М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 80

е. перестановок меняющих местами дваэлемента и оставляющих остальные элементы неподвижными. Определитель матрицы парной перестановки равен −1, так что, хотя число парныхперестановок, на которые разлагается данный элемент, определено неоднозначно, чётность этого числа неизменна. Чётными называют перестановки, разлагающиеся на чётное число парных перестановок (det = + 1),нечётными — перестановки, разлагающиеся на нечётное число парных(det = −1).(ф) Конечная подгруппа группы вращений естественным образомпредставима как группа перестановок вершин некоторого многогранника,переводящая этот многогранник в себя.

Такие группы в физике естественным образом возникают как группы симметрий различных молекул. Знание представлений таких групп облегчает нахождение спектров соответствующих молекул. В классической механике это соответствует нахождению частот собственных колебаний, а в квантовой — собственных уровнейэнергий. В частности, для гамильтониана, обладающего соответствующейсимметрией, мы сразу можем назвать кратности собственных чисел.Простейшая нетривиальная (состоящая более чем из одного элемента)группа состоит из целых степеней некоторого элемента группы:{g0n |n ∈ Z}— циклическая группа.

Бесконечная циклическая группа называется свободной, она изоморфна группе целых чисел относительно сложения Z ((ф):группа симметрий одномерной периодической решётки). Конечная циклическая группа из N элементов изоморфна группе остатков от деления на Nотносительно сложения и может быть получена как факторгруппа целыхчисел относительно сложения по подгруппе целых чисел, делящихся на N :ZN = Z/N Z.Циклическая группа ZN проста только для конечного простого N .436ГЛАВА 1414.2.5. Стандартные матричные группы (л)Стандартные непрерывные группы — это подгруппы группы комплексных квадратных невырожденных (det M = 0) матриц N × N , которая обозначается GL(C, N ), где GL означает общие (General) линейные (Linear) преобразования.

Групповые структуры (единичный элемент, умножение и взятие обратного элемента) понимаются как это стандартно принято для матриц.Буквенные обозначения стандартных непрерывных групп строятся изблоков:•••••S — Special — специальная — det M = 1,U — Unitary — унитарная — M † = M −1 ,O — Orthoganal — ортогональная — M T = M −1 ,L — Linear — линейная — иногда дописывается для красоты,G — General — общая — дописывается для красоты, если нет никакихусловий.После буквенного кода в круглых скобках могут указываться дополнительные параметры:• размер матрицы (число);• сигнатура метрики (два числа — число положительных собственныхчисел и число отрицательных), остающейся инвариантной под действием преобразований из данной группы (в этом случае должна использоваться буква O, но матрицы будут уже не ортогональные, а псевдоортогональные);• множество чисел, из которых строится матрица (чаще всего C или R)– C — комплексные (для унитарных матриц опускается),– R — вещественные (для ортогональных матриц опускается),– Q — рациональные,– Z — целые,– N — натуральные.Примеры:• GL(R, N ) — невырожденные, вещественные, N × N ;• SL(N ) — вещественные, det M = 1, N × N ;=• O(1, 3) — группа Лоренца — M diag(+1, −1, −1, −1) M T= diag(+1, −1, −1, −1) — вещественные матрицы, сохраняют вид метрики Минковского (у метрики Минковского 1 положительное собственное число и 3 отрицательных);14.3.

«С ИММЕТРИИ -1»И«С ИММЕТРИИ -2». ВЧ ЁМ РАЗЛИЧИЕ ?*437• O(3) — вещественные ортогональные матрицы 3 × 3 — M M T = E —повороты и их комбинации с отражениями;• SO(3) — вещественные ортогональные матрицы 3 × 3, det M = 1 —собственные повороты (без отражений);• U(N ) — унитарные матрицы N × N ;• SU(2) — унитарные матрицы 2 × 2, det M = 1 — квантовые повороты(поворот на 2π даёт умножение на −1);• O(N, N ) = SN — группа перестановок множества из N элементов;• SO(N, N ) = AN — группа чётных перестановок множества из N элементов.Для всех подгрупп группы GL(C, N ) мы можем сразу записать линейное N -мерное представление, при котором они действуют слева как матрицы на столбец длины N .14.3.

«Симметрии-1» и «Симметрии-2». В чём различие?*В этом разделе мы посмотрим на главу 11 «Симметрии-1» (котораяпроизводила впечатление вполне законченного изложения) с точки зрениятекущей главы и посмотрим, чего же нам на самом деле не хватает.14.3.1. Однопараметрические группы*Ранее, в главе 11 «Симметрии-1» мы ограничивались рассмотрениемоднопараметрических групп симметрии. Такая симметрия всегда описывается одним эрмитовым оператором — генератором однопараметрическойгруппы Â, порождающим для разных значений параметра α ∈ R преобразования симметрии вида Ûα = exp(iαÂ).

