М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 10

1.1.4, а) тетраэдры,многогранники, изображенные на рис. 1.4.2 и 1.4.5, уже упоминавшиеся выше тригональная дипирамида (рис. 1.7.6) и ромбоэдр(рис. 1.7.7).Многогранник, содержащий разные по форме грани, всегдаможно представить как комбинацию изоэдров. При таком подходе пзоэдром называют совокупность симметрически эквивалентныхи, следовательно, ра.вных граней многогранника (отметим, что пон я т и е изоэдра аналогично понятию орбиты). Чтобы представитьобщин вид изоэдра, нужно продолжить входящие в него грани допересечения. Подразумевается, что изоэдр может быть как замкнутым, та:; и незамкнутым (открытым) многогранником. В частном случае изоэдр включает в себя лишь одну грань (моноэдр)или две грани, которые при их продолжении пересекаются (диэдр)и т оказываются параллельными (пинакоид). Так, многогранникпа ри:.

1.1.4, б содсржчт три изоэдра, среди которых наряду с тетрагональным тетраэдром имеется и пинакоид (пара горизонтально г р а н е н ) , третий изсэдр образован четырьмя вертикальнымиг р а н я м и . Число граней, входящих в изоэдр, называется его крать^пыо.Для изображения изоэдров пользуются стереографической проекцией (см. раздел 1.1). При этом, однако, изображают не самиграни, а их нормали, считая последние лучами, исходящими изначала координат (так называемая гномостереографическая проекция г р а н е й ) .

Точку пересечения нормали со сферой проекциисоединяют с южным полюсом, если эта точка находится в северном полушарии, и с северным — если точка пересечения оказывается в ю>! ном полушарии. В первом случае точку, полученную паплоскости проекции, обозначают кружочком («верхняя» грань),по втором с л у ч а е — крестиком («нижняя» грань). Грань, котораяп е р п е н д и к у л я р н а плоскости проекции (т.

е. се нормаль лежит вЭ ' о й плоскости), изображается кружочком на окружности проекции.На рис. 1.6.3 в качестве примера показана проекция к р и с т а л ла карбамиду CO(NH 2 )2, симметрия которого описывается то к^чпой группой 42/71. Этот многогранник представляет собой к ^ л г » ч п - щ г ю /пух систем экр'палснтных граней, т. е. двух и"о?;-по т з.

НаПРО'. 1 ЩИ ИГраПЯМ,О Т Н О С Я Щ И М С Я К О Т . Н О М у ИЗО"5Дру, C O ' - v p " T ( M r ^ TQTол:'пал'(н>ые померз. Кратность обоих пзоэдров, т. е. ч:.сло ичодяпиь. в них гранен, в дгмчюм случае р а ч м а 4.1Часто для обозначения этого понятия употребляют(К п э д а »48термин«простаяПримеры проекций более сложных многогранников (кристаллов кварца и NaClO 3 ) приведены на рис. 1.7.10 и 1.7.19. Здесьстоит обратить внимание на то, что если нормали к нижней иверхней граням лежат в одной вертикальной плоскости и при этомимеют равный наклон по отношениюк экваториальной плоскости, то онипроектируются в одну точку, находящуюся внутри круга проекции, и изображаются как крестик в кружочке;рядом ставятся номера этих граней,разделенные черточкой; эти номераодинаковы, если грани относятся к одному изоэдру, и различны, если онипринадлежат разным изоэдрам.Проекции, подобные изображенным на рис.

1.7.10 и 1.7.19, обычностроят приближенно, так, чтобы лишькачественно охарактеризовать видмногогранника (огранку к р и с . а л л а ) . р"^6-4При этом наклон граней определяют«па глазок», следя за тем, например,чтобы изображения нормалей, более близких к вертикали, располагались ближе к центру круга, и т. п.По можно построить точную проекцию многогранника. Дляэтого положение грани (вернее нормали к ней) характеризуют спомощью сферических координат ср и р, описывающих положениеточки пересечения нормали со сферой (рис. 1.6.4). При изученииогранки кристаллов эти координаты непосредственно измеряют наРис 1 6.5 Сетка Вульфа:а — общий вид, б — вспомогательный чертеж, поясняющий способ построения сетки (вид сбоку), в — проекция грани, для которой (р—155°, р —68°приборе, который называется гониометром.

Для нанесения точекпа проекцию пользуются сеткой Вульфа (рис. 1.6.5, а), накладывая кальку па стандартный шаблон с изображением этой сетки.Здесь имеются две шкалы — на окружности и на диаметре (нарисунке цепа делении равна 30°, кристаллографы обычно исполь-зуют сетки радиусом 10 см с ценой деления, равной 2°). Окружность разделена на равные части — по этой шкале отсчитываютугол ф.

По шкале, нанесенной на диаметре, отсчиты-вают угол р;тут длина делений определяется соотношением OA2 = Rtgp/2, какэто видно из рис. 1.6.5, б. На рис. 1.6.5, в для ясности показанагномостереографическая проекция грани с некоторыми конкретными значениями сферических координат.Более детальное описание сетки Вульфа и разнообразные примеры решаемых с ее помощью задач можно найти в учебнике покристаллографии Г. М.

