М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 86
Описание файла
PDF-файл из архива "М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 86 страницы из PDF
Геометрия чистых состояний кубита**Состояния квантовой системы определены с точностью до произвольного ненулевого множителя, так что, хотя пространство спиновых состояний (или состояний любой другой двухуровневой системы) — это двумерное комплексное пространство C2 , для нумерации физически различимыхсостояний нам не надо задавать два комплексных числа, а достаточно их отношения. Таким образом, любое спиновое состояние, кроме единственногосостояния | ↓, может быть представлено в виде|χ = | ↑ + λ| ↓,λ ∈ C.Состояние | ↓ соответствует пределу λ → ∞.3 Кватернионы были придуманы У. Р. Гамильтоном 16 октября 1843 года во время прогулкис женой по берегу Королевского канала в Дублине.
Уравнения i2 = j2 = k2 = ijk = −1были написаны им на камне Брукхемского моста.472ГЛАВА 15Рис. 15.2. Проекция комплексной плоскости на сферу РиманаТо есть топологически пространство чистых состояний для спина 12получается из комплексной плоскости C добавлением бесконечной точки,и мы получаем сферу Римана C̄.zlРис.
15.3. Сечение проекции комплексной плоскости (ось λ) на сферу Римана изюжного полюса.Оказывается, что в данном случае сфера Римана имеет также хорошуюфизическую интерпретацию.Пусть точка λ = x + iy откладывается на плоскость (x, y), какна комплексной плоскости. Как принято в теории функций комплексногопеременного, спроецируем точку λ с плоскости (x, y) на единичную сферу,с центром в начале координат.
Проекцию будем проводить из южного полюса сферы, т. е. из точки с координатами (0, 0, −1). Такая проекция дастнам взаимно-однозначное соответствие между точками сферы (кроме юж-15.3. С ПИН12473ного полюса) и точками комплексной (экваториальной) плоскости4 C (безбесконечной точки). Бесконечная точка на C̄ соответствует южному полюсусферы Римана.При этом, как можно легко убедиться, точка на сфере в точности соответствует вектору поляризации P = σ для спина в состоянии χ:Im λ1 − |λ|2,σ=.z1 + |λ|21 + |λ|2При стремлении λ к бесконечности P стремится к направлению вдольоси z.Если мы будем измерять проекцию спина на вектор P , то мы с вероятностью 1 получим, что спин направлен вдоль P , и его проекция на P равна+ 12 . Таким образом, спин в некотором смысле направлен вдоль P .σx =Re λ,1 + |λ|2σy =15.3.4.
Геометрия смешанных состояний кубита**Смешанное состояние спина 12 (или для любой другой двухуровневойсистемы) задаётся матрицей плотности 2 × 2. Матрица плотности должнабыть эрмитовой, положительно определённой (вероятности положительны)и иметь единичный след (суммарная вероятность равна 1).Как мы уже упоминали ранее (15.3.1 «Матрицы Паули»), любая эрмитова матрица 2 × 2 разлагается по базису из матриц Паули и единичнойматрицы с вещественными коэффициентами. При этом след матриц Паулиравен нулю, так что мы можем написатьE + (P , σ )ρ=,P = (Px , Py , Pz ) ∈ R3 , |P | 1.2Коэффициент 12 перед единичной матрицей фиксирован условием tr ρ = 1.Любой вектор является собственным для единичной матрицы с собственным числом 1.
Таким образом, собственные векторы матрицы ρ совпадаютс собственными векторами матрицы (P , σ ). Поскольку собственные числаматрицы (P , σ ) равны ±|P |, то собственные числа матрицы ρ имеют видp± =1 ± |P | 0.2Условие положительности вероятности требует, чтобы |P | 1.4 В нашем случае комплексная плоскость рассекает сферу Римана по экватору, но в литературе иногда сфера Римана касается плоскости одним из полюсов.
Различие между такимипроекциями — масштабный фактор 2, т. к. в последнем случае плоскость в 2 раза дальше отточки проекции.474ГЛАВА 15Мы получили, что спиновая матрица плотности параметризуется вектором, лежащим внутри единичной сферы. При этом поверхность сферысоответствует обращению в 1 одного из собственных чисел (другое приэтом обращается в нуль), т. е.
