М.Г. Иванов - Как понимать квантовую механику, страница 79

е. ∀g ∈ Gопределено g −1 ∈ G. Операция взятия обратного элемента удовлетворяет условиюg −1 ◦ g = g ◦ g −1 = E.(фл) Сразу опишем физический смысл этих понятий. Группа — наборпреобразований, удовлетворяющий следующим условиям:• в группу входит единичный элемент — тождественное преобразование;• если выполнить последовательно преобразования g1 и g2 , то получится преобразование g3 , также принадлежащее группе. g3 задаётся какпроизведение преобразований g1 и g2 в обратном порядке (!!!): g3 == g2 ◦ g1 . Следующие свойства для преобразований выполняются автоматически:E ◦ g = g ◦ E = g,(g3 ◦ g2 ) ◦ g1 = g3 ◦ (g2 ◦ g1 );• операция взятия обратного элемента — замена преобразования g наобратное g −1 .

То есть все преобразования, входящие в группу, должныбыть обратимы, причём для всякого преобразования g ∈ G, обратноепреобразование также входит в группу g −1 ∈ G. Автоматически выполняется свойствоg −1 ◦ g = g ◦ g −1 = E.14.2. Г РУППЫ ( Л )431Почему мы положили, что умножение преобразований соответствуетих выполнению в обратном порядке? Потому что при действии операторана состояние мы пишем оператор слева от состояния: Âψ. Если на результатподействовать ещё одним оператором, то получится B̂ Âψ и мы получилислева от ψ комбинацию B̂ Â, в которой операторы написаны в обратном порядке, по сравнению с тем порядком, в котором они действуют. Естественно считать, что и групповое умножение преобразований выполняется в томже порядке. Это позволяет опускать значок «◦», обозначающий групповоеумножение.Может показаться, что группа, определённая как набор преобразований, — частный случай группы вообще, однако это не так.

Любая группаможет быть представлена как группа преобразований самой себя: элементгруппы g преобразует группу с помощью умножения слева (левых сдвигов)g:G→Gg : h → g ◦ h,∀g, h ∈ G.(14.1)В теории групп естественно рассматривать отображение f : G → Hгруппы G на группу H, при котором сохраняется групповая структура, т. е.f (g1−1 ) = f (g1 )−1 .(14.2)Такое отображение называется гомоморфизм (гомоморфное отображение).Иногда реальная группа симметрий оказывается не той группой, которую мы ожидали с самого начала, а её гомоморфным отображением.Например, если у нас есть симметрия, относительно группы поворотов,а рассматриваемые состояния тождественно переходят в себя при любомповороте, то симметрия таких состояний описывается не группой поворотов, а группой из одного тождественного преобразования.Если гомоморфное отображение является ещё и взаимнооднозначным,то оно называется изоморфизмом, а группы G и H считаются одинаковыми(изоморфными).

Изоморфизм обозначается так: G H.Одинаковые (изоморфные) группы могут быть по-разному представлены как группы преобразований. В теории групп изучаются свойства, независящие от изоморфного представления группы, как группы преобразований. Таким образом, с точки зрения теории групп, группа преобразований по сравнению с абстрактной группой наделена «лишней» структурой,которая задаёт действие элементов группы как преобразований некоторогопространства. Различные представления группы как группы преобразований изучаются теорией представлений.f (EG ) = EH ,∀g1 , g2 ∈ G,f (g1 )◦f (g2 ) = f (g1 ◦g2 ),432ГЛАВА 1414.2.2. Коммутативность и некоммутативность (л)Коммутативными (абелевыми) называются группы, для которых результат умножения не зависит от порядка множителей:∀g1 , g2 ∈ G g1 ◦ g2 = g2 ◦ g1 .Для абелевых групп групповую операцию могут называть не умножением,а сложением, а единичный элемент не единицей, а нулём.Для того, чтобы определить насколько данные элементы группы коммутируют или не коммутируют друг с другом вводят такой объект, как групповой коммутаторg1 ◦ g2 ◦ g1−1 ◦ g2−1 .Если данные элементы группы коммутируют, то групповой коммутатор равен единичному элементу E.

Для абстрактной группы мы не можем определить матричный коммутатор [g1 , g2 ] = g1 g2 − g2 g1 , т. к. для элементовгруппы не определено вычитание.(ф) Для квантовой механики коммутативная группа симметрии наиболее проста: гамильтониан коммутирует одновременно со всеми преобразованиями группы, а преобразования коммутируют между собой. Такимобразом, все групповые преобразования и гамильтониан можно диагонализовать одновременно.14.2.3. Подгруппы (л)Подгруппой H группы G называется её подмножество, замкнутое относительно групповых операций группы G, т. е.∀g, h ∈ H ⊂ G,E, g −1 , g ◦ h ∈ H.Таким образом, подгруппа H ⊂ G тоже является группой, причём групповые операции в ней те же, что и в G.(ф) Если первоначальная симметрия системы нарушается добавлениемв гамильтониан лишнего члена, то новый гамильтониан имеет уже меньшую симметрию, задаваемую уже не исходной группой, а какой-то её подгруппой.

