М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Практически всегда каждое из слагаемыхпредставлений действует на обе подсистемы одновременно.ГЛАВА 15Вращения и моментыС главе 14 «Симметрии-2» мы обсудили применение теории групп и ихпредставлений для описания симметрий в квантовой механике. Данная глава иллюстрирует «Симметрии-2», но может читаться и независимо. Здесьразбирается конкретный важный пример симметрии относительно поворотов и соответствующих этой симметрии операторов момента импульса.15.1. Группа вращенийВ данном разделе мы выясним некоторые свойства поворотов, которые зависят от того, как повороты комбинируются друг с другом. Действиеповоротов на состояния квантовых систем здесь обсуждаться не будет.
Тоесть мы обсуждаем абстрактную группу вращений, но не касаемся её представлений.15.1.1. Что такое поворот (л)Вращения собственные и несобственные (л)Поворот — преобразование координат, которое оставляет неподвижным начало координат и сохраняет расстояние в трёхмерном евклидовомпространстве:x = Rx,∀x ∈ R3 ,(x , x ) = (x )T x = xT RT Rx = xT x = (x, x).Поскольку вектор x ∈ R3 произволен, мы получаем условие на матрицу R:RT R = E.(15.1)Такие матрицы называются ортогональными. Множество ортогональныхматриц 3×3 обозначается O(3), имеет структуру группы и называется группой вращений.448ГЛАВА 15Если взять определитель от равенства (15.1), то получится условие(det R)2 = 1⇔det R = ±1.Это условие разбивает все повороты R на два класса, в зависимости от знака определителя.
Повороты с определителем +1 называются собственнымивращениями. Множество собственных вращений обозначается SO(3), является нормальной подгруппой O(3) и называется группой собственных вращений. Собственные вращения — обычные повороты, которые можно выполнить, непрерывно поворачивая тело вокруг некоторой оси. Несобственные вращения, для которых det R = −1, выполнить непрерывно, вращаятело, нельзя, т. к. при непрерывном вращении матрица R меняется непрерывно, непрерывно меняется и det R, а значит определитель не сможет перепрыгнуть от значения +1 = det E к значению −1. Несобственные вращения представляют собой комбинации собственных вращений и зеркальныхотражений.Топология вращений (л)Группа O(3) состоит из двух связных кусков: SO(3) — группа собственных поворотов, и P̂ SO(3) (напомним, P̂ — оператор пространственной инверсии 11.4.2 — отражение по всем трём осям, здесь пока можносчитать, что P̂ = −E) — несобственные повороты (группу не образуют,т.
к. (−1)2 = +1 произведение двух несобственных поворотов всегда даётсобственный).Группы O(3) и SO(3) трёхмерны: их можно параметризовать тремянепрерывными параметрами.SO(3) параметризуется заданием вектора вдоль оси поворота (направление вектора выбираем по правилу правого винта), длина которого равнауглу поворота.
Углы поворота можно брать в диапазоне [0, π]. При этомповорот на π вокруг вектора n и вокруг вектора −n — это одинаковыеповороты, поэтому их надо отождествить.Таким образом, мы параметризовали все собственные вращения точками трёхмерного шара радиуса π, при этом диаметральные точки на поверхности сферы описывают одинаковые повороты и должны быть попарноотождествлены.Мы получили, что группа SO(3) имеет топологию проективного пространства — топологию трёхмерного шара, у которого склеены (отождествлены) диаметральные точки на границе.15.1. Г РУППАВРАЩЕНИЙ449Топологически группа O(3) состоит из двух несвязанных кусков, каждый из которых устроен как SO(3).Генераторы вращений (л)Собственные вращения могут быть представлены как матричные экспоненты от генераторов вращений. Поскольку пространство поворотовтрёхмерно, у нас есть три линейно независимых генератора, например, генераторы, отвечающие вращениям вокруг осей координат.Поворот на угол ϕ вокруг оси x может быть записан как действиематрицы на столбец:⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛x100xx = ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 cos ϕ sin ϕ ⎠ ⎝ y ⎠ = Rx (ϕ) x = eiϕ jx x.0 − sin ϕ cos ϕzz Rx (ϕ)xh̄jx — генератор поворота вокруг оси x.
Как уже упоминалось ранее(см. 11.3.2), поворот (сдвиг по обобщённой угловой координате) порождается обобщённым импульсом по этой координате. Для угла ϕ это моментимпульса в проекции на ось x. Таким образом, jx — проекция моментаимпульса, делённая на h̄ (измеренная в единицах h̄).Обратите внимание! Мы сейчас обсуждаем групповые свойства вращений, но не их представления! То есть мы обсуждаем, как повороты комбинируются друг с другом, но пока не интересуемся тем, как они действуютна волновые функции! Представления группы вращений мы обсудим позже.Матрицу ijx мы можем определить, продифференцировав Rx (ϕ) поуглу ϕ в нуле⎞⎛0 0 0dRx ijx == ⎝ 0 0 1 ⎠.dϕ ϕ=00 −1 0Мы можем легко проверить, что экспонента от ijx воспроизводит исходнуюматрицу поворота, если учтём, чтоjx3 = jxjx2n+1 = jx .(15.2)Это свойство относится только к представлению вращений матрицами 3×3!(См.
