М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Функции одновременно диагонализуемых операторовИногда операторные аргументы задаются коммутирующими операторами, которые при этом ещё и одновременно диагонализуемы выбором соответствующего базиса. Это относится к набору Âk взаимнокоммутирующих эрмитовых, антиэрмитовых и унитарных операторов2 .Для такого набора операторов мы можем доопределить более широкийнабор функций.2 Взаимнокоммутирующие нормальные операторы не всегда можно одновременно диагонализовать. Например, [x̂ + iŷ, p̂x + ip̂y ] = 0, но операторы x̂ + iŷ и p̂x + ip̂y одновременно недиагонализуются. Для нормальных операторов как достаточное условие одновременной диагонализации можно дополнительно потребовать коммутируемость сопряжённых операторов,или эрмитовых и антиэрмитовых частей.13.2. Ч ТОТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ?391Разбиваем пространство состояний H в сумму максимальных собственных подпространств нашего набора операторов Âk :HiH=i(индекс i может быть как дискретным, так и непрерывным).При этом любой вектор из Hi является собственным для всех операторов Âk :∀ψ ∈ Hi ,Ak ψ = αki ψ.Максимальность собственных подпространств означает, что любойобщий собственный вектор операторов Âk попадает в одно из подпространств.Мы определяем оператор-функцию F (Âk ) так, что все подпространства Hi являются для него собственными, с собственными числами, вычисляемыми по собственным числам операторов Âk с помощью исходнойфункции F :∀ψ ∈ HiF (Âk )ψ = F (αki )ψ.(13.1)Если функция представляет собой степенной ряд или полином, то этоопределение согласуется с приведённым выше определением через формальные ряды (полиномы), но на одновременно диагонализуемых операторах мы можем определять функции, не разложимые в ряд, включая разрывные, например, θ-функцию (ступеньку).Условие максимальности подпространств нужно только если мы имеемдело с неоднозначными функциями (корень, логарифм и т.
п.). Оно гарантирует, что все общие собственные векторы операторов Âk будут собственными для оператора F (Âk ), какие бы ветви мы не выбирали на каждомподпространстве.Мы можем использовать это определение функции от оператора дляопределения разрывных потенциалов, проекторов на собственные подпространства и для проекторнозначных мер (5.3.1 «Проекторнозначная мера**»). Условие максимальности собственных подпространств было важнопри определении квазиимпульса (11.4.3 «Квазиимпульс*»).13.2.3.
Функции некоммутирующих аргументовФункции от некоммутирующих аргументов не могут быть доопределены однозначно. Результат доопределения всегда зависит от того, какой392ГЛАВА 13именно формулой представляется исходная функция. Например, если к исходной формуле прибавить член, пропорциональный коммутатору аргументов, то формула будет давать те же значения на коммутирующих (в томчисле числовых) аргументах, но значение на некоммутирующих аргументах изменится.Функция, доопределённая на эрмитовых аргументах, может не бытьэрмитовой.
Обычно для того, чтобы избежать этого вводится симметризованное произведениеâb̂ + b̂ââ ◦ b̂ =,(13.2)2которое по двум эрмитовым операторам снова даёт эрмитов. Однако и симметризованное произведение не устраняет неоднозначности: оно неассоциативно, т. е.
возможна ситуация, когдаâ ◦ (b̂ ◦ ĉ) = (â ◦ b̂) ◦ ĉ,(13.3)поэтому результат доопределения функции может зависеть от расстановкискобок, которые были неважны для коммутирующих аргументов.Функции от некоммутирующих аргументов мы будем определять какнекоторую комбинацию, построенную с помощью операций сложения,умножения на число, операторного умножения функций от коммутирующих аргументов (их мы обсудили выше в разделах 13.2.1 и 13.2.2).13.2.4.
Производная по операторному аргументуДля того, чтобы взять производную от функции, надо, чтобы аргументу функции можно было дать бесконечномалое приращение, т. е. аргументфункции должен непрерывно меняться. Когда мы доопределяем функциюна фиксированном наборе операторов, то процедура доопределения зависитот того, какие именно операторы мы взяли в качестве аргументов, кроме того, эта процедура может зависеть от нашего произвола (часто дискретногопроизвола). В таких условиях правильнее считать, что мы имеем не операторную функцию операторнозначных аргументов, а один-единственныйоператор F (Âk ), который выражен через фиксированный набор операторов Âk .