Например, если первоначально мы имеем частицу в сферически симметричном потенциале (атом), то симметрия системы описываетсягруппой вращений. Если мы поместим атом во внешнее поле, то направление поля задаст в пространстве выделенное направление и в результате14.2. Г РУППЫ ( Л )433сохранятся только те симметрии из первоначальной группы, которые переводят это направление в себя.

То есть от первоначальной группы всех поворотов SO(3) останется подгруппа поворотов относительно фиксированнойоси SO(2) ⊂ SO(3).Задание подгруппы H позволяет разбить группу G на левые и правыеклассы эквивалентности:∀g0 ∈ G[g0 ]л = g0 H = {g ∈ G|g = g0 ◦ h, h ∈ H},[g0 ]п = Hg0 = {g ∈ G|g = h ◦ g0 , h ∈ H},g0 ∈ [g0 ]л,п называют представителем класса эквивалентности.Множество левых классов эквивалентности G/H и множество правыхклассов эквивалентности H \ G для произвольной подгруппы H могут небыть группами и не совпадать.Среди подгрупп особенно важны подгруппы, удовлетворяющие условию∀g ∈ G g −1 Hg = H— нормальные подгруппы.

Нормальная подгруппа может также называтьсяинвариантной подгруппой, или нормальным делителем группы.У коммутативной группы все подгруппы являются нормальными.Нормальность подгруппы — необходимое и достаточное условие того,что левые и правые классы эквивалентности совпадают H \ G = G/H.В этом случае на них вводится групповая структура:EG/H = [E],[g]−1 = [g −1 ],[g1 ] ◦ [g2 ] = [g1 ◦ g2 ].Результат операции не зависит от того, какой представитель класса эквивалентности мы используем. Получившаяся подгруппа называется факторгруппой группы G по модулю нормальной подгруппы H и обозначается G/H.Всякая группа G имеет, по крайней мере, две нормальных подгруппы:всю группу G и подгруппу, состоящую из единицы {E} (тривиальная подгруппа).

Если других нормальных подгрупп нет, то такая группа называетсяпростой группой.Если задан некоторый гомоморфизм (14.2) f : G → L, то множествовсех элементов, отображающихся на единицу группы L, называют ядромгомоморфизма:f −1 (EL ) = {g ∈ G|f (g) = EL }.434ГЛАВА 14Легко проверяется, что ядро f −1 (EL ) всегда является нормальной подгруппой группы G.Теорема о гомоморфизме1 : Пусть задан гомоморфизм f : G → L,тогда группа L изоморфна факторгруппе по ядру гомоморфизмаL G/f −1 (EL ).Теорема о гомоморфизме позволяет классифицировать все возможныегомоморфизмы, если мы знаем все нормальные подгруппы данной группы.

((ф): Это будет полезно при изучении теории представлений групп,а в квантовой механике нас интересуют именно представления групп симметрии с помощью унитарных операторов.) В частности, для простыхгрупп гомоморфизмы бывают двух типов: (1) изоморфизмы (ядро — тривиальная подгруппа) и (2) отображения на тривиальную группу из одногоэлемента (ядро — вся группа).14.2.4. Конечные группы (л)Любая группа G с конечным числом элементов |G| может быть представлена как группа перестановок не более чем |G| элементов. Такое представление реализуется, если группа действует сама на себя умножениемслева.Таким образом, любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы всех перестановок, множества из N элементов, которая обозначается как SN , причём |SN | = N !(ф) Группа SN в физике естественно возникает как группа перестановок N тождественных (одного сорта) бозонов, поскольку состояния, отличающиеся друг от друга перестановкой (перенумерацией) бозонов одногосорта, принципиально неразличимы.Любая перестановка может быть представлена как матрица N × N ,в которой в каждой строке и каждом столбце присутствует одна единица, а остальные элементы — нули.

Определители таких матриц всегда равны ±1. Умножению перестановок при этом соответствует умножение матриц. Поскольку при перемножении матриц их определители также перемножаются, из группы SN выделяется в качестве нормальной подгруппы1 Естьстарый физматшкольный стишок для запоминания Теоремы о гомоморфизме:Гомоморфный образ группы!Будь, во имя коммунизма,Изоморфен факторгруппеПо ядру гомоморфизма!14.2. Г РУППЫ ( Л )435группа чётных перестановок AN , элементы которой представимы матрицами с определителем +1, причём |AN | = 12 N ! (при N > 1).(ф) Группа AN в физике естественно возникает как группа перестановок N тождественных (одного сорта) фермионов, поскольку состояния,отличающиеся друг от друга перестановкой (перенумерацией) фермионоводного сорта, принципиально неразличимы, но при этом вектор состояния(волновая функция) меняет знак, при каждой перестановке пары одинаковых фермионов.Любая перестановка может быть представлена как комбинация (произведение) парных перестановок, т.