М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 81

Структурные константы зависят только от самой группы, но не от её представления.Для изоморфных алгебр Ли структурные константы могут быть сделаныодинаковыми заменой базиса.Для группы вращений[ĵα , ĵβ ] = i3eαβγ ĵγ .γ=1Группы Ли, алгебры Ли которых описываются одинаковым наборомструктурных констант в окрестностях единицы, устроены одинаково. Например, сразу понятно, что группа собственных поворотов SO(3) и группа O(3) ортогональных матриц 3 × 3 (группа несобственных поворотов, включающая также комбинации поворотов с отражениями) одинаковоустроены вблизи единицы (бесконечномалых отражений не бывает). Менеетривиально, что группа SO(3) одинаково устроена с группой SU(2), в которой поворот на полный угол 2π соответствует умножению на −1 и толькоповорот на 4π даёт тождественное преобразование.

И именно группа SU(2)оказывается «настоящей» квантовой группой поворотов.14.4. Представления групп (л)Представление f группы G — её отображение на группу преобразований f (G) некоторого пространства M, сохраняющее групповую структуру (14.2), но не обязательно взаимнооднозначное. Такое отображение, какуже упоминалось ранее, называется гомоморфизмом.Если представление задаётся взаимнооднозначным отображением нагруппу преобразований (изоморфизмом), то такое представление называется точным представлением.Если представление отображает все элементы группы на тождественное преобразование пространства M, то оно называется тривиальным представлением.Согласно теореме о гомоморфизме простая группа имеет только точные и тривиальные представления.Если пространство представления M является линейным, и преобразования группы f (G) также линейны, то и представление f называетсялинейным.

Размерность dim M при этом называется размерностью представления.14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯГРУПП ( Л )441(ф) В квантовой теории, когда нас интересуют преобразования линейного пространства состояний H, нам нужны именно линейные представления групп. Более того, поскольку пространство H не только линейное,но и гильбертово (обладает структурой комплексного скалярного произведения), то нам нужны представления группы унитарными операторами —унитарные представления.14.4.1. Существование*Мы уже упоминали, что для любой группы G существует точное представление её как группы преобразований самой себя с помощью умноженияслева (14.1). Однако для квантовой теории нам интереснее существованиеунитарного представления.Точное унитарное представление произвольной группы мы тоже можем легко построить, если сопоставим каждому элементу группы векториз некоторого ортонормированного базиса, получив пространство M = CG .На этом пространстве группа действует, переставляя номера базисных векторов с помощью умножения слева:2∀g, h ∈ G,g : eh → eg◦h .(фф) В данной формуле мы видим сразу два представления группы G:представление левыми сдвигами на номерах базисных векторов и линейноепредставление.

Аналогичная процедура применяется при переходе от классической теории к квантовой: то, что раньше было (полным) набором состояний, становится базисом нового пространства состояний. В частности,так мы переходим от дискретного пространства состояний классическогокомпьютера к линейному пространству состояний квантового компьютера,допускающего всевозможные суперпозиции.14.4.2. Приводимость и инвариантные подпространства (л)Пространство H линейного представления f группы G может содержать инвариантные подпространства H(1) ⊂ H, которые переходят в себяпод действием всех преобразований группы:∀g ∈ G,f (g)H(1) = H(1)⇔∀g ∈ G, ψ ∈ H(1) ,f (g)ψ ∈ H(1) .2 Для непрерывной группы строгое определение такой конструкции потребует введения нагруппе меры интегрирования инвариантной относительно левых сдвигов.442ГЛАВА 14Всегда имеются тривиальные инвариантные подпространства: подпространство из нулевого элемента {0} и всё пространство H.

Если другихинвариантных подпространств нет, то представление f называется неприводимым представлением.(ф) При изучении симметрий определённого вида (т. е. при изучениипредставлений конкретной группы симметрий) очень полезно иметь полную классификацию неприводимых представлений. Такая классификацияпозволяет представлять любое представление группы, т. е. любое действиесимметрии данного вида, как комбинацию неприводимых представлений.Если линейное представление f приводимо, то каждое нетривиальноеинвариантное подпространство H(1) данного представления можно рассматривать как пространство нового представления f(1) (подпредставления), которое получается из f , если ограничить отображения f (G) на H(1) .(ф) Если мы выделили из пространства состояний инвариантное подпространство меньшей размерности, причём оно также переходит в себяпод действием гамильтониана, то далее мы можем рассматривать действиенашего гамильтониана на этом подпространстве.

Диагонализовать гамильтониан на подпространстве меньшей размерности может быть проще, чемна всём пространстве состояний, а если подпространство конечномерно, тозадача сведётся к диагонализации обычной матрицы.14.4.3. Разложение представления в сумму неприводимых (л)Если исходное представление f конечномерно, то размерность подпредставления f(1) строго меньше, чем размерность исходного:∞ > dim H > dim H(1) > 0.Для любого конечномерного линейного представления мы можем получитьпоследовательность вложенных инвариантных пространств и соответствующих им представлений:∞ > dim H > dim H(1) > .