Говорить о производной от операторнозначной функции по операторному аргументу в данном случае, строго говоря (используя обычныйсмысл понятия производной), нельзя.Прежде чем определять производную по операторному аргументу, полезно понять, зачем вообще нам такая производная может понадобиться.13.2. Ч ТОТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ?393В первую очередь такая производная нужна нам для того, чтобы записатьквантовое обобщение уравнений Гамильтона:dpi∂Hdqi∂H= {pi , H} = −= {qi , H} = +,,(13.4)dt∂qidt∂pi{qi , pj } = δij , {qi , qj } = {pi , pj } = 0.Мы знаем, что в квантовом случае скобка Пуассона выражается через коммутатор:1{·, ·} → ih̄[·, ·].И мы хотим, чтобы квантовые уравнения Гайзенберга записывались аналогично:dp̂i=dt ∂ Ĥ−,∂ q̂i 1ih̄ [p̂i , Ĥ] =знаемхотим1ih̄ [q̂i , p̂j ]= δij ,dq̂i=dt ∂ Ĥ+,∂ p̂i 1ih̄ [q̂i , Ĥ] =знаем(13.5)хотим[q̂i , q̂j ] = [p̂i , p̂j ] = 0.Причём, если гамильтониан представим в виде суммы кинетическойи потенциальной энергии Ĥ = K(p̂) + U (q̂), которые записываются черездифференцируемые функции от координат и импульсов, то мы можем ихпросто формально продифференцировать (по обычным правилам дифференцирования).Это возможно потому, что для коммутатора, как для производной, у насесть линейность[x̂, α + B̂] = α[x̂, Â] + [x̂, B̂]и некоммутативное (порядок сомножителей имеет значение!) «правилоЛейбница» (5.21):[x̂, ÂB̂] = [x̂, Â]B̂ + Â[x̂, B̂].Таким образом, если у нас есть набор пар операторов Âk и B̂l , коммутатор которых даёт ненулевое число для операторов одной пары и нульв противном случае[Âk , B̂l ] = ck δkl ,[Âk , Âl ] = [B̂k , B̂l ] = 0,то для функции этих операторов F̂ = F (Âk , B̂l ) мы можем определитьпроизводные по ним:∂F (Âk , B̂l )∂ Âk=1ck [F̂ , B̂k ],∂F (Âk , B̂l )∂ B̂k=1ck [Âk , F̂ ].(13.6)394ГЛАВА 13Эти производные линейны∂  ∂ B̂∂(α + B̂)=α+,∂x∂x∂xудовлетворяют некоммутативному правилу Лейбница∂ Â∂ ÂB̂∂ B̂=B̂ + Â∂ x̂∂ x̂∂ x̂и соответствуют обычным формальным производным благодаря свойству∂ x̂i= δij .∂ x̂jЕсли функция задана как ряд или полином от своих аргументов, тотакие производные можно брать как формальные производные по правилу(проверьте через коммутаторы!)∂ x̂n= nx̂n−1 .∂ x̂Если задана функция F (Âk ) одновременно диагонализуемых аргументов Âk , то дифференцирование снова может быть выполнено формально, ноуже по другому правилу: дифференцируется по соответствующему (числовому) аргументу xk исходная (числовая) функция F (x):Fk (x) =∂F (x).∂xkПосле чего в производную подставляются (в прежнем смысле) операторныеаргументы:∂F (Â)= Fk (Â).∂ ÂkДля функции некоммутирующих аргументов дифференцирование также может выполняться формально, при условии, что применяется некоммутативное правило Лейбница (с учётом порядка сомножителей).Такого рода производные по операторному аргументу могут применяться не только по координатам и импульсам.
Например, осцилляторныеоператоры подходят ничуть не хуже[âi , â†j ] = δij ,[âi , âj ] = [â†i , â†j ] = 0,13.3. Т ЕОРЕМА Э РЕНФЕСТА∂F (â, ↠)= [F̂ , â†i ],∂âi∂F (â, ↠)∂â†i= [âi , F̂ ].395(13.7)Формально дифференцирование операторных функций создаёт соблазн применять его без должного обоснования, однако для произвольныхоператоров оно может быть определено неоднозначно, возьмём, например,произвольный оператор, удовлетворяющий условию Iˆ2 = 1̂, Iˆ = 1 (инверсия, зарядовое сопряжение и т.
п.). Следующая функция может быть определена разными способами:ˆ = 1̂ = Iˆ2 .F (I)Тогда формальная производная даёт разные ответы, в зависимости от способа определения функции:ˆ∂F (I)∂ 1̂== 0,ˆ∂I∂ Iˆлибоˆ∂F (I)∂ Iˆ2== 2Iˆ = 0.∂ Iˆ∂ Iˆ13.3. Теорема ЭренфестаВ соответствии с данным выше определением производной по операторному аргументу (13.6) уравнения Гайзенберга для операторов координат и импульсов могут быть переписаны в виде, с точностью до шляпок аналогичном уравнениям Гамильтона:dp̂i∂ Ĥ=−,dt∂ q̂i∂ Ĥdq̂i=+.dt∂ p̂i(13.8)И хотя мы сами вложили это свойство (13.5)в определение производной по операторномуаргументу, возможность выполнять дифферен- Рис. 13.1. Эренфест Павелцирование формально приводит к тому, что Сигизмундович (1880–1933).производные с точностью до шляпок и ком- Wмутаторов (если аргументы не коммутируют)совпадают с классическими выражениями.Для сравнения с классическими уравнениями Гамильтона, возьмём отобоих частей уравнений (13.8) средние.
С учётом того, что взятие полной396ГЛАВА 13производной от оператора по времени по определению (5.19) перестановочно с квантовым усреднением, мы получаем теорему Эренфеста:""##dp̂i ∂ Ĥ∂ Ĥdq̂i = −= +,.(13.9)dt∂ q̂idt∂ p̂iМожно сказать, что согласно теореме Эренфеста для систем, имеющихклассические аналоги, уравнения Гамильтона выполняются в среднем.При обсуждении уравнений Гамильтона (раздел 5.2.6) на примере движения (5.25) и расплывания (5.26) волнового пакета мы уже сравнивалиэволюцию средних значений координаты и импульса с классической эволюцией и получили полное соответствие. Для гармонического осциллятора мы также получили, что средние координаты и импульсы ведут себяклассическим образом (12.39).Для того, чтобы эволюция средних значений соответствовала классической динамики, должно выполняться условиеdp̂i ∂ Ĥ=−(q̂, p̂),dt∂ q̂i∂ Ĥdq̂i =+(q̂, p̂).dt∂ p̂i(13.10)Оно выполняется только для квадратичных гамильтонианов (производныеот которых линейны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
