М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 14

В матричной форме те же соотношения имеют видо 0\ / — 1/2 1/3/2 О0 — 1 0 —1/3/2 -1/2 О00—10— 1/2 УЗ/2УЗ/2 1/2ОО0—1,— 1/2 У"3/2 0 \ / 1 О О—УЗ/2 —1/2 O i l О —1ОО01/\0 0 — 1— 1/2 —УЗ/2 О'—УЗ/21/2ОО0 — 1Умножение некоторых симметрических операций приводит ктождественному преобразованию 1. В этом случае исходная точкапосле двух операций симметрии остается на своем месте. Таковы,например, операции З1 и З"1 (3 1 -3- 1 =1), З» 1 и Зг1 (3 i 1 -3r 1 = l)и другие.

Эти операции носят название взаимно обратных. Возможен и такой случай, когда операция симметрии обратна самойсебе. Например, 2 ( Х ) - 2 ( Х ) = 1 .В общем случае результат умножения двух операций симметрии определяется следующей теоремой.Теорема. Пусть s\ — поворот (или поворот с инверсией) наугол фь s2 — на угол ф2, s3 — на угол ф3 и оси поворотов s t и s2образуют угол 03, поворотов Si и s3 — угол 92, поворотов s2 и s3 —угол Вь Тогда произведение операций s4 и 52 — операция s3 —должно удовлетворять следующим требованиям:1) если и Si и s2 — повороты без инверсии или повороты с инверсией, то s3 — поворот без инверсии; если же s 4 — поворот с72инверсией, a s2 — без инверсиис инверсией;или наоборот, то s3 — поворот2); cos — = —cos — cos— + sin — sin— cos I23)22_ 5Шф2/2 _ sin ф 3 /2sin 01sin6 2sine 322(1)(2)Доказать первую часть теоремы не представляет труда; формулы, фигурирующие во второй и третьей частях теоремы, доказываются в курсах сферической тригонометрии.Важно отметить, что если операции s 4 и s2 не коммутируют,приведенная теорема определяет операцию s3 неоднозначно.

Дварешения, которые при этом получаются, соответствуют произведениям S2Si И SiS2.Некоторые частные случаи умножения симметрических операций показаны на рис. 2.3.3 и 2.3.4. Утверждения, сформулированные в подрисуночных подписях, можно проверить с помощью об-Рис. 2.3.3. Последовательное выпол-нение двух поворотов 2, оси которыхобразуют угол а, можно заменить поворотом на угол 2а вокруг прямой,перпендикулярной этим осямРис. 2.3.4. Последовательное выполнениедвух отражений в плоскостях, образующих угол а, можно заменить поворотомна угол 2сс вокруг линии пересеченияплоскостейщей теоремы. Еще одним примером использования этой теоремыслужит следующая задача.Оси двух поворотов 3 пересекаются под таким углом, что результат их взаимодействия представляет собой поворот 2.

Найтиуглы между осями поворотов 6ь 62, 93. Подставляя в формулу (1)ф1 = ф2=120°, ф3=180°, находим 03 = arccos — ^ 70,5°. Именно подотаким углом пересекаются оси поворотов 3 в кубе. Подставляя 9зв формулу (2), находим 6i = 92~54,7°.732.4. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП.ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КАК Ц И К Л И Ч Е С К И ЕГРУППЫГруппы симметрии представляют собой важный пример абстрактных групп, которые рассматриваются в высшей алгебре.

Поэтому, изучая группы симметрии, можно опереться на строгуюматематическую теорию.В математике группой G называется всякая совокупность элементов gi, 2, §з, ••• (этими элементами могут быть числа, матрицы,симметрические операции и т. д.), если выполняются следующиечетыре условия 1:а) определено групповое умножение, т. е. каждым двум элементам данной совокупности поставлен в соответствие некоторыйтретий элемент этой же совокупности, который называется ихпроизведением: g{g2 = g^ причем если g\^G и g^G, то gs^G;вообще говоря, gigz^gzgi',б) групповое умножение ассоциативно: (gigz)g3 = gi(g2g3)',в) совокупность содержит единичный элемент е, такой, чтоge = eg = g\г) для всякого элемента g данной совокупности должен существовать обратный элемент g"1, также принадлежащий этойсовокупности, такой, что gg~i = g"ig = e, причем если g-^G, то иg-*€=G.Если групповое умножение коммутативно, т.

е. g2gi = gigz, тогруппа называется абелевой.Группы, в зависимости от числа элементов, бывают конечными и бесконечными. Для конечной группы число элементов называется порядком группы.Всякая часть группы, которая, в свою очередь, является группой относительно того же группового умножения, называется подгруппой данной группы. Подгруппы конечных групп обладают следующим свойством: порядок подгруппы является делителем порядка группы (теорема Лагранжа).Если все элементы группы представляют собой степени одногоиз ее элементов, то группа называется циклической.Рассмотрим ряд примеров.1. Множество действительных чисел является группой относительно сложения,так как в этом случае выполняются все четыре условия:а) сумма двух действительных чисел также есть действительное число;б) сложение ассоциативно: (а+Ь)4-с=а+(Ы-с);в) единичный элемент, равный нулю, также принадлежит множеству действительных чисел: а+0 = 0+а = а;г) для каждого действительного числа в данном множестве существует обратный элемент — противоположное число: а+(—а) = (—а)+а=0.Эта группа является абелевой и бесконечной.2.

Множество целых чисел относительно сложения представляет собой группу, следовательно, оно есть подгруппа группы действительных чисел относитель1Запись geG означает, что элемент g принадлежит совокупности G; запись G^g означает, что совокупность G содержит элемент g.74но сложения. Заметим также, что группа целых чисел относительно сложения—циклическая.3. Множество целых чисел относительно умножения не является группой,так как не выполняется четвертое условие. Действительно, числа, обратные поотношению к целым, будучи дробными, не входят в рассматриваемое множество.4.

