Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику

М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 86

PDF-файл М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 86 Квантовые вычисления (53188): Книга - 7 семестрМ.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику: Квантовые вычисления - PDF, страница 86 (53188) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 86 страницы из PDF

Геометрия чистых состояний кубита**Состояния квантовой системы определены с точностью до произвольного ненулевого множителя, так что, хотя пространство спиновых состояний (или состояний любой другой двухуровневой системы) — это двумерное комплексное пространство C2 , для нумерации физически различимыхсостояний нам не надо задавать два комплексных числа, а достаточно их отношения. Таким образом, любое спиновое состояние, кроме единственногосостояния | ↓, может быть представлено в виде|χ = | ↑ + λ| ↓,λ ∈ C.Состояние | ↓ соответствует пределу λ → ∞.3 Кватернионы были придуманы У. Р. Гамильтоном 16 октября 1843 года во время прогулкис женой по берегу Королевского канала в Дублине.

Уравнения i2 = j2 = k2 = ijk = −1были написаны им на камне Брукхемского моста.472ГЛАВА 15Рис. 15.2. Проекция комплексной плоскости на сферу РиманаТо есть топологически пространство чистых состояний для спина 12получается из комплексной плоскости C добавлением бесконечной точки,и мы получаем сферу Римана C̄.zlРис.

15.3. Сечение проекции комплексной плоскости (ось λ) на сферу Римана изюжного полюса.Оказывается, что в данном случае сфера Римана имеет также хорошуюфизическую интерпретацию.Пусть точка λ = x + iy откладывается на плоскость (x, y), какна комплексной плоскости. Как принято в теории функций комплексногопеременного, спроецируем точку λ с плоскости (x, y) на единичную сферу,с центром в начале координат.

Проекцию будем проводить из южного полюса сферы, т. е. из точки с координатами (0, 0, −1). Такая проекция дастнам взаимно-однозначное соответствие между точками сферы (кроме юж-15.3. С ПИН12473ного полюса) и точками комплексной (экваториальной) плоскости4 C (безбесконечной точки). Бесконечная точка на C̄ соответствует южному полюсусферы Римана.При этом, как можно легко убедиться, точка на сфере в точности соответствует вектору поляризации P = σ для спина в состоянии χ:Im λ1 − |λ|2,σ=.z1 + |λ|21 + |λ|2При стремлении λ к бесконечности P стремится к направлению вдольоси z.Если мы будем измерять проекцию спина на вектор P , то мы с вероятностью 1 получим, что спин направлен вдоль P , и его проекция на P равна+ 12 . Таким образом, спин в некотором смысле направлен вдоль P .σx =Re λ,1 + |λ|2σy =15.3.4.

Геометрия смешанных состояний кубита**Смешанное состояние спина 12 (или для любой другой двухуровневойсистемы) задаётся матрицей плотности 2 × 2. Матрица плотности должнабыть эрмитовой, положительно определённой (вероятности положительны)и иметь единичный след (суммарная вероятность равна 1).Как мы уже упоминали ранее (15.3.1 «Матрицы Паули»), любая эрмитова матрица 2 × 2 разлагается по базису из матриц Паули и единичнойматрицы с вещественными коэффициентами. При этом след матриц Паулиравен нулю, так что мы можем написатьE + (P , σ )ρ=,P = (Px , Py , Pz ) ∈ R3 , |P | 1.2Коэффициент 12 перед единичной матрицей фиксирован условием tr ρ = 1.Любой вектор является собственным для единичной матрицы с собственным числом 1.

Таким образом, собственные векторы матрицы ρ совпадаютс собственными векторами матрицы (P , σ ). Поскольку собственные числаматрицы (P , σ ) равны ±|P |, то собственные числа матрицы ρ имеют видp± =1 ± |P | 0.2Условие положительности вероятности требует, чтобы |P | 1.4 В нашем случае комплексная плоскость рассекает сферу Римана по экватору, но в литературе иногда сфера Римана касается плоскости одним из полюсов.

Различие между такимипроекциями — масштабный фактор 2, т. к. в последнем случае плоскость в 2 раза дальше отточки проекции.474ГЛАВА 15Мы получили, что спиновая матрица плотности параметризуется вектором, лежащим внутри единичной сферы. При этом поверхность сферысоответствует обращению в 1 одного из собственных чисел (другое приэтом обращается в нуль), т. е.

