С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 31

будем предполагат сгационар. ность как флуктуации фазы ф(1), так и всего ФМ-колебания (12) в целом. При этом Х=О, т. е. величина х является чисто флуктуапионной (х $), и в спектре ФМ.колебания (12) нет дискретной составлиющей. Как было показано в 4 5, одномерные и двумерные распределения фазы, приведенные к интервалу 2л, имеют следующий вид: ы (~р) = 1/2л, ю(ф, рг) —, г Р,„(т)е м<о — Ез (2.7.24) т. е. одномерное распределение фазы является равномерным, а конкретная фоРма двУмеРного РаспРедслениа опРеделзетсв коэффициентами Рм (х).

-1вУ- мерную характеристиче ку о функцию и двумерное распределение зереюно- стеН ФМ-колебания 1!2) можно найзн, используя общие соотношении, приведенные в й 5. Заметим, что в том же предельном случае ое;> 1 для коэффициентов корреляции Кз (т) вида К, (т) = е гы мы 1 — а) т(+... вместо (21), (22) получим Еамю 1 Еезп — а 1з И 164 гл.

х модили слкчхиных и оцнссов и полни Пусть, например, грщ — — е 'ю' . Вычислив суьррру в (24), ю лучнм 1)! — ар! ю(ф, фт)= —- а=— 4п' ! — асса(ф — фт) ' сЬ Ит (2.7.25) Если интервал т увеличивается, то сь )рт-ьсо, а-ро и, как и следовало ожидать, двумерное распределение (25) распадается на произведеняс одномерных: !пп цр(рр, ч,)=!!4пр=-ш(ф)ю(ф ). Га с При атом время корреляции флуктуация ~Г (Г) можно приближенно оценить как !Вк т.

е. в рассматриваемом примере ширина спектра фазовор модуляции примерно равна Лыр и. Чтобы оценить ширину :пектра Фднколебания (12), напишем выражение для его корреляцноннон функции: В (т) = и, '(соз (ырт+ ф) соз (ырт+ ажт+ фт) ) ор !(сев(юрг+~!т — гр))+(соз(2ерг+ырт+ р+фт))1.

(2 7 26) 2 По ю(ф+фт)= !/2п (см. (2.5 52И. так что второе слагаемое в (26) обращается в нуль и и"„ В (т) =-" !сов ырт сов(фт — ф)+мп ырт ьтп (фт — ф)1. (2 7 27) 2 Согласно (24) при Р„е ,,— )=е Л!т, В результате выражение (27) принимает следуя згип вид: В(т)=- е с!жарт (2.7.28) Оценивая отсюда н.ирину спектра Ф51.колебания, находим, что для распределения (25) она имеет тот же порядок, что и пририна спектра фазовол рродуляпии: бр! Дыр 25. Частотная модуляция. Рассмотрим квазигармоническое коле- бание ! р!рр=ь (,рч-1 ~(р)рр/ ь Ф!р!.

!27м! с входит теперь под знаком интеграла. Мгновенная частота колебания (29) по определенпкт равна ю(() =-ррр((рр =-орр р' й(!), гак что функции Ч(!) в (29) описывает Оно отличается от (12) тем, что случайный процесс т)(() с заданными характеристиками О, р!з=оо„т)т)т=Вр(т)=ор)гр(т)= ~ 6р(ш)е — 'втг(т рр $ К КОЛЕБАНИЯ. МОДУЛИРОВАННЫЕ ШУМОМ модуляцию частоты по некоторому случайному закону. Фаза ар (() =- ~ н (В)с(В является диффузионным случайным процессом.

а Ее дисперсия равна (2.6.4): ауа = 2а ~ Ва (т) «(т — 2 ~ тВ, (т) а(т = Оа ((). (2.7. 30) а а В установившемся режиме частотной модуляции (( — ~ОО) дисперсия фазовых флуктуаций растет со временем по линейному закону (2.6.6): аа (() ~ Ю( ) ) = пба (0). (2.7.31) Из факта неограниченнбго роста дисперсии оа следует, что, неза.

висимо от вида статистики частотной модуляции, распределение ш (ар), приведенное к интервалу 2п, с течением времени стремится к равномерному: )'ш ш(ар) =)72п ( — п(ар(п) (2.7.32) а со (см. (2.6,27)). Таким образом, частотно-модулированное (ЧМ) колебание (29) в установившемся режиме является стационарным процессом, а его одномерное распределение имеет вид (2.5.20): 1 1. — —.,В (аа, ас ($) = я у аа — айа ' О, ~й>~аа. Как следует нз (32), В=О, т.

