семейств точечныхгрупп так, что группы, составляющие данное семейство, во многом сходны.
В итоге можно составить ясное представление обовсем многообразии точечных групп, несмотря на то что количество их бесконечно. Подробное знакомство с семействами точечных групп совершенно необходимо каждому, кто хочет уметь уверенно пользоваться аппаратом этих групп.Для краткости мы не даем строгого вывода всевозможных точечных групп, но уже сама классификация по семействам предопределяет пути такого вывода. flI. Семейство групп вида Ы (семейство вращающегося конуса). Сюда входят группы, содержащие лишь одну поворотнуюось. Обозначения этих групп совпадают с обозначениями соответствующих элементов симметрии.
Из дальнейшего будет видно, что эти группы удобно разделить на два ряда — с нечетными четным порядком оси:1.3,5,7, . . . }2.4, 6, 8, ... |В пределе оба ряда приведут к группе, содержащей ось бесконечного порядка. Такой симметрией обладает фигура, котораясовмещается сама с собой при повороте на любой, в том числебесконечно малый, угол. В качестве примера фигуры, содержа128Более строгое определение точечной группы дано в разделе 2.1.щей ось оо, можно привести конус. Однако конус имеет еще ибесчисленное множество плоскостей симметрии, проходящихчерез ось оо. Все эти плоскости симметрии исчезают, если рассматривать вращающийся конус (или же покоящийся конус,всем точкам которого приписываются свойства бесконечно малых штрихов, ориентированных косо по отношению к образующим конуса) (рис. 1.3.1, а).
Отсюда происходит название семейства.Рис. 1.3.1. Фигуры, обладающие осями бесконечногопорядка:а — вращающийся конус, б — скрученный цилиндр,в — вращающийся цилиндр, г — шар с вращающимися точками поверхностиПримером молекулы, симметрия которой отвечает точечнойгруппе 2 из семейства вращающегося конуса, является молекулабензофенантрена (рис. 1.3.2). При идеально плоском строениимолекула имела бы две плоскости симметрии (совпадающую сплоскостью чертежа и перпендикулярную к ней), а также ось 2,проходящую по линии пересечения этих плоскостей. Однако всилу значительного стерического затруднения, которое возникаетв результате перекрывания валентно не связанных атомов водорода, конфигурация молекулы искажается: периферийные фенильные кольца отклоняются в разные стороны от плоскостичертежа.
В итоге молекула имеет симметрию 2.II. Семейство групп вида п2 или п22 (семейство скрученногоцилиндра). Если к каждой поворотной оси, входящей в семейство вращающегося конуса, добавить перпендикулярную ось второго порядка, получится еще одно семейство точечных групп. Согласно теореме 4 из предыдущего раздела, каждая из этих группсодержит кроме оси п-ro порядка («главная» ось) п осей второго порядка («побочные» оси), расположенных в перпендикулярной плоскости и образующих между собой углы 180°/я.В качестве примера на рис.
1.3.3 показано расположение элементов симметрии в двух таких группах — с осями третьего ичетвертого порядков. Заметим, что между этими двумя случаямиесть принципиальная разница. При наличии оси 3 прямые, по29*которым проходят оси 2, во всех отношениях одинаковы: онипреобразуются друг в друга при повороте на 120°. Этого нельзясказать о группе с осью четвертого порядка: при повороте на 90°ось У переходит в другую ось 2', а ось 2", в свою очередь, совмещается с осью 2"'. Неэквивалентность осей 2' и У в символеотражается записью двух осей второго порядка (42'2" или просто 422). В символе группы с осью 3 пишется лишь одна двойка (32).2"Рис. 1.3.2 Молекула бензофенантрена (точечная группа 2). Плюсом отмечены части молекулы, приподнятые над плоскостью чертежа,минусом — опущенные.
