М.А. Порай-Кошиц - Симметрия молекул и кристаллических структур, страница 17

Последнее откосится, в частности, к точечным группам, каждая из которых есть трехмерное представление самойсебя.Всякая группа имеет единичное представление, в котором каждому элементу группы ставится в соответствие единичный оператор.Часто говорят, что пространство М преобразуется по представлению Т группы G, подразумевая под этим, что операторы T(g)определены в пространстве М.Если операторы T A ( g ) и T(g) связаны соотношением TA(g)~= AT(g)A~iy где А — произвольный линейный оператор, а Л"1 —85обратный ему оператор (АА~^ = А~ЛА = 1), то представления ТАи Т называются эквивалентными *. Переход от одного представления к другому — эквивалентному — соответствует переходу отпространства М с базисом {аг-} к пространству той же размерности М' с базисом {а/}, причем оператор А переводит векторы изпространства М в пространство М'.Легко доказать следующие два утверждения:1) если представление Ti эквивалентно представлению Т2, тои, наоборот, представление Т2 эквивалентно представлению 7Y,2) все представления, эквивалентные данному, эквивалентнымежду собой.Отсюда вытекает, что все представления данной группы (общее число которых, очевидно, равно бесконечности) распадаются'на классы взаимно эквивалентных представлений.Примем без доказательства следующую теорему 2 : каждыйкласс эквивалентных представлений группы конечного порядкасодержит унитарные представления, т.

е. представления, все операторы которых унитарны. Поэтому для таких групп можно ограничиться рассмотрением унитарных взаимно неэквивалентныхпредставлений, взяв по одному представлению из каждого класса.Будем называть подпространство М 4 пространства М инвариантным относительно оператора Л, если этот оператор, действуя на векторы из подпространства М ь преобразует их в векторы, принадлежащие этому же подпространству MI.Представление Т группы G в пространстве М называетсяприводимым, если в М существует хотя бы одно подпространствоМ ь инвариантное относительно всех операторов T ( g ) .В качестве примера приводимого представления укажем векторное представление точечной группы Dn.

Действительно, трехмерное пространство, в котором определена эта группа, содержитдва подпространства, инвариантных относительно операций, со«держащихся в Dn: одномерное пространство, совпадающее с осьюя, и двумерное — плоскость, в которой лежат побочные оси 2.В подпространстве Mi можно определить операторы Ti(g]с помощью соотношения T i ( g ) r = T ( g ) r , где r^Mi. Будем говорить, что оператор T(g) индуцирует в инвариантном подпространстве оператор T i ( g ) , определяемый этим соотношением. Соответственно приводимое представление Т индуцирует в инвариантном подпространстве Mi представление 7Y Если представление Тунитарно, то унитарно и 7\.

Индуцированные представления всвоей совокупности полностью определяют то приводимое представление, которое их индуцировало.Подпространство М2 называется ортогональным дополнениемк подпространству М\, если скалярное произведение любых двух1По составляет труда установить, что если Т — предс^авленге группы G,то Т Л тоже является представлением этой группы. Действительно, Т A (gig*) —2-Доказательство этой и других теорем, приводимых в разделах 27 и 2.8,,можно найти в кн. Г. Я.

Любарского «Теория групп и ее применение в физике»(см список рекомендуемой литературы).86векторов, один из которых принадлежит М\, а другой принадлежит Л12, равно нулю. Нетрудно доказать, что, если MI — подпространство, инвариантное относительно операторов унитарногоприводимого представления Т, то ортогональное дополнение кМ^ — подпространство М2 — тоже инвариантно относительноэтих операторов.Итак, если пространство М преобразуется по некоторому приводимому унитарному представлению Т, то оно расщепляется надва взаимно ортогональных инвариантных подпространства М{и уИ2. Обозначим символами 7\ и Т2 представления, индуцируемые в этих подпространствах приводимым представлением Т.Очевидно, что всякий вектор геМ можно представить как суммувекторовFI^M! и г2еМ2: r = ri + r2.Следовательно, T ( g ) r ===Ti(g)ri + T2(g)r2.