При этом всегда выполняютсясвойстваÛα Ûβ = Ûα+β ,Ûα−1 = Û−α ,Û0 = 1̂.Следует заметить, что с точки зрения теории групп в однопараметрических группах мало интересного, все они устроены одним из двух способов:• как вещественные числа с операцией сложения — между вещественными значениями параметра α и элементами группы есть взаимнооднозначное соответствие (пример — группа сдвигов по оси x);• как точки на окружности с операцией сложения поворотов — междувещественными значениями параметра α и элементами группы есть438ГЛАВА 14соответствие, при котором значения параметра, отличающиеся на период, эквивалентны exp(iαÂ) = exp(i(α + 2π)Â).

Умножая генераторна число, периоду можно придать любое ненулевое значение, например 2π (пример — группа поворотов вокруг оси z).Таким образом, у нас есть всего две однопараметрические группы:R(+) — группа вещественных чисел, относительно операции сложенияи SO(2) — группа поворотов плоскости. Однако эти группы в разных случаях были представлены разными операциями симметрии, т. е.

разными унитарными операторами.14.3.2. Группы и алгебры Ли*Конечно, мы всегда можем выделить из более сложной группы непрерывных симметрий одну однопараметрическую подгруппу, задаваемую элементами вида exp(iαÂk ) (α ∈ R, Âk = †k ), или вставить дискретную симметрию в однопараметрическую группу, однако такой подход будет хотяи допустим, но неполон.Мы можем включить все преобразования нашей группы в однопараметрические подгруппы, но использовать для нумерации квантовых состояний мы сможем только такие генераторы симметрий Âk , которые коммутируют друг с другом ([Âk , Âl ] = 0), например для группы поворотов нампридётся оставить только повороты вокруг одной выбранной оси (обычновыбирают ось z, тогда проекция момента импульса Jˆz задаёт повороты:exp(iαJˆz )).

Как мы увидим далее, из квантовых симметрий можно извлечьбольше информации, дополнив набор коммутирующих генераторов некоторой нелинейной комбинацией генераторов (такая комбинация уже не будетгенератором). Для группы поворотов в дополнение к Jˆz можно взять Jˆ2 == Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 .Пусть группа симметрий системы представляет собой некоторуюD-мерную группу Ли — группу, локально параметризуемую с помощью Dнепрерывных параметров, такую, что групповые операции (умножениеи взятие обратного элемента) непрерывны относительно вводимой параметризации.Далее в качестве примера мы обсудим группу вращений в трёхмерномпространстве — SO(3).Симметрии, близкие к тождественному преобразованию (к единице группы), представляются как операторные экспоненты от генераторовгруппы, которые образуют D-мерное линейное пространство — алгебру Ли14.3.

«С ИММЕТРИИ -1»группыИ«С ИММЕТРИИ -2». ВÛ = exp iDЧ ЁМ РАЗЛИЧИЕ ?*439αk Âk .k=1Групповые преобразования Û представляются унитарными операторами. D штук линейно-независимых генераторов Âk представляются эрмитовыми операторами.Алгебра Ли для данной группы обозначается тем же символом, чтои сама группа, с заменой больших букв на маленькие. Например, SO(3) —классическая группа вращений, SU(2) — квантовая группа вращений, имсоответствует одна и та же (изоморфная) алгебра Ли, которую можно обозначать как so(3) или su(2). Генераторы алгебры вращений — операторыпроекций момента импульса и их линейные комбинации.Слово «представляются» выделено не случайно.

Элементы группы Лии её алгебры Ли принадлежат некоторым абстрактным пространствам, тогда как наши симметрии — операторы на линейном пространстве. Однаи та же группа и её алгебра могут быть по-разному реализованы (представлена) как группа преобразований линейного пространства. Таким образом, нам надо изучать не группы сами по себе, а линейные представлениягрупп — отображение элементов группы на подгруппу линейных преобразований линейного пространства некоторой размерности N , при которомпроизведению элементов группы соответствует последовательно выполнение линейных преобразований.Все генераторы группы симметрий коммутируют с гамильтонианом,но они могут не коммутировать между собой.

Поэтому, когда мы строимнабор одновременно измеримых (совместимых) наблюдаемых, нам приходится выбирать, какие из генераторов мы в него включим.Группы, вращений SO(3) трёхмерна, нас имеется три линейно-независимых генератора поворотов — проекции момента импульса на оси координат ĵα .

Проекции момента импульса на разные оси не коммутируют другс другом и только одна из них может быть включена в набор совместимыхнаблюдаемых.Алгебра Ли замкнута относительно операции взятия коммутаторас умножением на мнимую единицу, т. е. коммутатор любых двух генераторов даёт снова линейную комбинацию генераторов:[Âk , Âl ] = iDm=1mCklÂm .440ГЛАВА 14mКоэффициенты Cklназываются структурными константами.