М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику (1156773), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Пример расчётов в представлении чиселзаполнения*Пусть, например, нам надо посчитать среднее от какого-либо оператора, скажем, Q̂P̂ 2 Q̂ в состоянии |n. Можно, конечно,найти волновую функ.цию ψn (Q) и взять интеграл n|Q̂P̂ 2 Q̂|n = ψn Q(−i∂/∂Q)2 Qψn dQ, однако проще провести вычисления в представлении чисел заполнения.12.4. П РИМЕРРАСЧ ЁТОВ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ *367Мы знаем, как на собственные функции осциллятора действуют лестничные операторы, поэтому выразим через них операторы координатыи импульса:â + â†â − â†Q̂ = √ ,P̂ = √ .(12.32)2i 2Теперь мы можем написать2â + â†â + ↠â − â†2√ |n =√n|Q̂P̂ Q̂|n = n| √2i 22Далее остаётся раскрыть скобки (не забывая, что â и ↠не коммутируют!), применить формулы для действия лестничных операторов на базисные состояния (12.22), (12.25) и ортонормированность базисных состояний (12.20).Впрочем, мы можем облегчить работу, выписывая при открытии скобок только те члены, которые содержат равное число операторов â и ↠,поскольку каждый такой оператор опускает (поднимает) состояние на однуступеньку, а состояния ортонормированы, а значит нам интересны толькочлены, не меняющие номер состояния.
Таким образом, продолжаем предыдущее равенство1=n| − ↠↠ââ − ↠â ↠â + ↠â â↠+−4N̂†††N̂N̂†(N̂ +1)† †â â − ââ ââ − âââ â |n =+ ââ (N̂ +1)(N̂ +1) (N̂ +1)N̂Мы просто выписали все 6 возможных способов поставить два креста на4 оператора. При этом каждый крест над вторым или третьим оператором(которые происходят от оператора P̂ ) давали знак минус.Мы сразу выделили действующие на состояние |n комбинации операторов, которые дают оператор номера уровня N̂ . Поскольку оператор действует на своё собственное состояние, его можно заменить собственнымчислом, таким образом, удалось существенно сократить выкладки:−1 =− (n|↠↠)(ââ|n) −n2 + n(n + 1) +(n + 1)n − (n + 1)2 −4ââψn |ââψn +n−1− (n|ââ)(↠↠|n) =↠↠ψn |↠↠ψn −n−1368ГЛАВА 12Осталосьвычислитьскалярные квадраты√√√ двух волновых функций: ââ|n =√= n − 1 n|n − 2, ↠↠|n = n + 2 n + 1|n + 2. Таким образом, получаем ответ11= (+(n − 1)n + 1 + (n + 2)(n + 1)) = (2n2 + 2n + 3).4412.5.
Симметрии гармонического осциллятора12.5.1. Зеркальная симметрияНа первый взгляд мы видим у гармонического осциллятора одну симˆметрию — зеркальную, описываемую оператором инверсии координаты I.Как мы уже обсуждали выше, это означает, что мы можем выбрать собственные функции оператора Гамильтона так, чтобы они одновременно быˆ т. е. чётными или нечётными. Поли собственными функциями оператора I,скольку у гармонического осциллятора нет вырождения чётных и нечётныхсостояний (да и вообще спектр невырожденный), все собственные состояния оказываются либо чётными, либо нечётными.
Основное состоя∂ние ψ0 (12.31), очевидно, чётно. Повышающий оператор ↠= √12 (Q − ∂Q)меняет чётность состояния, т. е. превращает чётную функцию в нечётнуюи наоборот. Таким образом, чётность собственных состояний осцилляторачередуется, т. е. соответствует чётности номера уровня:ˆ n = (−1)n ψn .Iψ12.5.2. Фурье-симметрия и переход от координатного представленияк импульсному и обратно**Гамильтониан для гармонического осциллятора в обезразмеренных переменных Ĥ = 12 h̄ω(Q̂2 + P̂ 2 ) выглядит симметрично относительно заменыкоординаты на ∓импульс, а импульса на ±координату.Это соответствует переходу от координатного представления, к импульсному.
