М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 83

Таким образом, изучение различныхпутей R(l) ведущих, в данную точку, сводится к изучению петель, из Eв E, проходящих через данную точку R(1).Однако на связном пространстве (а SO(3) связно) при изучении стягиваемости петель в точку нам не важно в какую точку петля стягиваетсяи через какую точку проходит начальная петля. Мы можем любую петлюс помощью непрерывной деформации пропустить через любую точку, если,прежде чем проходить саму петлю, сходим в эту точку и вернёмся обратнопо тому же пути (эта добавка, очевидно, стягиваема в точку). Таким образом, нам достаточно исследовать непрерывные замкнутые петли, проходящие через E (или любую другую точку), не накладывая дополнительныхусловий.Классы эквивалентности таких петель (эквивалентны петли, которыенепрерывно деформируемы друг в друга) образуют фундаментальную группу пространства.

Единичная петля — петля, стягиваемая в точку, обратная петля — прохождение петли в обратном направлении, произведение15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ453петель — петля, образованная последовательным проходом сперва первой,а потом второй петли.Для пространства SO(3) (проективного пространства) фундаментальная группа состоит из двух элементов: Z2 = {+1, −1}. Элементу −1 этойгруппы соответствует петля, которая нечётное число раз пересекает поверхность поворота на угол π (см.

15.1.1 «Топология вращений (л)»). Другимисловами, поворот на 2π не стягивается в точку, а потому может давать преобразование состояний, отличное от тождественного, а поворот на 4π в точку стягивается и должен соответствовать тождественному преобразованию.Повороту на 2π может соответствовать умножение на фазовый множитель P . Поворот на 4π получается двухкратным повторением поворотана 2π, т. е. соответствовать умножению на P 2 , но поворот на 4π долженбыть тождественным преобразованием, т. к.

соответствующая петля стягивается в точку. ПоэтомуP 2 = 1,P = ±1.Выбор P = +1 соответствует исходной группе SO(3). Выбор P = −1соответствует квантовой группе поворотов, различающей повороты на 2πи 4π. Как мы увидим далее, при изучении спина 12 , квантовые поворотыописываются группой SU(2).15.2. Представления вращенийТеперь, получив некоторое представление о том, что такое «поворотвообще», т. е. обсудив группу вращений как абстрактную группу, посмотрим как вращения действуют на те или иные квантовые системы, т. е. обсудим конкретные представления группы вращений.15.2.1.

Орбитальные моментыРассмотрим момент импульса, связанный с движением точечной частицы. В классической механике момент импульса частицы задаётся как⎛⎞ypz − zpyL = [r × p] = ⎝ zpx − xpz ⎠.zpy − ypzПоскольку во всех компонентах L все перемножаемые координаты и импульсы относятся к разным осям, то проблем с упорядочением множителей не возникает, и квантовые операторы проекций момента импульса454ГЛАВА 15получаются из классических формул приписыванием шляпок. Как и раньше, при обсуждении группы поворотов и её генераторов, сразу обезразмерим квантовые моменты импульса, поделив их на h̄ (по повторяющимсяиндексам снова подразумевается суммирование):1l̂α = eαβγ x̂β p̂γ = −i eαβγ xβ ∂γ ,h̄1l̂x = (ŷ p̂z − ẑ p̂y ) = −i(y∂z − z∂y ),h̄1l̂y = (ẑ p̂x − x̂p̂z ) = −i(z∂x − x∂z ),h̄ˆlz = 1 (x̂p̂y − ŷ p̂x ) = −i(x∂y − y∂x ).h̄Здесь мы сразу переписали операторы l̂α как дифференциальные операторы∂в координатном представлении, ∂α = ∂xα.Проверим коммутационные соотношения для компонент орбитальногомомента импульса ˆlα :1[ˆlx , l̂y ] = 2 [ŷ p̂z − ẑ p̂y , ẑ p̂x − x̂p̂z ] =h̄1= 2 ([ŷ p̂z , ẑ p̂x ] − [ŷ p̂z , x̂p̂z ] − [ẑ p̂y , ẑ p̂x ] +[ẑ p̂y , x̂p̂z ]) = h̄0011= 2 (ŷ [p̂z , ẑ] p̂x + x̂ [ẑ, p̂z ] p̂y ) = i (x̂p̂y − ŷ p̂x ) = iˆlz .