Попова и И. И. Шафрановского или в аналогичном учебнике М. П. Шаскольской (см. список рекомендуемой литературы).В заключение сопоставим понятие изоэдра с понятием изогона. Прямоугольный параллелепипед, приведенный выше в качестве примера изогона, не является изоэдром — он представляетсобой комбинацию трех пинакоидов. Напротив, такие изоэдры, кактригональная дипирамида или ромбоэдр, — не изогоны. Их вершины, лежащие на оси 3, отличаются от прочих вершин. Вместес тем, разумеется, многогранник может быть одновременно и изогоном и изоэдром, но среди замкнутых многогранников имеютсялишь 7 таких случаев: так называемый ромбический тетраэдр(грани — разносторонние треугольники, см. рис.

1.7.5), тетрагональный и правильный тетраэдры, октаэдр, куб, правильный додекаэдр и ,икосаэдр (см. рис. 1.4.5).1.7. ТИПЫ ИЗОЭДРОВВ этом разделе мы дадим общий обзор всевозможных изоэдров. Их удобно подразделить на следующие шесть типов.1. Пирамиды.

Возьмем одну из групп семейства вращающегосяконуса и зададим грань в произвольной ориентации относительнооси п. Размножим эту грань действием оси. В итоге получим изоэдр, представляющий собой пирамиду с п гранями. На рис. 1.7.1Рис. 1.7.1. Тетрагональная пирамида:а — общий вид изоэдра, б — проекцияизображены в качестве примера четырехгранная (тетрагональная)пирамида и ее гномостереографическая проекция.

Названия я-гранных пирамид таковы:точечная группа 1моноэдр»»2диэдр (осевой)»»3тригональная пирамида50точечная группа 4»»5»»6тетрагональная пирамидапентагональная пирамидагексагональная пирамидаи т. д.Очевидно, что моноэдр, т. е. изоэдр, содержащий лишь одну грань, формально можно назвать моногональной пирамидой, а диэдр, представляющий собой пару пересекающихся граней, — дигональной пирамидой, но эти названияобычно не употребляются.В группах семейства неподвижного конуса грань, заданная впроизвольной ориентации, также порождает пирамиду, которая,однако, в этом случае имеет 2п граней. Так, для группы 4mm получим восьмигранную (дитетрагональную) пирамиду (рис. 1.7.2).Рис.

1.7.2. Дитетрагональная пирамида:а — общий вид изоэдра, б — дитетрагон, в — проекция изоэдраВ отличие от тетрагональной пирамиды, в которой сечение, перпендикулярное к оси п, представляет собой квадрат (правильный тстраюн), аналогичное сечение дитетрагональной пирамиды — этовосьмиугольник, в котором углы равны через один (дитетрагон).Названия 2я-гранных пирамид:точечная группа mдиэдр (плоскостной)2mmромбическая пирамида»»Зтдитригональная пирамида»»4mmдитетрагональная пирамида»»5тдипентагональная пирамида»»6mmдигексагональная пирамидаи т. д.Диэдру, грани которого связаны плоскостью т, и ромбической пирамиде соответствуют практически неупотребляемые формальные названия — димоногональная и дидигональная пирамиды. Название «ромбическая» обусловлено тем,что сечение изоэдра, перпендикулярное к оси 2, имеет форму ромба (рис.

1.7.3).2. Призмы. ECJ.H в точечных группах тех же двух семейств —семейств вращающегося и неподвижного конусов — задать грани,параллельные поворотным осям симметрии, получим два рядапризм, названия которых аналогичны названиям соответствующихпирамид:точечная группа 1»»2»»3»»4»»»»»»»»т2mmЗт4mmмоноэдр (моногональная призма)пинакоид (дигональная призма)тригональная призматетрагональная призмаи т. д.пинакоид (димоногональная призма)ромбическая (дидигональная) призмадитригональная призмадитетрагональная призмаи т.

д.Отсюда видно, что один и тот же изоэдр может фигурировать одновременнов разных рядах (это относится к простейшим изоэдрам с небольшим числом граней). Так, пинакоид, представляющий собой пару параллельных граней, является и дигональной и димоногональной призмой. Подобные примеры будут встречаться и далее.Рис.

1.7.3. Ромбическая пирамидаа — общий вид изоэдра, б — проекцияsГРис. 1.7.4. Призмы.а — общий вид тетрагональной,дитетрагональной и ромбическойпризм, б — их проекцииНа рис. 1.7.4 изображены некоторые призмы и их проекции.3. Трапецоэдры. Изоэдр, грани которого занимают произвольное положение по отношению к элементам симметрии одной изгрупп семейства скрученного цилиндра, называется трапецоэдром.Названия конкретных трапецоэдров таковы:точечная группа 2диэдр (осевой)»»222ромбический тетраэдр»»32тригональный трапецоэдр»»422тетрагональный трапецоэдр»»52пентагональный трапецоэдр»»622гексагональный трапецоэдри т.

д.На рис. 1.7.5 показаны примеры трапецоэдров.Осевой диэдр можно считать и дигональной пирамидой и моногональнымтрапецоэдром, а ромбический тетраэдр с формальной точки зрения является дигональным трапецоэдром.4. Дипирамиды (бипирамиды). Изоэдры этого типа изображены на рис.

1.7.6. Они возникают при размножении грани, заданнойРис. 1.7.5. Трапецоэдры:а — общий вид тригональноготрапецоэдраи ромбическоготетраэдра, б — их проекцииРис. 1.7.6. Дипирамиды:а — общий вид тригональной, дитригональной и ромбической дипирамид,б — их проекцииа$в произвольной ориентации, элементами симметрии некоторыхточечных групп из семейств вращающегося и неподвижного цилиндров.