Соответствующий унитарный оператор F̂ задаёт преобразование Фурье, его удобно представить как интегральный оператор:1√ e−iP Q ψ(Q) dQ.(F̂ ψ)(P ) =2πRПросто поменять местами P̂ и Q̂ не позволяют канонические коммутационные соотношения (12.6), но мы можем, как и в классической механике,12.5. С ИММЕТРИИГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА369сделать каноническую замену Q̂ → −P̂ , P̂ → Q̂.
Знаки мы выбрали так,чтобы они согласовывались с прямым преобразованием Фурье3 :Q̂ → −P̂ = F̂ Q̂F̂ −1 ,P̂ → Q̂ = F̂ P̂ F̂â → F̂ âF̂ −1 =−1(12.33),(12.34)−P̂ + iQ̂√= iâ,2↠→ F̂ ↠F̂ −1 =(12.35)−P̂ − iQ̂√= −i↠.2(12.36)Гамильтониан в координатном и в импульсном представлениях задаётся одним и тем же дифференциальным оператором∂2h̄ωĤд. = F̂ Ĥд.
F̂ −1 =− 2 + Q2 .2∂QТо есть F̂ Ĥд. = Ĥд. F̂ . И этой симметрии соответствует некоторый законсохранения.Закон сохранения, следующий из Фурье-симметрии, задаёт, что еслив начальный момент времени волновая функция гармонического осциллятора является собственной, для оператора F̂ , с собственным числом f , тои в последующие моменты времени волновая функция остаётся собственной функцией для F̂ с тем же собственным числом. Другая формулировка —ψ(t)|F̂ |ψ(t) не зависит от времени.Как известно, 4-кратное преобразование Фурье возвращает нас к исходной функции, т. е. F̂ 4 = 1̂. Записав это для собственной функции, получаем:F̂ ψ = f ψ,ψ = 1̂ψ = F̂ 4 ψ = f 4 ψ⇒f 4 = 1,f ∈ {1, −i, −1, i}.Двухкратное преобразование Фурье даёт исходную функцию, с обратнымˆˆ Аналогичзнаком аргумента: (F̂ 2 ψ)(Q) = ψ(−Q) = (Iψ)(Q),т.
е. F̂ 2 = I.ное соотношение для собственных чисел позволяет заключить, что чётнымфункциям отвечает f = ±1, а нечётным — f = ±i. Таким образом, Фурьесимметрия включает в себя зеркальную симметрию, но позволяет разбитьчётные и нечётные функции ещё на два класса.3 Рекомендуемсамостоятельно проверить формулы (12.33)–(12.36).370ГЛАВА 12Уравнение на собственные функции и собственные числа выглядитследующим образом:1√ e−iP Q ψ(Q) dQ.f ψ(P ) =2πRЗдесь ψ(Q) и ψ(P ) — одна и та же функция, в которую подставлены разныеаргументы.Поскольку спектр гармонического осциллятора не вырожден, найденные нами собственные функции ψn (Q) являются также собственными дляоператора F̂ , и нам надо только установить, какие собственные числа имсоответствуют.
Для основного состояния ψ0 (12.31) f = 1, поскольку преобразование Фурье совпадает с самой функцией ψ0 :Q211 − 1 (Q2 +2iP Q)1 −iP Q e− 2√ e√√√dQ=e 2dQ =(F̂ ψ0 )(P ) =44π2π2π πRR11 − ((Q+iP )2 +P 2 )2√√ e=dQ =2π 4 πR(Q+iP )2P2 P2e− 2e− 2e− 2√√= ψ0 (P ).= √dQ=44ππ2πRПосмотрим теперь, как меняется f под действием повышающего оператора ↠. Выкладки эти проведём двумя способами:1. Проделаем выкладки, используя тождество (12.36) для операторов â†и F̂ . Тождество F̂ ↠F̂ −1 = −i↠можно переписать как F̂ ↠= −i↠F̂ ,используя это, получаем:F̂ ↠ψ = −i↠F̂ ψ = −i↠f ψ = (−if )↠ψ.2.