h̄h̄(−ih̄)ih̄С помощью циклических перестановок x, y, z получаем коммутационныесоотношения, совпадающие с (15.3):[ˆlα , l̂β ] = i eαβγ ˆlγ .Сферические координатыОператоры ˆlα являются операторами производных вдоль векторныхполей1lx = −i(0, −z, y),ly = −i(z, 0, −x),lz = −i(−y, x, 0).1 В дифференциальной геометрии принято считать, что вектор и производная вдоль этого вектора — один и тот же объект, т. к. между ними естественным образом устанавливаетсявзаимно-однозначное соответствие: ∂v = v a ∂a .

При этом операторы частной производной15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ455Эти векторные поля с точностью до множителя −i представляют собой поля скоростей при вращении вокруг соответствующих осей координат с единичной угловой скоростью. Экспоненты от операторов ˆlα будут как разсоответствовать движению вдоль этих векторных полей ilα .При вращении вокруг координатных осей расстояние от точки до начала координат не меняется, поэтому может быть удобно выписать поля lαи операторы ˆlα в сферических координатах.

Следует ожидать, что в сферических координатах орбитальные моменты могут быть выражены с использованием только угловых координат, без использования координаты r.Сферические координаты — это расстояние до начала координат r, широта θ (отсчитывается не от плоскости экватора, как в географии, а отоси z), долгота ϕ (отсчитывается от плоскости xz, направление отсчётасвязано с направлением оси z правым винтом):x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Базисные векторы в сферических координатах можно легко представить, определив как смещается точка при бесконечномалом изменении соответствующей координаты. Вектор смещения при изменении координаты xa на величину dxa будет равен ea · dxa (индексы подчёркнуты, чтобыпоказать, что суммы по повторяющемуся индексу a в данной формуле нет)er = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ),eθ = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, −r sin θ),eϕ = (−r sin θ sin ϕ, r sin θ cos ϕ, 0),|er |2 = 1,|eθ |2 = r 2 ,|eϕ |2 = r 2 sin2 θ.Матрица скалярных произведений векторов ea даёт метрический тензор,однако его проще определить через элемент длины, выраженный в новыхкоординатах:⎛⎞1 00⎠.

(15.5)0dl2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin2 θ dϕ2 ) ⇔ gab = ⎝ 0 r 20 0 r 2 sin2 θ∂вдоль координат ∂a = ∂xa выступают в роли базисных векторов (координатный базис).Такой базис в общем случае не является ни ортогональным, ни нормированным. Компонентывектора, разложенного по координатному базису, при замене координат преобразуются по тому же закону, что и бесконечномалый радиус-вектор с компонентами dxa , соединяющий двебесконечноблизкие точки.456ГЛАВА 15Компоненты полей lα по векторам нового базиса определяютсякак(lα ,ea )e2a :l̂x = −i (− sin ϕ ∂θ − ctg θ cos ϕ ∂ϕ ),l̂y = −i (cos ϕ ∂θ − ctg θ sin ϕ ∂ϕ ),ˆlz = −i ∂ϕ .Как и следовало ожидать, h̄ˆlz имеет стандартный вид импульса (генератора сдвига) по координате ϕ (долготе).Оператор ˆl2 в сферических координатах с точностью до знака совпадает с оператором Бельтрами – Лапласа (обобщением лапласиана) на единичной сфере:!∂1 ∂21 ∂ˆl2 = −sin θ= −θϕ .+sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ215.2.2.

Спектр оператора ĵzРазличные проекции момента импульса не коммутируют друг с другом, поэтому в набор одновременно измеримых величин мы можем включить только одну из них и суммарный квадрат момента импульса (операторКазимира алгебры моментов). Традиционно из всех проекций момента импульса принято выбирать проекцию на ось z. Однако все выводы останутсясправедливыми и при замене оси z на любое другое направление.Пусть m — собственное число оператора ĵzĵz ψm = mψm .Под действием оператора поворота на угол 2π собственная функция ψmлибо переходит в себя, либо меняет знак (15.1.2 «Квантовые вращения**»):ei2πĵz ψm = ei2πm ψm = ±ψm .Таким образом, m должно быть целым, или полуцелымm ∈ Z,илиm+12∈ Z.Причём собственные функции для целых и полуцелых m удобнее отнестик разным пространствам, т.