поверхности сферы соответствуют чистыесостояния, как в и предыдущем разделе (15.3.3 «Геометрия чистых состояний кубита 12 »).Для того чтобы определить физический смысл вектора P , вычислимсреднее σ по состоянию ρ:σα = tr(σα ρ) =12tr(σα + σα Pβ σβ ) =12tr(δαβ EPβ ) = Pα12tr E = Pα .Мы использовали формулу (15.14) умножения σ-матриц и тот факт, чтослед от любой σ-матрицы равен 0.Таким образом, вектор P имеет смысл среднего вектора поляризациипо состоянию ρP = σ = tr(ρσ ).Для чистых состояний (точек на поверхности сферы) это полностьюсоответствует результатам, полученным ранее.15.4. Спин 1Всё, что было сказано в начале раздела 15.3 «Спин 12 » о координатных и спиновых волновых функциях, применимо и к спину 1, и к любомудругому спину до тех пор, пока не используется явно величина спина.Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена какфункция ψ(r, σ) от координат r ∈ R3 и спиновой переменной (проекцияспина на ось z) σ ∈ {+1, 0, −1}:⎞⎛ψ(r, +1)ψ(r, ·) = ⎝ ψ(r, 0) ⎠ = ψ(r).ψ(r, −1)Теперь спиновая волновая функция — столбец из трёх строк, а спиновыеоператоры — матрицы 3 × 3.В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственныевекторы операторов ĵz , ĵ 2 »), мы можем выписать операторы компонент дляспина 1⎛ √⎛⎞⎞0 0 00 2 √0√ŝ+ = ⎝ 0 02 ⎠, ŝ− = ŝ+ † = ⎝ 2 √0 0 ⎠,0 0 020015.4.
С ПИН 1⎛⎛⎞√⎞⎛20−i0+1 0 02√√⎜⎜⎟⎟ŝx = ⎝⎠, ŝy = ⎝ i 22 √0 −i 22 ⎠, ŝz = ⎝ 0 0 0 ⎠,0 0 −10 i 220⎛⎞⎛⎞Ax −iAy√√−+Az00+Az A22⎜ A +iA⎜ A+Ax −iAy ⎟A− ⎟√0(A, s) = ⎝ x√2 y⎠ = ⎝ √2 0 √2 ⎠.2Ax +iAy√+ −Az√0 A0−Az22Собственные числа проекции спина на любую ось ŝn = (n, s) —+1, 0, −1, так что вводить какие-либо вспомогательные матрицы наподобие σ-матриц Паули нет причин5 .Базисные состояния с определённым значением σ (проекции на ось z)принято обозначать по-разному:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞001|1, +1 = ⎝ 0 ⎠, |1, 0 = ⎝ 1 ⎠, |1, −1 = ⎝ 0 ⎠.100√202 √2202 √20 22 00√⎞47515.4.1. Вращения для спина 1 и для векторовОператор поворота для спина 1, как и для любого другого момента,задаётся формулойRn (ϕ) = eiϕŝn , ŝn = (n, s), |n| = 1.Поскольку собственные числа ŝn равны +1, 0, −1, их третья степень, каки для σ-матриц, даёт исходную матрицу. Таким образом,ŝ3n = ŝnŝ2n+1= ŝn .n(15.16)Аналогичные соотношения мы получали ранее, для генераторов матрицповорота в трёхмерном пространстве (15.2).
В этом состоит спецификаспина 1.Разлагая экспоненту в ряд, получаем:∞∞∞(iϕŝn )n(iϕ)2n+1(iϕ)2nRn (ϕ) = eiϕŝn == E + ŝn+ŝ2n,n!(2n + 1)!(2n)!n=0n=0n=1 ⇒∀n = 0, 1, 2, . . . ,ŝ2n+2= ŝ2n = ŝ0n = E,ni sin ϕRn (ϕ) = E + ŝn i sin ϕ +ŝ2n(cos ϕ−1)(cos ϕ − 1),5 σ-матрицы — исключительная особенность двумерия, и для спинов, отличных от 1 их2пытаются писать по принципу σ = 2ŝ только студенты, начинающие сдавать задания поквантовой механике.
К моменту экзамена это обычно проходит.476ГЛАВА 15⎛⎜ŝn = ⎝+nzn+√20n−√20n+√20n−√2−nz⎞⎛⎟⎠,⎜ŝ2n = ⎜⎝1+n2z nz n−n− 2√222nz n+2 −n√z n−√1−nz22n+ 2 −nz n+ 1+n2z√222⎞⎟⎟.⎠Выше (см. 15.1.1 «Генераторы вращений (л)») мы уже получали трёхмерное неприводимое представление группы вращений с помощью обычных ортогональных матриц поворотов. Вернулись ли мы к тому же самомупредставлению в иной форме, или получили что-то новое?Если мы следующим образом свяжем базис состояний {|1, m}+1m=−1с базисом единичных векторов вдоль декартовых осей координат {eα }3α=1 ,то матрицы jα , генерирующие ортогональные матрицы поворотов перейдут,в матрицы компонент ŝα спина 1:|1, +1 =ex =e+−ex − iey√= −√ ,22−|1, +1 + |1, −1√,2ey =|1, 0 = ez ,|1, −1 =i|1, +1 + i|1, −1√,2e−ex − iey√= √ .22(15.17)ez = |1, 0.
(15.18)Таким образом, представление группы вращений для спина 1 с точностью до комплексной замены базиса совпадает с привычным нам изстереометрии и классической механики векторным представлением группы вращений, когда повороты отождествляются с матрицами собственныхвращений, действующими на векторы из R3 .15.4.2. Спин и поляризация фотонаФотон — квант электромагнитного поля. Как мы обсуждали в разделе 12.11 «Квантованные поля (ф*)», при квантовании электромагнитногополя в ящике с периодическими граничными условиями каждой моде колебаний, характеризующейся волновым числом k и поляризацией σ, ставится в соответствие гармонический осциллятор с частотой, равной частотемоды. Число заполнения данного осциллятора рассматривается как числофотонов с данными k и σ.Каков спин фотона? Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, как переменная, характеризующая фотон, но не связанная с его движением (т.
е. поляризация), преобразуются при вращениях.Поляризация σ электромагнитной волны описывается с помощью вектора поляризации eσ . Как мы установили выше (15.17), (15.18), вектор15.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *477преобразуется по представлению спина 1. То есть фотон — векторная частица — частица со спином 1.Однако у частицы со спином 1 должно быть 3 поляризации, а у фотона — только 2. Какая поляризация пропала?Рассмотрим одну конкретную моду колебаний.
Пусть волновой вектор k (и импульс h̄k) направлен по оси z. В соответствии с уравнениями (15.18) спиновые состояния соответствуют следующим поляризациям:−e −iexy√• |1, +1 =— спин направлен вдоль импульса — правая кру2говая поляризация (вращение поля связано с направлением k правымвинтом);e −ie• |1, −1 = x√2 y — спин направлен против импульса — левая круговаяполяризация (вращение поля связано с направлением k левым винтом);• |1, 0 = ez — проекция спина на импульс равна нулю — продольнаяполяризация (поле колеблется вдоль импульса).Однако электромагнитная волна — поперечная волна и продольная поляризация для неё отсутствует. Если мы задаём поляризацию электромагнитной волны направлением вектора E, то продольная поляризация отсутствует с самого начала, а если направлением векторного потенциала A,то вклад в поле продольной части A в точности компенсируется вкладомскалярного потенциала ϕ.
Так и для квантованного электромагнитного поля (в зависимости от используемого формализма): продольная поляризациялибо отсутствует с самого начала, либо нефизична (не даёт вклада).Такая ситуация является типичной для любых безмассовых (движущихся со скоростью света) частиц: вне зависимости от спина имеется двеполяризации: по часовой стрелке (проекция спина на импульс +s) и противчасовой стрелки (проекция спина на импульс −s). Это связано с тем, чтомы не можем выбрать для такой частицы систему покоя, в любой системеотсчёта есть выделенное направление (вдоль импульса), и симметрия оказывается ниже, чем стандартная SU(2). Иногда для таких частиц избегаютприменять слово спин и говорят спиральность.15.5.
Сложение моментов*Пусть система состоит из двух подсистем, для каждой из которых7 7определены операторы момента импульса j1 и j2 . Пусть также для каждойиз подсистем определён квадрат момента импульса (j1 (j1 + 1) и j2 (j2 + 1)478ГЛАВА 15соответственно). Для системы мы можем ввести базис, состоящий из состояний вида|m1 |m2 = |j1 , m1 |j1 , m2 .(В обозначении |m1 |m2 мы опустили фиксированные квантовые числа j1и j2 .)Таким образом, мы имеем базис собственных векторов для операторовĵ12 , ĵ1z , ĵ22 , ĵ2z . Наша задача — построить базис собственных векторов для77операторов суммарного момента Jˆ2 = (j1 + j2 )2 и Jˆz = ĵ1z + ĵ2z .(*) С точки зрения теории представлений, мы имеем произведениедвух неприводимых представлений группы SU(2), отвечающих моментам j1 и j2 , и нам надо разложить произведение в сумму неприводимыхпредставлений.Проще всего с оператором Jˆz .