М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 87

Базисные состояния |m1 |m2 для негоуже является собственными:Jˆz |m1 |m2 = (ĵ1z + ĵ2z )|m1 |m2 = (m1 + m2 ) |m1 |m2 = M |m1 |m2 . MЕсли отложить по осям координат квантовые числа m1 и m2 , то новоеквантовое число M надо будет откладывать по оси, направленной по диагонали (см. рис. 15.4). При этом, M пробегает с шагом 1 все значения от−(j1 + j2 ) до j1 + j2 . Кратность различных значений M (число точек, натонких линиях поперёк оси M на рис. 15.4) меняется от 1 (при M = ±(j1 ++ j2 )) до 2j1 + 1, где j1 — наименьший из двух моментов.Начнём с состояния с максимальным значением проекции момента.Такое состояние только одно: |j1 |j2 .

Под действием оператора Jˆ+ = ĵ1+ ++ ĵ2+ оно обнуляетсяJˆ+ |j1 |j2 = (ĵ1+ + ĵ2+ )|j1 |j2 = (ĵ1+ |j1 ) |j2 + |j1 (ĵ2+ |j2 ) = 0, 00значит в этом состоянии проекция момента достигает максимальной величины и мы можем записать первый вектор нового базиса:| j1 + j2 , j1 + j2 = |j1 |j2 . JMДействуя 2(j1 + j2 ) раз на состояния |j1 + j2 , j1 + j2 понижающимоператором Jˆ− = ĵ1− + ĵ2− , мы можем найти остальные состояния, для15.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *479M = m1 + m2m1j1 + j221j110 1-4 -3 -2 -1-1-2 -1-3-2-4-5-623456j223456m2–(j1 + j2)Рис.

15.4. Связь M с m1 и m2 .которых J = j1 + j2 , а M меняется от −J до +J с шагом 1. ((*) Темсамым мы выделяем первое неприводимое представление, отвечающее моменту j1 + j2 .)В частности однократное применение понижающего оператора даёт:Jˆ− |j1 + j2 , j1 + j2 =2(j1 + j2 )|j1 + j2 , j1 + j2 − 1 == (ĵ1− + ĵ2− )|j1 |j2 = (ĵ1− |j1 )|j2 + |j1 (ĵ2− |j2 ) == 2j1 |j1 − 1|j2 + 2j2 |j1 |j2 − 1,√√j1 |j1 − 1|j2 + j2 |j1 |j2 − 1√.| j1 + j2 , j1 + j2 − 1 = j1 + j2JMУ нас имеется два линейно независимых состояния, для которых M == j1 + j2 − 1 (см.

рис. 15.4). Если из тех же состояний составить комбинацию, ортогональную состоянию |j1 + j2 , j1 + j2 − 1, то мы получим√√j2 |j1 − 1|j2 − j1 |j1 |j2 − 1√.| j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1 = j1 + j2JM480ГЛАВА 15То, что в данном состоянии J = M , проверяется с помощью повышающегооператора:Jˆ+ ( j2 |j1 −1|j2 − j1 |j1 |j2 −1) = 2j1 j2 |j1 |j2 − 2j1 j2 |j1 |j2 = 0. j1+ | . . .

j2+ | . . . Из состояния |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1 с помощью понижающего оператораJˆ− мы получаем остальные состояния с J = j1 + j2 − 1 и другими M .Таким образом, мы из соображений ортогональности находим все состояния вида |J, J при J = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2 |. С помощьюоператора Jˆ− мы получаем все состояния |J, M , для которых M < J.Общее число состояний нового базиса такое же, как у старого:j1 +j2(2J + 1) = (j1 + j2 − |j1 − j2 | + 1) (j1 + j2 + |j1 − j2 | + 1) =J=|j1 −j2 |число слагаемыхсреднее слагаемое= (2j1 + 1)(2j2 + 1).(*) Мы разлагаем произведение неприводимых представлений группывращений, отвечающих моментам j1 и j2 , в сумму неприводимых представлений, отвечающих моментам j1 + j2 , j1 + j2 − 1, .