Штриховой линией показана область стерических затрудненийРис. 1.3.3. Расположение элементов симметрии в точечных группах семействаскрученного цилиндра:а — группа 32, б — группа 422Указанное обстоятельство имеет общий характер: если порядок главной оси нечетный, прямые, по которым проходят оси 2,эквивалентны; в случае четного порядка существует два типатаких прямых и соответственно два типа осей 2. Последнее является причиной, по которой точечные группы этого семействаделятся на два ряда:121,222,32,52,72,...422, 622, 822, ...оо2В пределе оба ряда дают точечную группу оо2 с одной главной осью симметрии бесконечного порядка и бесчисленным множеством побочных осей второго порядка. Примером фигуры,принадлежащей к предельной группе оо2, может служить скрученный цилиндр (см.
рис. 1.3.1,6). Отсюда — название семейства.1Эта группа уже фигурировала в семействе вращающегося конуса (группа 2). Ниже также встречаются случаи, когда первые члены рядов, относящихсяк разным семействам, фактически представляют собой одинаковые группы.30В качестве примеров молекул, симметрия которых описывается группами этого семейства, приведем молекулы трифенил.дихлорстибина и дифенила .(рис. 1.3.4).Первая из этих молекул по форме напоминает трехлопастныйпропеллер, осью которого служит прямая С1—Sb —C1. Плоскостькаждого из фенильных колец повернута относительно экваториальной плоскости на угол около 45° так, что при повороте нааРис.
1.3.4. Молекулы, симметрия которых описывается группами семействаскрученного цилиндра:а — молекула 5Ь(СеН5)зС12 (группа 32), б — молекула дифенила в газовой фазе (группа 222)120° вокруг прямой С1—Sb—С1 эти кольца совмещаются друг сдругом; следовательно, по этой прямой проходит ось 3. По линиям трех связей Sb—С, расположенным в экваториальной плоскости, проходят оси 2: поворот вокруг такой линии приводит ктому, что одно из колец совмещается само с собой, а два другихкольца и атомы хлора преобразуются друг в друга. Таким образом, молекула имеет симметрию 32.В кристаллах молекулы дифенила имеют плоское строение.В отличие от этого в газовой фазе два фенильных кольца повернуты относительно ординарной связи С—С на некоторый угол.В результате группа симметрии содержит лишь три взаимноперпендикулярные оси 2 (группа 222).III.
Семейство групп вида пт и птт (семейство неподвижного конуса). Точечные группы, относящиеся к этому семейству,получаются, если в каждой поворотной оси, входящей в семействовращающегося конуса, добавить плоскость т, проходящую черезэту ось. Тогда в каждой точечной группе возникает п таких плоскостей. Символы этих групп записываются следующим образом:1т,Зт, 5т,7т, . . . )\ оо т2тт, 4тт, бтт, 8тт, ... ]Как и в предыдущем семействе, здесь наблюдается эквивалентность плоскостей, проходящих через оси нечетного порядка, и ихнеэквивалентность в случае осей четного порядка (рис. 1.3.5).Указанное обстоятельство отражается и в обозначениях точечных групп: в символах групп первого ряда буква m пишется•один раз, в символах групп второго ряда — дважды.В пределе оба ряда дают точечную группу oom с главнойосью симметрии бесконечного порядка и бесчисленным множеством вертикальных плоскостей симметрии.
Примером фигуры,имеющей симметрию оо/п, является неподвижный шнус. Такуюже симметрию имеют молекулы с линейным строением: НС1, СО,НС&__и_другие. Симметрия 1т (в кристаллохимической практикеэту группу~обычно обозначают просто т) характерна для многих(Га5Рис. 1.3.5. Расположение элементовсимметрии в точечных группах семейства неподвижного конуса:а — группа Зт, б — группа 4ттнРис. 1.3.6. Плоскаямолекула борнойкислоты (точечнаягруппа 6)молекул (уголковая молекула НС1О, моногалоидозамещенныепроизводные, нафталина, антрацена и других" конденсированныхароматических углеводородов и т. п.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
