М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 78

8.2 «Моделирование измерительного прибора*»).Гидродинамическая аналогия предполагает непрерывность всех используемых координат, поэтому дискретные координаты (такие как проекции спинов элементарных частиц) должны выражается через некоторые искусственные непрерывные координаты (сведение момента импульса к двумгармоническим осцилляторам см. в разделе 15.2.7 «Лестничные операторыдля осциллятора â± и момента импульса ĵ± **»).Гидродинамическая аналогия заменяет линейное уравнение Шрёдингера на нелинейные уравнения. Кроме того, эта аналогия игнорируетсимметрию квантовой механики относительно унитарных преобразований, фиксируя одно произвольно выбранное представление (координатное).Уравнения гидродинамической формулировки локальны с точки зренияконфигурационного пространства, но с точки зрения физического трёхмерного пространства они нелокальны.

Проверка отсутствия реальной нелокальности (позволяющей передавать и сигналы со сверхсветовой скоростью) в гидродинамической формулировке становится нетривиальной задачей. По этим причинам работать с такой формулировкой квантовой механики не очень удобно. Кроме того, интерпретации, основанные на гидродинамической аналогии, представляются шагом назад, предполагая отказаться от амплитуд вероятности и вернуться к классическим вероятностям, основанным на незнании. Большинство физиков, основываясь наопыте создания квантовой теории и теории относительности скорее готовы отказаться от какого-либо ещё ранее незыблемого постулата физики, чем вернуться к классическим понятиям.

По перечисленным причинам интерпретации, приводимые ниже, не пользуются в настоящее время популярностью, но они по-своему интересны и заслуживают ознакомления.13.7.1. Интерпретация волны-пилотаИнтерпретация волны-пилота первоначально была предложена (дляряда частных случаев) Луи де Бройлем в 1920-х годах, после чего была424ГЛАВА 13забыта и вновь разработана на новом уровне Давидом Бомом в 1950-х.Аналогичные идеи выдвигались и рядом других авторов.6Эта интерпретация предполагает сосуществование волновой функциии траектории эволюции системы.

Из всех возможных траекторий эволюции системы существует только одна, но мы не можем определить какаяименно, а можем определить только плотность вероятности в конфигурационном пространстве. Система движется по этой траектории испытываядействие классических сил −∇U и нелокальных квантовых сил −∇Uкв .Квантовые силы определяются волновой функцией системы, котораякак бы управляет движением частицы, поэтому для волновой функции вводится термин волна-пилот.Волновая функция в интерпретации волны-пилота выступает как некоторое нелокальное физическое поле. При этом допускается возможность,что вид квантового потенциала может быть модифицирован так, чтобы воспроизводить квантовую механику в той области, где она хорошо проверена,но в других случаях допускать иное поведение, в частности, предполагается, что в будущих обобщениях квантовой механики координаты и импульсыокажутся одновременно измеримыми.13.7.2. Интерпретация многих взаимодействующих мировПосле создания многомировой интерпретации неизбежен был новыйвзгляд на гидродинамическую аналогию.

После того, как мы позволили себе думать об одновременном существовании параллельных эвереттовскихмиров нет оснований выделять из всех возможных траекторий эволюциисистемы, которые предлагает гидродинамическая аналогия, какую-то одну и объявлять её единственной истинной. Вместо этого можно считать,что все такие траектории в равной степени реальны и описывают различные «классические» параллельные миры.7 Квантовая сила при этом рассматривается как взаимодействие различных параллельных миров междусобой.

При этом отпадает необходимость в волновой функции, как отдельной сущности: волновая функция лишь удобный способ описания ансамбляпараллельных миров в целом. В случае общего положения (если области6 Основные статьи по этой теме собраны в сборнике переводов под редакцией Я. П. Терлецкого и А.

А. Гусева «Вопросы причинности в квантовой механике». М.: Издательство иностранной литературы, 1955.7 P. Holland, Computing the wavefunction from trajectories: particle and wave pictures in quantummechanics and their relation. Ann. Phys. (Amsterdam) 315, 505 (2005). B. Poirier, Bohmianmechanics without pilot waves. Chem. Phys. 370, 4 (2010)13.8. О ТМАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ **425с ненулевым не отделены друг от друга) волновая функция с точностьюдо общего фазового множителя восстанавливается по полям и j.При всём сходстве с многомировой (эвереттовской) интерпретациейимеются и существенные отличия.

В эвереттовской интерпретации параллельные миры определяются неоднозначно, поскольку состояние может быть по-разному представлено как суперпозиция, также неоднозначноопределяется история каждого мира. В интерпретации многих взаимодействующих миров эти неоднозначности отсутствуют. Эвереттовские миры,как компоненты линейной суперпозиции независимы друг от друга, тогдакак взаимодействующие миры влияют друг на друга посредством квантовых сил.Интерпретация многих параллельных миров наводит на свои обобщения квантовой физики, которые иначе едва ли могли бы возникнуть. Этомодификация закона взаимодействия миров друг с другом, а также сокращение непрерывного множества взаимодействующих миров до дискретного, или даже конечного.813.8.