. . , |j1 − j2 |.Коэффициенты разложения векторов нового базиса по старомуm1 , m2 |J, M называются коэффициентами векторного сложения или коэффициентамиКлебша – Гордана, они образуют унитарную матрицу, т. к. описывают ортонормированную замену координат. Как и всякие скалярные произведенияортонормированных волновых функций, коэффициенты Клебша – Горданазадают амплитуды перехода между соответствующими состояниями.15.5.1. Сложение спинов12+12Проиллюстрируем процедуру сложения моментов импульса на простейшем случае двух спинов 12 .В соответствии с общей схемой, начнём с состояния с максимальнойпроекцией момента:|1, 1 = |+|+,√Ŝ− |1, 1 = 2|1, 0 = (ŝ1− + ŝ2− )|+|+ == (ŝ1− |+) |+ + |+ (ŝ2− |+) = |−|+ + |+|−, |−|−15.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *481|−|+ + |+|−√,2√|−|+ + |+|−√Ŝ− |1, 0 = 2|1, −1 = (ŝ1− + ŝ2− )=2|−(ŝ2− |+) + (ŝ1− |+)|−√=2|1, −1 = |−|−.|1, 0 =Состояние |0, 0 получаем как линейную комбинацию состояний |+|−и |−|+ (состояния с нулевой проекцией спина), ортогональную состоянию |1, 0:|−|+ − |+|−√|0, 0 =.2Все состояния с суммарным спином 1 оказались чётными, относительно перестановки спинов, а состояние с суммарным спином 0 — нечётным.Если спины относятся с двум тождественным частицам (фермионам,т.

к. спин 12 ), то волновая функция должна быть нечётной (менять знак)относительно перестановки двух частиц:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = −ψ(r2 , σ2 ; r1 , σ1 ).Мы можем отделить спиновую волновую функцию от координатной, есливолновая функция факторизуется:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = φ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ).Условие нечётности принимает видφ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ) = −φ(r2 , r1 ) · χ(σ2 , σ1 ).Таким образом, еслиχ(σ1 , σ2 ) = ±χ(σ2 , σ1 )(«+» для спина 1, «−» для спина 0), тоφ(r1 , r2 ) = ∓φ(r2 , r1 ).То есть в данном случае чётность координатной части волновой функции двух тождественных частиц соответствует чётности суммарного спина(«+» для спина 0, «−» для спина 1).

Подробнее этот вопрос разобран в следующем разделе.482ГЛАВА 1515.5.2. Чётность при сложении двух одинаковых спиновПусть складываются два одинаковых момента импульса s1 = s2 = s.Введём оператор перестановки спинов P̂s :P̂s |m1 |m2 = |m2 |m1 .Оператор обратим и сохраняет скалярное произведение, т. е. он унитаренP̂s† = P̂s−1 . Кроме того, оператор совпадает со своим обратным P̂s = P̂s−1 ,следовательно, он одновременно эрмитов.

Унитарный эрмитов оператор может иметь собственные числа только ±1.Состояние с максимальной проекцией момента оказывается чётным,относительно их перестановки:|2s, 2s = |s|s.Оператор Ŝ− = ŝ1− + ŝ2− переводит чётные состояния снова в чётные,а нечётные — в нечётные, т. е. Ŝ− сохраняет чётность:[Ŝ− , P̂s ] = 0.Таким образом, все состояния с максимальным спином|2s, M ,M = −s, . . . , +sоказываются чётными.Состояние с суммарным спином 2s − 1 строится как ортогональноек состоянию|s − 1|s + |s|s − 1√|2s, 2s − 1 =,2т. е.|s − 1|s − |s|s − 1√|2s − 1, 2s − 1 =.2Таким образом, состояние |2s − 1, 2s − 1 оказалось нечётным.

ПосколькуŜ− сохраняет чётность, все состояния|2s − 1, M ,M = −s + 1, . . . , +s − 1,оказываются нечётными.Вообще, из того, что Ŝ− сохраняет чётность, следует, что все состояния с одинаковым суммарным спином имеют одинаковую чётность (есличётность определена).15.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *483Покажем по индукции, что и далее чётные и нечётные состояния будутчередоваться по мере уменьшения суммарного спина.Предположим, что для наибольших K значений спина (2s до 2s − K ++ 1) чётность чередуется (для K = 1 мы это уже доказали)P̂s |2s − k, M = (−1)k |2s − k, M ,k = 0, .

. . , K − 1.Обозначим HK (K = 0, . . . , 2s) — (K + 1)-мерное подпространствосостояний, для которых M = 2s − K.Состояние |2s − K, 2s − K находится из условия ортогональностисостояниям |S, 2s − K (S = 2s, . . . , 0).1. Покажем, что состояние |2s − K, 2s − K должно иметь определённую чётность:S, 2s − K|P̂s |2s − K, 2s − K = ±S, 2s − K|2s − K, 2s − K = 0,S = 2s, . . .

, 2s − K + 1.Состояние P̂s |2s−K, 2s−K ортогонально K базисным векторам из K +1,таким образом оно обязано быть пропорционально оставшемуся базисномувектору |2s − K, 2s − K, т. е. оно имеет определённую чётность.+2. Вычислим размерность подпространства чётных состояний HK⊂⊂ HK . В подпространстве HK имеется K + 1 базисное независимое состояние вида |m1 |m2 (m1 + m2 = M = 2s − K). Линейно независимыесостояния вида|m1 |m2 + P̂s |m1 |m2 = |m1 |m2 + |m2 |m1 образуют базис в подпространстве чётных состояний.