Группа поворотов на углы 0°, 90°, 180° и 270° вокруг какой-либо фиксированной оси является циклической подгруппой группы всевозможных поворотов вокруг этой оси. В частности, повороты, о которых идет речь, могут бытьсимметрическими операциями.Группы F и G называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствиетак, что из любой пары соотношений fi*-+gi, /2^g2, (/ь /2^/%gi, g2^G) следует соотношение fifz++g\g2. Установление такогосоответствия называется изоморфным отображением группы Г нагруппу G или наоборот.Очевидно, что необходимое условие изоморфизма двух групп —равенство их порядков.

Изоморфные группы имеют однотипныетаблицы группового умножения. Всякая алгебраическая теорема,доказанная для группы G, автоматически распространяется навсе изоморфные ей группы. Можно сказать, что изоморфные группы с точки зрения теории групп одинаковы, или что они относятся к одной абстрактной группе.Приведем пример изоморфных групп.

Группа корней я-й степени из единицы i'2jl^/n» где & = 0, 1,..., п—1, (относительно умножения) изоморфна группе поворотов вокруг2nkуглы ——.некоторойосинапГруппа G называется гомоморфной группе Т*1, если каждомуэлементу g^G можно поставить в соответствие некоторый элемент I^F так, что из соотношений g"i->fi, gz-^fz вытекает соотношение gigz-^fifz- Установление этого соответствия называется гомоморфным отображением группы G на группу F. Гомоморфизмотличается от изоморфизма отсутствием требования взаимнойоднозначности. Таким образом, изоморфное соответствие являетсячастным случаем гомоморфного.Например, группа целых чисел (относительно сложения) гомоморфна группе поворотов на 0°, 90°, 180° и 270°.

Гомоморфизмустанавливается с помощьюсоответствия: 4&-И)°, 4&+1-^90°,180°, 4U + 3-+2700.Нетрудно убедиться в том, что точечные группы симметрииявляются группами в математическом смысле слова. Роль группового умножения играет здесь последовательное выполнение операций. Единичным элементом группы служит операция 1. Всякийэлемент имеет обратный себе (п1 и я"1, п^ и пг1). Можно такжепоказать, что умножение операций симметрии всегда ассоциативно.Взаимосвязь элементов группы, определяемую первым из четырех признаков группы, можно представить наглядно в виде таб75-Дицы умножения. Например, для точечной группы 4, содержащейОперации 41, 42 = 21, 43 = 4~1, 4 4 =1, такая таблица имеет следую*Ций вид:41214-1141214-1141214-1141214-1141214-1141214-11Каждая клетка таблицы содержит операцию, которая представляет собой произведение операций, стоящих в начале соответствующей строки и соответствующего столбца. Группа абелева, таккак в таблице умножения имеется диагональная линия симметрии.Циклическая группа, состоящая из закрытых симметрическихПреобразований (т.

е. циклическая точечная группа), называетсязакрытым элементом симметрииi. Если операция, входящая вгруппу в первой степени, представляет собой поворот, то это —поворотная ось; если эта операция есть поворот с инверсией, тополучается инверсионная ось. Таким образом, наряду с геометрическим толкованием, представленным в главе 1, понятие элементасимметрии имеет и иное, алгебраическое, содержание.Элементы симметрии часто являются подгруппами более сложных групп. В качестве примера рассмотрим группу 4/т, содержащую следующие симметрические операции: 41, 42, 43, 4 4 =1, 1г-, т,4гл, 4г-3. Нетрудно убедиться, что данная совокупность симметрических операций — действительно группа. Но группу образуюттакже и первые четыре операции. Эта циклическая подгруппапредставляет собой поворотную ось 4.

Другая, входящая сюдациклическая подгруппа, содержит операции 4/1, 42 = 4/2, 4Д 4 4 =1—это инверсионная ось 4. Здесь имеются также плоскость симметрии (операции m и 1) и ось 2 (операции 42 = 21 и 1).В разделе 1.5 мы уже говорили о возможности другого подхода к описанию симметрии, при котором вместо инверсионныхосей рассматриваются зеркально-поворотные оси.

При этом в ка1Соответственно циклическая группа, содержащая открытые симметрическиеоперации, — это открытый элемент симметрии. Открытые операции и элементысимметрии рассмотрены в разделе 5.1.76честве симметрических преобразований вместо поворотов с инверсией фигурируют повороты с отражением в плоскости, перпендикулярной оси поворота.Поворот с инверсией — сложная операция, состоящая из двухпреобразований; в отдельности эти преобразования могут и небыть симметрическими для данной фигуры, но вместе они образуют операцию симметрии. Эту суммарную операцию симметрииможно разложить и на два других преобразования, одно из которых является поворотом, а другое — отражением в плоскости,перпендикулярной оси поворота. Например, операцию Т — поворот на 360° с инверсией — можно представить как поворот на180° вокруг любой прямой, проходящей через центр инверсии, сотражением в плоскости, перпендикулярной этой прямой (см.рис.

1.1.3). Поворот на 90° с инверсией приводит к тому же результату, что и поворот на 270° (или на 90° в обратном направлении) вокруг той же прямой с отражением в плоскости, перпендикулярной этой прямой (см. рис. 1.5.1).Таким образом, можно рассматривать все операции симметрии как повороты и повороты с инверсией или как повороты иповороты с отражением в плоскости, причем оба рассмотрениясовершенно эквивалентны друг другу. На первом из них основанамеждународная символика, которой мы пользовались выше. Нарассмотрении в качестве симметрических операций поворотов с отражением в плоскости основана символика Шенфлиса.