М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 85

рис. 15.1):531|j, m = |j+m⊗|j−m, j ∈ 0, , 1, , 2, . . . , m ∈ {+j, +j − 1, . . . , −j} .22Рис. 15.1. Связь чисел заполнения n1 и n2 с j и m.Новая нумерация базисных векторов сразу подсказывает, как определить операторы момента импульса:N̂1 − N̂2,2ĵ+ = ↠⊗ â,ĵz =ĵ− = â ⊗ ↠.Мы можем определить оператор ĵ с собственными числами j:N̂1 + N̂2,2ĵ 2 = ĵ(ĵ + 1).ĵ =466ГЛАВА 15Легко проверить, как действуют6 операторы момента на базисные сос2 n1 −n2тояния |n1 ⊗ |n2 = n1 +n= |j, m:, 22n 1 − n2|n1 ⊗ |n2 = m |n1 ⊗ |n2 ,2ĵ+ |n1 ⊗ |n2 = ↠⊗ â |n1 ⊗ |n2 = (n1 + 1)n2 |n1 + 1 ⊗ |n2 − 1 == (j − m)(j + m + 1) |j, m + 1,ĵ− |n1 ⊗ |n2 = â ⊗ ↠|n1 ⊗ |n2 = n1 (n2 + 1) |n1 − 1 ⊗ |n2 + 1 == (j + m)(j − m + 1) |j, m − 1.ĵz |n1 ⊗ |n2 =Мы представили гильбертово пространство как прямую сумму (2j + 1)мерных подпространств для всех возможных целых и полуцелых j:H=C2j+1 = C1 ⊕ C2 ⊕ C3 ⊕ C4 ⊕ · · · .j=0, 12 ,1, 32 ,2, .

. .Каждое подпространство соответствует определённому значению j. Наязыке теории представлений каждое подпространство соответствует определённому неприводимому представлению группы квантовых вращенийSU(2). Тем самым мы получили каждое неприводимое представление группы квантовых вращений SU(2) по одному разу.15.3. Спин12Волновая функция частицы со спином 12 может быть представлена какфункция ψ(r, σ) от координат r ∈ R3 и спиновой переменной (проекцияспина на ось z) σ ∈ {− 12 , + 12 }. При этом удобно считать, что σ нумерует строки столбца из двух элементов.

Можно также считать, что аргументу волновой функции по прежнему один — r, зато значением функции в точке считается не комплексное число, а комплексный столбец из двух строк:ψ(r, + 21 )ψ(r, ·) == ψ(r).ψ(r, − 21 )Мы можем считать, что спиновая переменная — это такая координата, описывающая дополнительную дискретную спиновую степень свободы.Более того, часто удобно считать, что спин и движение частицы как целого — отдельные невзаимодействующие (или слабо взаимодействующие)15.3. С ПИН12467подсистемы. Отсутствие взаимодействия координат и спина — это отсутствие в гамильтониане слагаемых, которые действуют одновременно наспин и координаты.В пределе отсутствия взаимодействия, как и для любых других невзаимодействующих подсистем, если волновая функция факторизуется (разлагается на множители, зависящие от отдельных координат) в начальный момент времени, то она остаётся факторизованной и во все последующиемоменты времени, причём множители эволюционируют независимо.То есть если гамильтониан представим в видеĤ = Ĥr ⊗ 1̂s + 1̂r ⊗ Ĥs ,где операторы с индексом r действуют только на координаты частицы,а с индексом s — только на спин, то волновая функция может разлагаться на слагаемые видаψ(r, σ) = φ(r) · χ(σ),ih̄∂φ= Ĥr φ,∂tih̄∂χ= Ĥs χ,∂tφ(r) называют координатной волновой функцией, а χ(σ) — спиновой волновой функцией.В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственныевекторы операторов ĵz , ĵ 2 »), мы можем выписать операторы компонент дляспина 12 :0100†, ŝ− = ŝ+ =,ŝ+ =00101 0 −iŝ+ + ŝ− 1 0 1ŝ+ − ŝ−1 +1 0, ŝy =, ŝz =.ŝx ===0 −122 102i2 i 02Базисные состояния с определённым значением σ (проекции на ось z)принято обозначать по-разному:0 1 11 ,+ 2 2 = 0 = | ↑ = |1,0 1 10 ,− 2 2 = 1 = | ↓ = |0.Последний вариант |0 и |1 обычно применяется в квантовой теории информации, когда спин используется в качестве квантового бита (кубита).468ГЛАВА 1515.3.1.

Матрицы ПаулиПространство эрмитовых матриц 2 × 2 четырёхмерно: два диагональных элемента вещественны, два комплексных элемента вне главной диагонали комплексно сопряжены друг другу. В качестве базиса в пространствеэрмитовых матриц 2 × 2 можно выбрать, например, три матрицы ŝα , дляспина 12 и единичную матрицу E.Однако матрицы ŝα имеют собственные числа ± 12 , что не слишкомудобно: удобнее чтобы собственные числа равнялись по модуле единице.Поэтому вместо спиновых матриц ŝα вводятся σ-матрицы Паули, отличающиеся от спиновых матриц умножением на 2. Иногда в качестве σ-матрицыномер 0 рассматривают единичную матрицу E:σ = (σx , σy , σz ),σα = 2ŝα , α ∈ {1, 2, 3},σ0 = E,10010 −i+1 0, σx =, σy =, σz =.σ0 =0110i 00 −1Матрицы Паули могут применяться не только для спинов 12 , но и длялюбых двухуровневых (с двумерным пространством состояний) систем,т.