От матрицы плотности к плотности вероятности**Смешанное состояние системы в классической теории описываетсяраспределением вероятности в 2N -мерном фазовом пространстве (q, p),а в квантовой теории — матрицей плотности ρ̂. Однако запись матрицыплотности в виде функцииρ(q1 , q2 ) = q1 |ρ̂|q2 ,ρ(p1 , p2 ) = p1 |ρ̂|p2 мало похожа на функцию распределения, т. к. оба аргумента оказываются одного сорта, а, кроме того, функция оказывается, как правило, комплексной.Квантовый аналог распределения вероятностей называет функция Вигнера и определяется с помощью преобразования Фурье координатногопредставления матрицы плотности по разности аргументов:i1W (q, p) = (2πh̄)ρ(q − x/2, q + x/2) e h̄ px dN x.(13.53)N8 M. J. W. Hall, D.-A.

Deckert, H. M. Wiseman, Quantum phenomena modeled by interactionsbetween many classical worlds. Phys. Rev. X 4, 041013 (2014).426ГЛАВА 13Функция Вигнера во многом похожа на классическую функцию распределения. Она вещественна, это легко видеть, т. к. при комплексномсопряжении x в подынтегральном выражении меняет знак. Интегрирование функции Вигнера поодному из наборов аргументов позволяет получить распределение вероятности по другому набору аргументов (проверьте!):ρ(q,q)=W (p, q) dN p,Рис. 13.6.

Юджин Вигнер (1902–1995).ρ(p, p) = W (p, q) dN q.Однако функция Вигнера не может рассматриваться как совместное распределение вероятностей по координатам и импульсам, потому что длянекоторых состояний она может принимать отрицательные значения.Рис. 13.7.ВладимирПри переходе от квантовой механике к класИванович Манько.сической распределение вероятностей (q, p) получается из сглаженной функции Вигнера, приэтом сглаживание должно размывать функциюВигнера примерно на соотношение неопределённостей, т. е. усреднять надо по фазовому объёму порядка (2πh̄)N .Функцию Вигнера можно записать как среднее от зависящего от параметров q, p эрмитового оператора Â(q, p):i1Â(q, p) = (2πh̄)N|q + x/2e h̄ px q − x/2| dN x,q̂α |q = qα |q,q|q = δ N (q − q ),W (q, p) = Â(q, p)ρ = tr(Â(q, p) ρ̂).(13.54)Интегрируя функцию Вигнера по разным направлениям в фазовомпространстве, можно получить распределения вероятностей по всевозможным переменным q или p, таким, что они получаются из переменных q, pпроизвольным линейным каноническим преобразованием.w(X, μ, ν) = W (q, p) dN (μq + νp),(13.55)13.8.

О ТМАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ **427здесь μ и ν — матрицы N × N , такие, что rank(μ, ν) = N . Компоненты X̂и p̂ = μq̂ + ν p̂ связаны каноническими коммутационными соотношениями:[X̂α , p̂β ] = ih̄δαβ ,α, β = 1, . . . , N.Переход (13.55) от функции Вигнера W (q, p) к функции w(X, μ, ν) называется преобразованием Радона, а сама функция w(X, μ, ν) — квантовойтомограммой.Преобразование Радона обратимо, так что по томограмме можно восстановить функцию Вигнера и матрицу плотности, т. е. томограмма — другое представление смешанного состояния квантовой системы.

Томограммаимеет хороший физический смысл: она задаёт распределения вероятностейдля всевозможных линейных комбинаций координат и импульсов.Формулировка квантовой механики в терминах квантовой томографии разрабатывается в настоящее время группой В. И. Манько в МФТИи ФИАНе.ГЛАВА 14Симметрии-2*(группы и представления)В главе 11 «Симметрии-1» мы уже обсуждали роль симметрий в квантовой механике. Здесь мы изучим симметрии более глубоко, введя для этогоболее изощрённый математический аппарат. Можно сказать, что ранее мыизучали эффект какой-то одной симметрии (однопараметрической группысимметрий), а теперь мы рассматриваем случай, когда симметрий много(есть нетривиальная группа симметрий).При первом чтении большую часть этой главы можно пропустить.

При последующих прочтениях этот раздел призван дать более последовательный математический взгляд на симметрии в квантовой теории,в частности, на повороты и моменты импульса в трёхмерном пространстве.14.1. Группы и их представления (л)Как уже отмечалось ранее (глава 11 «Симметрии-1»), симметрия системы в квантовой механике задаётся набором унитарных преобразований,коммутирующих с гамильтонианом системы. При этом между собой этипреобразования могут и не коммутировать.Преобразования симметрий мы можем рассматривать с двух точек зрения:• Как симметрии комбинируются между собой? Что получится, если последовательно выполнить преобразования симметрии Û1 и Û2 :Û2 Û1 = ?• Как симметрии действуют на интересующие нас объекты? В квантовоймеханике нас интересует, как операторы симметрии Û действуют навекторы состояния ψ: Û ψ = ?Первая точка зрения — теория групп.

Ей посвящён раздел 14.2 «Группы (л)».430ГЛАВА 14Вторая точка зрения — теория представлений групп (или просто: теория представлений). Ей посвящён раздел 14.4 «Представления групп (л)».14.2. Группы (л)14.2.1. Определение и смысл (л)Группа G — множество, на котором задана следующая структура:• единичный элемент (единица) E ∈ G;• операция умножения ◦ : G×G → G, т. е. g2 ◦g1 = g3 , где g1 , g2 , g3 ∈ G.Умножение ∀g, g1 , g2 , g3 ∈ G удовлетворяет условиям:E ◦ g = g ◦ E = g,(g3 ◦ g2 ) ◦ g1 = g3 ◦ (g2 ◦ g1 );• операция взятия обратного элемента (·)−1 : G → G, т.