. . > dim H(n) > 0,H = H(0) ⊃ H(1) ⊃ . . . ⊃ H(n) ⊃ {0}.В этой цепочке на каждом шаге размерность строго уменьшается, и для конечномерного f цепочка должна быть конечной. Последнее представлениев цепочке f(n) , действующее на пространстве H(n) , обязано быть неприводимым. Таким образом, для всякого конечномерного приводимого представления существует неприводимое подпредставление.14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯГРУПП ( Л )443Нас интересуют унитарные представления, сохраняющие скалярноепроизведение в пространстве H. Это позволяет сразу заключить, что ор⊥тогональное дополнение H(n)к инвариантному подпространству H(n) также инвариантно. Это позволяет продолжить процедуру: выделив из приводимого представления f неприводимое представление f(n) , можно од⊥⊥, действующее на H(n), причёмновременно определить представление f(n)⊥⊥dim H(n)< dim H.

Далее f(n)либо неприводимо (процедура заканчивается), либо приводимо, тогда из него снова выделяется неприводимое представление и ортогональное дополнение меньшей размерности.В результате мы разлагаем пространство H, на котором действует конечномерное унитарное представление f , в ортогональную сумму минимальных инвариантных подпространств Hn , на каждом из которых представление f , действует как неприводимое:H = H1 ⊕ H2 ⊕ . .

. ⊕ Hk ,dim H = dim H1 + dim H2 + . . . + dim Hk ,f = f1 ⊕ f2 ⊕ . . . ⊕ fk .Здесь мы ввели понятие суммы представлений. Если ввести базис накаждом из пространств Hn (1 < n < k), то базис в пространстве Hможно ввести как объединение базисов на подпространствах. Вектор в Hможет быть представлен как набор столбцов высотой dim Hn , отвечающих подпредставлениям, поставленных друг на друга, а матрицы f (g)(g ∈ G) — как блочно-диагональные матрицы, каждый из блоков имеетразмер dim Hn × dim Hn действует на своё подпространство:⎛⎞⎛ ⎞f1 (g)ψ1ψ1⎜ f2 (g)ψ2 ⎟⎜ ψ2 ⎟⎜⎟⎜ ⎟f (g)ψ = ⎜ψ = ⎜ .

⎟ = ψ1 ⊕ ψ2 ⊕ . . . ⊕ ψk ∈ H,⎟,..⎝⎠⎝ .. ⎠ .ψk∈H1⎛∈H2∈Hk⎞fk (g)ψkf1 (g) 0 0 00 f2 (g) 0 0 ⎟⎟⎟ = f1 (g) ⊕ f2 (g) ⊕ . . . ⊕ fk (g).... 0⎠0000 0 fk(**) С точки зрения теории множеств ортогональная сумма пространств Hn — это прямое произведение множеств, на которых заданаструктура линейного пространства.⎜⎜f (g) = ⎜⎝444ГЛАВА 14(ф) Группа симметрий некоторого гамильтониана всегда переводитсостояния с некоторой энергией в состояние с той же энергией. Такимобразом, подпространства состояний с определённой энергией являютсяинвариантными подпространствами соответствующей группы симметрий.Если разбиение представления на неприводимые единственно3 , то каждое минимальное инвариантное подпространство группы симметрий обязано быть собственным подпространством гамильтониана, обладающегосоответствующей симметрией.

Таким образом, если мы разложили нашепредставление группы симметрий на неприводимые и показали единственность разложения, то большая часть работы по диагонализации гамильтониана уже выполнена: уже найден базис (т. е. набор стационарных состояний, годится любой базис, полученный объединением базисов в минимальных инвариантных подпространствах), осталось только найти собственныечисла.14.4.4. Умножение представлений (лф*)Помимо суммы представлений вводится также операция умножения.Умножению представлений соответствует тензорное умножение соответствующих линейных пространств и операторов:[f1 (g) ⊗ f2 (g)]( ψ1 ⊗ ψ2 ) = (f1 (g)ψ1 ) ⊗ (f2 (g)ψ2 ) . ∈H1∈H2∈H1∈H2При сложении представлений их размерности складываются, а приумножении — умножаются.(ф) Физически умножение представлений соответствует объединениюподсистем, на которые действуют преобразования симметрии. Например,если в центральном поле ядра имеются два электрона, то мы можем написать два представления f1 и f2 группы вращений, соответствующих вращениям первого и второго электронов соответственно.

Одновременному одинаковому вращению обоих электронов будет соответствовать произведениепредставлений f1 ⊗ f2 . Взаимодействие между электронами нарушает вращательную симметрию отдельного электрона, но сохраняет вращательнуюсимметрию системы в целом, поэтому и законы сохранения оказываются связанными с одновременным поворотом обоих электронов (сохранение3 Пример неединственности разложения представления на неприводимые — представлениегруппы {−1, +1} на пространстве одномерных волновых функций L2 (R) операторами Iˆ (инверсия по координате) и 1̂.14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯГРУПП ( Л )445суммарного момента импульса).

Как всегда, разделение системы на подсистемы не обязательно связано с пространственным разнесением компонент,например вместо орбитального движения двух электронов мы можем рассматривать орбитальное движение и спин (собственный момент импульса) одного и того же электрона. Например, далее (см. 15.5 «Сложение моментов*») мы составим таблицы умножения неприводимых представленийквантовой группы вращений SU(2).При изучении конкретной группы симметрий помимо составленияклассификации неприводимых представлений полезно также составитьтаблицу умножения представлений: произведение каждой пары неприводимых представлений снова разлагается в сумму неприводимых представлений.(ф) После разложения произведения представлений на неприводимыеслагаемые мы, как правило, уже не можем связать отдельное слагаемоес той или иной подсистемой.