также 15.4 «Спин 1».)⇒∀n = 0, 1, 2, . . .jx2n+2 = jx2 = jx0 = E,450ГЛАВА 15Аналогично для других генераторов (проекций момента импульса)⎞⎞⎛⎛0 0 −10 10ijy = ⎝ 0 0 0 ⎠, ijz = ⎝ −1 0 0 ⎠.10 00 00Запишем теперь собственный поворот общего вида Rn (ϕ) — поворотвокруг оси, задаваемой единичным вектором n на угол ϕ:Rn (ϕ) = eiϕjn .Здесь jn = (j, n) = nx jx + ny jy + nz jz , где j — вектор с компонентами (jx , jy , jz ).Мы можем вывести коммутационные соотношения для компонентмомента импульса, просто посчитав коммутаторы соответствующих матриц 3 × 3:[jx , jy ] = ijz и циклические перестановки x, y, z.eαβγ[jα , jβ ] = ieαβγ jγ , α, β, γ = 1, 2, 3.(15.3)⎧⎨ 0, среди α, β, γ есть совпадающая пара индексов,= +1, (α, β, γ) — чётная перестановка (1, 2, 3),⎩−1, (α, β, γ) — нечётная перестановка (1, 2, 3).По повторяющимся индексам в формуле (15.3) подразумевается суммирование, впрочем, в сумме здесь (при заданных α, β) не больше одного ненулевого члена.Найденные коммутационные соотношения не зависят от представления группы вращений, а характеризуют группу как таковую.
Символ eαβγзадаёт структурные константы группы SO(3).Используя коммутационные соотношения, легко убедиться, что оператор квадрата момента импульса ĵ 2 = ĵx2 + ĵy2 + ĵz2 коммутирует со всемигенераторами:[ĵ 2 , ĵα ] = 0.(15.4)В теории представлений такой оператор называется оператором Казимираи используется для нумерации представлений (для разделения переменных,путём разбиения пространства состояний на инвариантные относительнодействия ĵα подпространства).15.1. Г РУППАВРАЩЕНИЙ45115.1.2. Квантовые вращения**Данный раздел призван объяснить, почему при дальнейшем изучениивращений квантовых систем мы не будем беспокоиться о том, чтобы этивращения описывались группой собственных вращений SO(3), а будем следить лишь за тем, чтобы генераторы вращений вели себя как компонентымомента импульса (чтобы алгебра Ли совпадала с алгеброй so(3)).До сих пор мы рассматривали вращение как математическое преобразование, связывающее начальное и конечное состояния системы.
Былоупомянуто, что собственные повороты, в отличие от несобственных (содержащих нечётное число отражений), можно осуществить непрерывно,начиная с тождественного преобразования, т. е. это не просто преобразования описания системы, а преобразования, которые можно осуществить наэксперименте.Описывая последовательность, в которой мы совершаем собственноевращение на эксперименте, как непрерывное преобразование, нам мало задать конечное преобразование, а надо задать непрерывную последовательность всех промежуточных поворотов от тождественного преобразованиядо конечного поворота.Представим себе, что у нас имеется ряд одинаковых наблюдателей,каждый из которых повёрнут относительно предыдущего на малый угол(в пределе — бесконечномалый), и поворот осуществляется путём перехода от точки зрения одного наблюдателя к точке зрения следующего.
(Мыподразумеваем, что эти наблюдатели ничего не измеряют, а лишь переписывают со своей точки зрения состояние системы.)Таким образом, экспериментальная реализация вращения задаётсяне одной точкой пространства собственных поворотов (группы SO(3)),а непрерывной кривой R(l) от тождественного преобразования E, до конечного поворота Rn (ϕ):R(·) : [0, 1] → SO(3),R(0) = E,R(1) = Rn (ϕ).И если мы задаём вопрос о преобразовании состояния системы приреальном, проведённом экспериментально, повороте, то это преобразование должно непрерывно зависеть не только от конечного поворота Rn (ϕ),но и от всей последовательности промежуточных поворотов R(l).
Такимобразом, мы имеем новый набор преобразований, связанных уже не с вращениями, а с траекториями R(l).Тем не менее, обращаясь к нашей картине ряда наблюдателей, мы можем утверждать, что физически значимые выводы последнего наблюдате-452ГЛАВА 15ля не должны зависеть от ориентации промежуточных наблюдателей.
Этоозначает, что каков бы не был ряд промежуточных наблюдателей, преобразование от первого наблюдателя к последнему может меняться не болеечем на фазовый множитель.Примем следующее упрощающее предположение: пусть конечное преобразование не меняется при непрерывных деформациях с фиксированными концами траектории R(l). Другое предположение, приводящее к тому жерезультату: пусть группа преобразований квантовых состояний, связанныхс путями в пространстве вращений R(l) локально (когда траектория R(l)не выходит из малой окрестности единицы E) устроена так же, как группаSO(3), т.
е. алгебра генераторов (алгебра Ли) новой группы должна совпадать с алгеброй Ли группы SO(3).Итак, в окрестности единицы преобразования однозначно определяются конечной точкой траектории R(l). Однако глобально одному элементу SO(3) может соответствовать несколько разных преобразований волновых функций. Число таких преобразований для данного элемента SO(3) неболее числа различных способов (с точностью до непрерывных деформаций), которыми можно провести путь до данного элемента из единицы.Если два пути R(l) с фиксированным концом деформируемы другв друга, то, пройдя из единицы до конечной точки по первому пути, а вернувшись по второму, мы получим замкнутый путь (петлю) из E в E, который может быть непрерывно стянут в точку. Если две траектории с фиксированным концом не деформируемы друг в друга, то полученная из нихпетля не может быть стянута в точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