Состояния, отличающиеся перестановкой m1 и m2 , попарно совпадают, так что!K++ 1,dim HK =2где квадратные скобки обозначают взятие целой части.−Для подпространства нечётных состояний HK⊂ HK!K−.dim HK=K−23. Покажем, чточётностьсостояния |2s − K,)2s −*K будет (−1)K .) K−1*У нас уже имеется+ 1 чётных и K − 1 − K−1нечётных состо22яний, полученных с помощью понижающего оператора Ŝ− из состояний484ГЛАВА 15±±HK−1. Чтобы получить правильные размерности пространств HK, нам надо, чтобы состояние |2s − K, 2s − K имело подходящую чётность. Если Kнечётно, то нам надо добавить одно нечётное состояние.

Если K чётно, тонадо добавить одно чётное состояние.С учётом того, что оператор Ŝ− сохраняет чётность, получаем, чточётность состояния |2s − K, M равна (−1)K .Тождественные частицыЕсли рассмотренные выше частицы со спином s являются тождественными, тоψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = (−1)2s ψ(r2 , σ2 ; r1 , σ1 ).Мы можем отделить спиновую функцию от координатной, если волноваяфункция факторизуется:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = φ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ).Мы только что определили чётность спиновой волновой функции, присложении двух спинов s:χ(σ1 , σ2 ) = (−1)K χ(σ2 , σ1 ) = (−1)2s−S χ(σ2 , σ1 ).Таким образом, чётность координатной волновой функции определяетсясуммарным спином системы из двух тождественных частиц:φ(r1 , r2 ) = (−1)S φ(r2 , r1 ).15.5.3.

Сложение моментов j +12При сложении моментов j и 12 суммарный момент пробегает два значения1J =j± ,211|j + 2 , j + 2 = |j|+.Действуя на это равенство понижающим оператором Jˆ− = ĵ− + ŝ− , получаем2j + 1|j + 12 , j − 12 = 2j|j − 1|+ + |j|−,√2j|j − 1|+ + |j|−11√|j + 2 , j − 2 =.2j + 115.5.

С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *485Из ортогональности находим|j − 12 , j − 12 =√|j − 1|+ − 2j|j|−√.2j + 1Остальные состояния находятся действием оператора Jˆ− N на состояния|j + 12 , j + 12 и |j − 12 , j − 12 . Поскольку для спина 12 выполняется условиеŝ− 2 = 0, от бинома Ньютона остаются только два первых члена:Jˆ− N = (ĵ− + ŝ− )N = ĵ− N + N ĵ− N −1 ŝ− = (ĵ− + N ŝ− )ĵ− N −1 ,C|j + 1 , j + 1 − N = Jˆ− N |j + 1 , j + 1 = (ĵ− + N ŝ− )ĵ− N −1 |j|+ =2222= C (ĵ− + N ŝ− )|j − N + 1|+= C ( (2j − N + 1)N |j − N |+ + N |j − N + 1|−).Нормируя на единицу (с учётом того, что C, C > 0), получаем√√2j − N + 1|j − N |+ + N |j − N + 1|−11√.|j + 2 , j + 2 − N =2j + 1 MАналогично (либо из ортогональности) получаем√√N |j − N |+ − 2j − N + 1|j − N + 1|−11√|j − 2 , j + 2 − N =.2j + 1 M15.5.4. Сложение моментов 1 + 1Суммарный момент пробегает значения 2, 1, 0.

Состояния для моментов 2 и 0 чётные, а для момента 1 нечётные.Процедура получения новых базисных состояний полностью стандартная. Выкладки облегчаются тем, что для момента 1 ненулевой√ множитель при действии оператором ĵ− всегда одинаков: ĵ− |m = 2|m − 1при m = 1, 0.Сделав эти замечания, сразу (выкладки вполне можно проделать в уме)выпишем новый базис:|2, 2 = |1|1,|2, 1 =|0|1 + |1|0√,2486ГЛАВА 15| − 1|1 + 2|0|0 + |1| − 1√,6| − 1|0 + |0| − 1√|2, −1 =,2|2, −2 = | − 1| − 1,|2, 0 =|0|1 − |1|0√,2| − 1|1 − |1| − 1√|1, 0 =,2| − 1|0 − |0| − 1√|1, −1 =,2| − 1|1 − |0|0 + |1| − 1√|0, 0 =.3|1, 1 =ГЛАВА 16Задача двух телКак и в классической теоретической механике, в квантовой механике ставится и решается задача двух тел.