В подобных случаях говорят, что представление Т расщепляется на представления Т^ и Т2 и является суммойэтих представлений.Если одно из представлений 7\ и Т2 приводимо, его, в своюочередь, можно разбить на два представления меньшей размерности. Продолжая эту процедуру, мы придем к неприводимымпредставлениям. При этом пространство М окажется разложенным на ряд взаимно ортогональных подпространств Afi, М2, M3l...,каждое из которых преобразуется по некоторому неприводимомупредставлению т^ группы G. Если среди полученных подпространств окажется несколько, например m/t, подпространств, преобразующихся по одному и тому неприводимому представлениют/i (или по представлениям, эквивалентным представлению т&), тоговорят, что представление т/i содержится в исходном приводимомпредставлении mk раз.Таким образом, всякое приводимое унитарное представление 1распадается на унитарные неприводимые представления (является их суммой).

В результате анализ возможных представленийданной группы сводится к отысканию взаимно неэквивалентныхунитарных неприводимых представлений.Укажем на важные особенности матриц приводимых и неприводимых представлений.Матрица А видагА,А21Для строгости нужно отметить, что здесь имеются в виду конечномерныепредставления.87где А\, А2, Л 3 , ... — квадратные таблицы чисел разной или одинаковой размерности, а все элементы матрицы, не входящие в этиквадраты, равны нулю, называется квазидиагональной (илиблочной).

В частном случае, когда квадраты Л ь Л 2 ,... содержатлишь по одному числу, матрица является диагональной.Если в качестве базиса в пространстве М взять совокупностьбазисных векторов инвариантных подпространств, то матрицыоператоров T(g) принимают квазидиагональнъш вид. Отдельныеблоки этих матриц представляют собой матрицы операторов,соответствующих неприводимым представлениям, которые входятв состав данного приводимого представления.Отметим два важных свойства неприводимых представлений,которые примем без доказательства.1. Сумма квадратов размерностей всех неэквивалентных неприводимых представлений группы равна ее порядку (теоремаБернсайда).2.

Число неэквивалентных неприводимых представлений группыравно числу классов сопряженных элементов.Отсюда вытекает, что у абелевых групп все неприводимыепредставления одномерны (в абелевой группе каждый класс содержит лишь один элемент). Напротив, неабелевы группыдолжны иметь неодномерные неприводимые представления.В качестве примера рассмотрим неприводимые представленияточечных групп вида Сп. Такая группа, будучи абелевой, имеет подномерных неприводимых представлений. Пусть т — одно изэтих представлений.Поскольку т п (С п ) =г(Спп) ==г(С\) = 1, one2m*mратор т(С п ) принимает одно из значений е п , где т=1, 2,..., >г(ясно, что этот оператор представляет собой умножение на число). Все п неприводимых представлений группы Сп можно полу2nimkчить по формуле -rm(Ckn)=e п , где , т = 1, 2,..., п.

Для наглядности выпишем эти представления в виде таблицы: ,4Я1л88л= 1Такие же неприводимые представления имеют группы вида5 Л , где п — четное, и группы вида Спл, где п нечетное, посколькуэти группы изоморфны группам Сп (см. табл. 4).Характером %(g) представления Т называется след (т. е. сумма диагональных элементов) матрицы, соответствующей оператору T ( g ) . Матрицы, которые соответствуют разным операторам, всовокупности образующим представление, вообще говоря, различны.

Поэтому характер приобретает разные значения для разных элементов группы G, как это и показывает обозначениеи (Я). Важно отметить, что след матрицы, а следовательно, и значение характера не зависят от выбора базиса пространства, в котором действуют операторы T ( g ) .Для примера приведем матрицы и значения характера, соответствующие векторному представлению группы С4 (разумеется,это представление приводимо) и одному из неприводимых представлений этой группы:1/1 0 0\0 1 0\0 0 1/T(g)xte)Ti(g)Xi(g)/0 1 0\-1 0 0V о о \)31(1)1(0I3c\c\/-10 0\,0 -1V о01/\00 - 1 0—1(-1)_110\0 00 1 /1(-0—1В дальнейшем нам потребуется понятие скалярного произведения характеров,которое определяетсяформулой: (X, Хх) =г=— TjXteJXi. (#)»Де N— порядок группы; xi (g) — величины,gкомплексно сопряженные со значениями характера xi( ) > суммирование ведется по всем элементам группы.