е. в спектре ЧМ-колебання нея дискретной составляющей на несущей частоте ааа. Зтн результаты справедливы при любой статистике частотной модуляции, но при условии, что спектр модуляции отличен от нуля на нулевой частоте, ба(0)ФО. (Зто условие обеспечивает неограниченный рос| дисперсии со временем, см, В 6.) Модуляция яасноаах гауссовским шумом. Предположим, что процесс я(() является гауссовским. Гауссовскими будут при этом и фазовые флуктуации ар((), так что прп (- ОО (всВ) = (в'(Р+ Яа)) = О, (2.7.33) (ва(Р ~а)) = ' ехр — а $Ч(В+() а(В ' =в *она, (2 7 34) где о' (т) — функция (30) при ~ = ~ т,. Лля дальнейшего удобно обозначить ! о' (, т,) = ооар (т), 166 ГЛ 2 МОДЕЛИ СЛХЧОПНЫХ ПРОПЕССОВ И ПОЛЕЙ где и ф (т) =, т1 1 Ко (В) г(6 — 1 6Я (6) 1(В.

(2.7.35) Здесь по(т) — коэффициент корреляции, характеризующий форму спектра частотной модуляции„а оо — дисперсия модуляции, характеризующая ее размах. Учитывая (33) — (35), корреляционную функцию ЧМ-колебания (29) можно записать как Б'(т) = 2 е "" созови. (2.7.36) л (т) — оо е 1о 1~ соз о2от, 2 (2.7, 40) т. е. спектр ЧМ-колебания имеет вид гауссовской кривой: г2(оо)= "" !е ' .1чоо1 1-е 1 +"'" 1~ (2.7.41) 41' 2лоо( Ширину этого спектра можно оценить как бо1о оо.

(2.7.42) Считая т, т„1/Ло2„сравним А1о и ширину спектра частотных флуктуаций Лооо. Из (42) и (39) находим — — — 'г'топо„о 1. аок дооо ' Г до21 (2.7.43) Как следует из (36), спектр ЧМ-колебания симметричен относительно о2о (в общем случае негауссовской модуляции в спектре может появиться и асимметрия). Частотная модуляция, как и фазовая, не меняет интенсивности колебания: Яо)=по/2. Общее представление об изменении величины ф(т) дают кривые (оо(1) ф(!)) на рис. 2.13.

Функция ф(т) при малых т меняется по квадратичному закону, а при больших — по линейному: 1 то)2 т~то, (2.7. 37) ф(т) = о о- (! т то) т~~~ т (2.7.38) 1 (см. (2.6.5), (2.6.6)). Соответственно можно рассмотреть два предельных случая. 1) Если интенсивность модуляции достаточно велика: топо о 1, (2.7.39) то функция корреляции (36) успее1 уменьшиться почти до нуля на квадратичном участке (37). В этом случае можно приближенно написать 167 й т.

кОлеБАния. мОдулиРОБАнные шумОм Следовательно, н этом случае ЧМ-колебание имеет более широ. кий спектр, нежели шум, модулиругощий его частоту. Неравенство (39) можно прн этом переписать как ае(О) > Люа. т. е. спектр модуляций высокий и узкий (рис. 2.16, а). (2.7.44) ррррррат $ лд амр) р,йр«.ь, аы грмр Р) 2) При не слишком интенсивной (или достаточно быстрой) модуляции частоты, когда выполняется неравенство (2.7.45) заметное уменьшение корреляционной функции (36) происходит на линейном участке (38) и можно принять Цт = -'" Š— О" СОа Нтот. 2 (2.7.46) В этом случае спектральная интенсивность ЧМ-колебания имеет вид лоренцевской кривой: а,'О( 1 ° ~~-:ь-~) "мтьхкг) ~а™( а ширина спектра равна Ьы- 0 =Ибо (6).