Проделаем те же выкладки, представляя векторы состояния как функции4 . Заменяя умножение на Q дифференцированием по P комплекс∂ной экспоненты и интегрируя по частям член, содержащий ∂Q, полу4 По существу, это вывод тождества (12.36), т. е. частичное решение задачи, предложеннойв сноске 3. Впрочем, внимательный читатель легко превратит это частичное решение в полное.12.5. С ИММЕТРИИчаем:371ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА∂1 −iP Q 1√ e√ψ(Q) dQ =(F̂ â ψ)(P ) =Q−∂Q2π2R11∂√ e−iP Q ψ(Q) dQ =− iP= √i2 ∂P2πR= (−i↠F̂ ψ)(P ) = (−i↠f ψ)(P ) = (−if )(↠ψ)(P ).†Таким образом, под действием повышающего оператора f умножилосьна −i, и мы получаем для собственных состояний осциллятораF̂ ψn = (−i)n ψn .Данная формула выявляет связь преобразований Фурье и временнойэволюции гармонического осциллятора:F̂ ψn = (−i)n ψn = e−i 2 n ψn = e−i 2ππN̂†ψn = e−i 2 â â ψn = e− h̄ (Ĥ−πih̄ωπ2 ) 2ωψn .Поскольку это тождество выполняется для всех базисных векторов ψn , мыможем записать преобразование Фурье как оператор эволюции гармоничесπкого осциллятора на время 2ω, т.
е. 14 часть периода T0 = 2πω , при условии,что в качестве нулевого уровня энергии принят уровень основного состояния E0 = h̄ω2 :F̂ = e−i 2π↠â= e− h̄ (Ĥ−E0 )iT04πiπ1+iπ .= ei 2 e− h̄ Ĥ 2ω = √ Û 2ω2Сдвиг нулевого уровня энергии не несёт физического смысла и приводитωлишь к устранению фазового множителя e−i 2 t . Таким образом, гармонический осциллятор каждые четверть периода подвергает своё состояниепреобразованию Фурье с точность до фазового множителя (который устраняется, если отсчитывать энергию от E0 ).12.5.3. Вращение фазовой плоскостиОписанная выше Фурье-симметрия гармонического осциллятора соответствует повороту фазовой плоскости по часовой стрелке на угол π2 .Рис.
12.1 наводит на мысль, что гармонический осциллятор должендопускать более широкую симметрию, относительно поворотов фазовой372ГЛАВА 12плоскости на произвольный угол α. И этой симметрии также должен соответствовать какой-то закон сохранения, позволяющий ещё более детально,чем Фурье-симметрия, различать между собой уровни энергии осциллятора.Однако в данном случае нас ждёт разочарование: эта симметрия описывается оператором эволюции Û αω , а соответствующий закон сохранения — закон сохранения энергии. Это легко увидеть, рассмотрев гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга, чему и посвящён следующий раздел.12.6.
Представление Гайзенберга для осциллятора12.6.1. Интегрирование уравнения ГайзенбергаРассмотрим теперь, как выглядит временная эволюция гармонического осциллятора в представлении Гайзенберга. Для оператора â, согласно (5.20), мы можем написать полную производную по времениdâi= [Ĥ, â] = −iωâ.(12.37)dth̄Для представления Гайзенберга полная производная по времени описываетпросто, как оператор изменяется со временем и мы получаем дифференциальное уравнение, и начальные условия (шрёдингеровские операторы совпадают с гайзенберговскими в нулевой момент времени) dâгdt = −iωâг ,⇒ âг (t) = e−iωt âш .(12.38)âг (0) = âшПолученный результат выглядит точно так же, как классическая эволюция гармонического осциллятора, изображённая на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