е. для любых кубитов. Любая эрмитова матрица 2 × 2 разлагается поединичной матрице и матрицам Паули с вещественными коэффициентамиразложения, а произвольная матрица 2 × 2 разлагается по тому же базисус комплексными коэффициентами разложения. Если ограничиться матрицами с нулевым следом, то из базиса выкидывается единичная матрица.При вычислениях с матрицами 2×2, разложенными по σ-матрицам, мыможем не перемножать матриц явно, если воспользуемся таблицей умножения матриц Паули:2-й множитель → σx σyσz1-й множитель : σxE iσz −iσyσy −iσzE iσxσz iσy −iσxEЭту же таблицу можно записать в виде одной формулы:σα σβ = E δαβ + i eαβγ σγ ,α, β, γ ∈ {1, 2, 3}.(15.14)С помощью матриц Паули удобно представлять трёхмерные векторыв виде эрмитовых бесследовых матриц 2 × 2 (предполагается, что компо-1215.3. С ПИН469ненты вектора — числа или операторы, не действующие на спиновые переменные, т.

е. коммутирующие с операторами спина): Ax − iAyAz A−Az(A, σ ) = Aα σα ==.Ax + iAy −AzA+ −AzПроизведение таких матриц (его легко вычислить по правилу (15.14)) содержит как скалярное, так и векторное произведение:(A, σ )(B, σ ) = (A, B) + i([A × B], σ ).(15.15)Для единичного вектора n получаем, что (n, σ )2 = (n, n)E = E == (n, σ )2k , k = 0, 1, 2 . . . , т. е. все чётные степени дают единичнуюматрицу.

Соответственно все нечётные степени дают исходную матрицу (n, σ )2k+1 = (n, σ ) = σn .Используя это, легко записать спиновый оператор поворота вокругпроизвольной оси:∞(iα/2)kαRn (α) = eiαŝn = ei 2 σn =k=0=E∞(iα/2)2kk=0(2k)!cosα2ααRn (α) = E cos + iσn sin =22+σnk!σnk =∞(iα/2)2k+1k=0,(2k + 1)!i sinα2cos α2 + nz i sin α2n− i sin α2ααn+ i sin 2cos 2 − nz i sin α2.Как мы и ожидали, для полуцелого спина 12 поворот на полный угол 2πсоответствует оператору −E.Получившаяся спиновая матрица поворота Rn (α) является матрицей 2 × 2, унитарна (как экспонента от эрмитовой матрицы, умноженнойна i) и имеет единичный определитель, таким образомRn (α) ∈ SU(2).15.3.2.

Кватернионы**Читатель, знакомый с понятием кватернионов, должен был почувствовать в предыдущем разделе что-то смутно знакомое, особенно в формуле (15.15), в которой перемешались скалярное и векторное произведение.470ГЛАВА 15Это сходство можно сделать изоморфизмом, если ввести соответствиемежду матрицами 2 × 2 и кватернионными единицами:E → 1,−iσx → i,−iσy → j,−iσz → k.Теперь таблица умножения σ-матриц превращается в стандартную таблицу умножения базисных кватернионов:2-й множитель → 1 i j k1-й множитель : 1 1 i j ki i −1 k −jj j −k −1 ik k j −i −1Кватернион общего вида получается как линейная комбинация базисных с вещественными коэффициентами:A = A0 + Ax i + Ay j + Ax k = A0 + A.При этом A0 называют скалярной частью кватерниона, а A = Ax i + Ay j ++ Ax k — векторной частью.Кватернионы являются обобщением комплексных чисел, при которомвместо одной мнимой оси вводится трёхмерное пространство.

Это пространство изотропно, в том смысле, что собственные вращения в нём неменяют алгебраических соотношений между кватернионами. Более того,любая двумерная плоскость в пространстве кватернионов, содержащая вещественную ось, устроена так же, как обычная комплексная плоскость.Для кватернионов определено сложение, вычитание, умножение и взятие обратного элемента (от ненулевых элементов).

Причём, посколькуумножение кватернионов некоммутативно, определено два разных деления:левое (умножение на обратный элемент слева) и правое (умножение на обратный элемент справа).Для кватернионов определяют сопряжённый кватернион, абсолютнуювеличину, обратный элемент:1Ā = A0 − A = − (A + iAi + jAj + kAk),2|A|2 = A20 + A2 = AĀ,A−1 =Ā.|A|215.3. С ПИН12471Обратите внимание, в отличие от комплексного сопряжения, кватернионное сопряжение выражается через сложение и умножение, из-за этого надкватернионами не удаётся создать интересной теории аналитических функций (т. к. аналитические и антианалитические функции совпадают).

Такимобразом, хотя кватернионы и были придуманы как «обобщённые комплексные числа» в надежде на то, что с их помощью можно будет столь жеудобно решать трёхмерное уравнение Лапласа, как в двумерии с помощьюаналитических функций, это ожидание не оправдалось3 .Если построить кватернион с произвольными комплексными компонентами (комплексный кватернион), то мы потерям деление — обратныйэлемент не будет определён не только для нуля, но и для других элементов.Этого и следовало ожидать, т. к. кватернионному умножению мы сопоставили матричное умножение, а кватернионам с произвольными комплексными коэффициентами соответствуют произвольные матрицы 2 × 2, в томчисле и необратимые.Векторная часть кватерниона представляется как антиэрмитова матрица 2 × 2, таким образом спиновый оператор вращения, с учётом соответствия iσn → −n, естественным образом переписывается как единичный(по модулю) кватернион:Rn (α) = e− 2 n = cos α2 − n sin α2 ,α|Rn (α)| = 1.15.3.3.