к. иначе их линейная комбинация при поворотена 2π не умножалась бы на фиксированный множитель ±1.15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ457Для орбитального момента в роли ĵz выступает оператор l̂z . Экспонента от него задаёт сдвиг по углу ϕ (поворот):eiαl̂z ψ(r, θ, ϕ) = ψ(r, θ, ϕ + α).С учётом 2π-периодических условий по ϕ мы должны выбратьm ∈ Z,ψm (r, θ, ϕ) = Cm (r, θ) eimϕ .15.2.3. Операторы ĵ±Для дальнейшего исследования моментов импульса полезно ввестиоператоры†.ĵ± = ĵx ± iĵy = ĵ∓Для орбитальных моментов получаемˆl± = ˆlx ± iˆly = e±iϕ (±∂θ + i ctg θ ∂ϕ ).Через операторы ĵ± удобно выражать ĵx и ĵy , так же, как через лестничные операторы â, ↠удобно выражать P̂ , Q̂ для гармонического осциллятора (12.7).

Для векторного оператора компоненты +, − и z частооказываются более удобными, чем x, y и z.Подобно тому, как оператор номера уровня для гармонического осциллятора удобно выразить через â и ↠, оператор ĵ 2 удобно выразить через ĵ±и ĵz :ĵ− ĵ+ = ĵx2 + ĵy2 + i[ĵx , ĵy ] = ĵx2 + ĵy2 − ĵz ,ĵ+ ĵ− = ĵx2 + ĵy2 − i[ĵx , ĵy ] = ĵx2 + ĵy2 + ĵz .Отсюда легко видеть, что[ĵ+ , ĵ− ] = 2ĵz ,2ĵ = ĵ− ĵ+ +ĵz2+ ĵz = ĵ+ ĵ− +(15.6)ĵz2− ĵz .(15.7)Используя коммутационные соотношения (15.3) и (15.4), получаем[ĵz , ĵ± ] = ±ĵ± ,2[ĵ , ĵ± ] = 0.(15.8)(15.9)Подобно тому, как операторы â и ↠уменьшают и увеличивают числа заполнения для гармонического осциллятора (12.13), ĵ± увеличивают458ГЛАВА 15и уменьшают значение проекции ĵz :ĵz (ĵ± ψm ) = (ĵ± ĵz + [ĵz , ĵ± ])ψm = (ĵ± m ± ĵ± )ψm == (m ± 1)(ĵ± ψm ).

(15.10)Как и для гармонического осциллятора (12.13), мы можем сделать вывод,что выражение ĵ± ψm либо обращается в нуль, либо оказывается собственным вектором, отвечающим собственному числу (m ± 1).15.2.4. Собственные векторы операторов ĵz , ĵ 2Ранее мы обсуждали спектр собственных состояний оператора ĵz(15.2.2 «Спектр оператора ĵz »), не накладывая на состояния каких-либодополнительных ограничений. Теперь мы потребуем, чтобы рассматриваемые состояния были одновременно собственными для оператора ĵ 2 ,коммутирующего с ĵz :ĵz ψλm = m ψλm ,ĵ 2 ψλm = λ ψλm .Поскольку ĵ 2 = ĵx2 + ĵy2 + ĵz2 , мы сразу заключаем, что λ > |m|2 .

Такимобразом, спектр разрешённых значений m при фиксированном λ ограниченсверху и снизу.Пусть j — максимальное значение m при данном λ, тогда (см. (15.10),(15.7))ĵz ψλj = j ψλj ,ĵ+ ψλj = 0,ĵ 2 ψλj = (ĵ− ĵ+ + ĵz2 + ĵz )ψλj = (0 + j 2 + j)ψλj = λ ψλj .Таким образом, λ = j(j + 1). Аналогично, проверяется, что минимальноеразрешённое значение m — это −j:ĵz ψλ−j = −j ψλ−j ,ĵ− ψλ−j = 0,ĵ 2 ψλj = (ĵ+ ĵ− + ĵz2 − ĵz )ψλj = (0 + j 2 − (−j))ψλ−j = λ ψλ−j .Поскольку j — неотрицательное целое или полуцелое число, то длянумерации состояний удобнее использовать не λ = j(j + 1), а само j.