(2.7.48) В отличие от (43) отношение полос в этом случае меньше еди ницы: согласно (45) и (48) ы"Фигне Ота ~ )' (2.7АО~ Рис. 2,16. Форма сиеитральиой линии частотно-модулированного колебании ири различных снектрах 6,(еа) модулируианей фунхиии. !ба гл т мОдели случАйных пРОцессОВ и полеи Условие (45) эквивалентно неравенству Ссе(0) ~бюо (2.7.50] которое означает, что спектр модуляции широкий и низкий (рис. 2.16, б). Интерполируя полученные результаты, можно представить общий характер изменения ширины и формы спектра ЧМ-коле- а- ьв яркие р-Зо/Ют(Ю 7 з л ~мМ~ 7 7 Ю 7 7 а ~'ГфЬ и-дна~фаад ау а Рис. 2.)7.

Зависимость параметров ЧМ-колебании (ширнны спектральной линии Аы н формы спектра) от параметров ьюодулируюшей случайной функпии (ширины спектра Ьыь, спектральной плотности бв (0) и дисперсии о, '~ ~6,(0) бы„). бания при различных вариантах изменения параметров частотной модуляции саше, бв(0) и ое (пунктирные кривые на рис. 2.17), Статистика уширения спектральных линий в оптике. Вопрос О ширине спектральных линий — одна из фундаментальных проблем физической оптики.

Результаты измерений формы и ширины спектров излучения„поглощения и рассеяния света оказываются одним из важнейших источников информации о веществе. Исследуя оптические спектры атомов нлп молекул, мы имеем дело с ансамблем частиц, поведение которых Описывается законами ста- » «КОЛЕБАНИЯ, МОДУЛИРОВАННЫЕ ШУМОМ !69 тистической физики; естественно, что эти статистические закономерности должны отражаться и в спектрах. В классической оптике отклик атомов и молекул на световое поле описывается с помощью модели гармонического осциллятора. Дипольный момент, связанный с колебаниями одного осциллятора х1.

(2.7.51) Р1(1) =вх1((), где е — элементарный заряд, а поведение х, описывается уравнением гармонического осциллятора: 21+ 2а1х1+ о4х1 = 7 ((), (2.7.52) 1(г) — внешняя сила. В общем случае Г(() определяется внешним световым полем, носящим случайный характер, взаимодействиями и т. п. Дипольный момент (поляризация) Р (1) единицы объема среды, содержащей й( атомов (осцилляторов), к н Р (() ~ вх; (() = У', р, (1). (2.7.53) 1=1 1-1 Естественная ширина спектральной ликии.

Рассчитаем прежде всего ширину спектральной линии излучения в ансамбле идентичных гармонических осцилляторов; будем считать, что все вм = = ь»», а; = а. 1',ласс11ческую картину спонтанного излучения света ансамблем атомов или молекул можно рассматривать как суперпозицию «вспышек» свободных колебаний случайным образом возбужденных гармонических осцилляторов. Свободные колебания (-го осциллятора, возбужденного в момент времени 11, описываются формулой х; (г) = ха ехр ( — а(1 — 11)[1 сов[в»»(1 — 11)+ ф«11, (2 754) где х„и фм — начальные амплитуда и фаза.

Соответственно и дипольный момент, связанный с колебанием (-го осциллятора, р1 (1) = р х ехр ( — с«(à — 11)) сов [«вь (1 — й) + фм). (2 7 55) В силу (55), (53) излучаемое ансамблем таких осщ«лляторов световое поле Е(г) будет иметь вид к к Е(() =-,У', амехр( — а(1 — 11)) сов[«вв(( — (1)+ф«11= Я Еь (2 7 56) Если возбуждение осцилляторов носит стохастическнй характер, то моменты вспышек 11, начальные амплитуды ам и фазы ф„— случайные числа. Поэтому суммарное поле излучения представляет собой случайный процесс.

Если осцилляторы идентичны, для выявления основных его статистических характеристик достаточно )70 гл и модели сличлиных процессов и полни учесть случайность моментов времени (о В этом случае (56) представляет собой случайную импульсную последовательность — стохастнческий процесс, являющийся случайным наложением регулярных импульсов известной формы. Подробному рассмотрению таких процессов посвящен следуюший 2 8. Если случайные импульсы — «вспышки» свободных колебаний — статистически независимы, то для спектральной плотности суммарного процесса 6(ш) имеет место весьма наглядный результат (см. формулу (2.8.44)): 6(ш) =2п(),~ Е„,". (2.7.57) В (57) ь) — средняя частота следования импульсов, а Š— фурье- образ функции Е, (()„описывающей одиночный импульс рассмат.