поверхности сферы соответствуют чистыесостояния, как в и предыдущем разделе (15.3.3 «Геометрия чистых состояний кубита 12 »).Для того чтобы определить физический смысл вектора P , вычислимсреднее σ по состоянию ρ:σα = tr(σα ρ) =12tr(σα + σα Pβ σβ ) =12tr(δαβ EPβ ) = Pα12tr E = Pα .Мы использовали формулу (15.14) умножения σ-матриц и тот факт, чтослед от любой σ-матрицы равен 0.Таким образом, вектор P имеет смысл среднего вектора поляризациипо состоянию ρP = σ = tr(ρσ ).Для чистых состояний (точек на поверхности сферы) это полностьюсоответствует результатам, полученным ранее.15.4. Спин 1Всё, что было сказано в начале раздела 15.3 «Спин 12 » о координатных и спиновых волновых функциях, применимо и к спину 1, и к любомудругому спину до тех пор, пока не используется явно величина спина.Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена какфункция ψ(r, σ) от координат r ∈ R3 и спиновой переменной (проекцияспина на ось z) σ ∈ {+1, 0, −1}:⎞⎛ψ(r, +1)ψ(r, ·) = ⎝ ψ(r, 0) ⎠ = ψ(r).ψ(r, −1)Теперь спиновая волновая функция — столбец из трёх строк, а спиновыеоператоры — матрицы 3 × 3.В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственныевекторы операторов ĵz , ĵ 2 »), мы можем выписать операторы компонент дляспина 1⎛ √⎛⎞⎞0 0 00 2 √0√ŝ+ = ⎝ 0 02 ⎠, ŝ− = ŝ+ † = ⎝ 2 √0 0 ⎠,0 0 020015.4.

С ПИН 1⎛⎛⎞√⎞⎛20−i0+1 0 02√√⎜⎜⎟⎟ŝx = ⎝⎠, ŝy = ⎝ i 22 √0 −i 22 ⎠, ŝz = ⎝ 0 0 0 ⎠,0 0 −10 i 220⎛⎞⎛⎞Ax −iAy√√−+Az00+Az A22⎜ A +iA⎜ A+Ax −iAy ⎟A− ⎟√0(A, s) = ⎝ x√2 y⎠ = ⎝ √2 0 √2 ⎠.2Ax +iAy√+ −Az√0 A0−Az22Собственные числа проекции спина на любую ось ŝn = (n, s) —+1, 0, −1, так что вводить какие-либо вспомогательные матрицы наподобие σ-матриц Паули нет причин5 .Базисные состояния с определённым значением σ (проекции на ось z)принято обозначать по-разному:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞001|1, +1 = ⎝ 0 ⎠, |1, 0 = ⎝ 1 ⎠, |1, −1 = ⎝ 0 ⎠.100√202 √2202 √20 22 00√⎞47515.4.1. Вращения для спина 1 и для векторовОператор поворота для спина 1, как и для любого другого момента,задаётся формулойRn (ϕ) = eiϕŝn , ŝn = (n, s), |n| = 1.Поскольку собственные числа ŝn равны +1, 0, −1, их третья степень, каки для σ-матриц, даёт исходную матрицу. Таким образом,ŝ3n = ŝnŝ2n+1= ŝn .n(15.16)Аналогичные соотношения мы получали ранее, для генераторов матрицповорота в трёхмерном пространстве (15.2).

В этом состоит спецификаспина 1.Разлагая экспоненту в ряд, получаем:∞∞∞(iϕŝn )n(iϕ)2n+1(iϕ)2nRn (ϕ) = eiϕŝn == E + ŝn+ŝ2n,n!(2n + 1)!(2n)!n=0n=0n=1 ⇒∀n = 0, 1, 2, . . . ,ŝ2n+2= ŝ2n = ŝ0n = E,ni sin ϕRn (ϕ) = E + ŝn i sin ϕ +ŝ2n(cos ϕ−1)(cos ϕ − 1),5 σ-матрицы — исключительная особенность двумерия, и для спинов, отличных от 1 их2пытаются писать по принципу σ = 2ŝ только студенты, начинающие сдавать задания поквантовой механике.

К моменту экзамена это обычно проходит.476ГЛАВА 15⎛⎜ŝn = ⎝+nzn+√20n−√20n+√20n−√2−nz⎞⎛⎟⎠,⎜ŝ2n = ⎜⎝1+n2z nz n−n− 2√222nz n+2 −n√z n−√1−nz22n+ 2 −nz n+ 1+n2z√222⎞⎟⎟.⎠Выше (см. 15.1.1 «Генераторы вращений (л)») мы уже получали трёхмерное неприводимое представление группы вращений с помощью обычных ортогональных матриц поворотов. Вернулись ли мы к тому же самомупредставлению в иной форме, или получили что-то новое?Если мы следующим образом свяжем базис состояний {|1, m}+1m=−1с базисом единичных векторов вдоль декартовых осей координат {eα }3α=1 ,то матрицы jα , генерирующие ортогональные матрицы поворотов перейдут,в матрицы компонент ŝα спина 1:|1, +1 =ex =e+−ex − iey√= −√ ,22−|1, +1 + |1, −1√,2ey =|1, 0 = ez ,|1, −1 =i|1, +1 + i|1, −1√,2e−ex − iey√= √ .22(15.17)ez = |1, 0.

(15.18)Таким образом, представление группы вращений для спина 1 с точностью до комплексной замены базиса совпадает с привычным нам изстереометрии и классической механики векторным представлением группы вращений, когда повороты отождествляются с матрицами собственныхвращений, действующими на векторы из R3 .15.4.2. Спин и поляризация фотонаФотон — квант электромагнитного поля. Как мы обсуждали в разделе 12.11 «Квантованные поля (ф*)», при квантовании электромагнитногополя в ящике с периодическими граничными условиями каждой моде колебаний, характеризующейся волновым числом k и поляризацией σ, ставится в соответствие гармонический осциллятор с частотой, равной частотемоды. Число заполнения данного осциллятора рассматривается как числофотонов с данными k и σ.Каков спин фотона? Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, как переменная, характеризующая фотон, но не связанная с его движением (т.

е. поляризация), преобразуются при вращениях.Поляризация σ электромагнитной волны описывается с помощью вектора поляризации eσ . Как мы установили выше (15.17), (15.18), вектор15.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *477преобразуется по представлению спина 1. То есть фотон — векторная частица — частица со спином 1.Однако у частицы со спином 1 должно быть 3 поляризации, а у фотона — только 2. Какая поляризация пропала?Рассмотрим одну конкретную моду колебаний.

Пусть волновой вектор k (и импульс h̄k) направлен по оси z. В соответствии с уравнениями (15.18) спиновые состояния соответствуют следующим поляризациям:−e −iexy√• |1, +1 =— спин направлен вдоль импульса — правая кру2говая поляризация (вращение поля связано с направлением k правымвинтом);e −ie• |1, −1 = x√2 y — спин направлен против импульса — левая круговаяполяризация (вращение поля связано с направлением k левым винтом);• |1, 0 = ez — проекция спина на импульс равна нулю — продольнаяполяризация (поле колеблется вдоль импульса).Однако электромагнитная волна — поперечная волна и продольная поляризация для неё отсутствует. Если мы задаём поляризацию электромагнитной волны направлением вектора E, то продольная поляризация отсутствует с самого начала, а если направлением векторного потенциала A,то вклад в поле продольной части A в точности компенсируется вкладомскалярного потенциала ϕ.

Так и для квантованного электромагнитного поля (в зависимости от используемого формализма): продольная поляризациялибо отсутствует с самого начала, либо нефизична (не даёт вклада).Такая ситуация является типичной для любых безмассовых (движущихся со скоростью света) частиц: вне зависимости от спина имеется двеполяризации: по часовой стрелке (проекция спина на импульс +s) и противчасовой стрелки (проекция спина на импульс −s). Это связано с тем, чтомы не можем выбрать для такой частицы систему покоя, в любой системеотсчёта есть выделенное направление (вдоль импульса), и симметрия оказывается ниже, чем стандартная SU(2). Иногда для таких частиц избегаютприменять слово спин и говорят спиральность.15.5.

Сложение моментов*Пусть система состоит из двух подсистем, для каждой из которых7 7определены операторы момента импульса j1 и j2 . Пусть также для каждойиз подсистем определён квадрат момента импульса (j1 (j1 + 1) и j2 (j2 + 1)478ГЛАВА 15соответственно). Для системы мы можем ввести базис, состоящий из состояний вида|m1 |m2 = |j1 , m1 |j1 , m2 .(В обозначении |m1 |m2 мы опустили фиксированные квантовые числа j1и j2 .)Таким образом, мы имеем базис собственных векторов для операторовĵ12 , ĵ1z , ĵ22 , ĵ2z . Наша задача — построить базис собственных векторов для77операторов суммарного момента Jˆ2 = (j1 + j2 )2 и Jˆz = ĵ1z + ĵ2z .(*) С точки зрения теории представлений, мы имеем произведениедвух неприводимых представлений группы SU(2), отвечающих моментам j1 и j2 , и нам надо разложить произведение в сумму неприводимыхпредставлений.Проще всего с оператором Jˆz .

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее