С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 32

риваемой последовательности. Таким образом, спектр всего процесса имеет тот же вид, что и спектр одиночного импульса,— происходит некогерентное наложение спектров импульсов. Записывая фурье-преобразование импульса вида (54), для 6, (ш) получаем *) (см. форгдулу (3.2.26)) 6 ш = меч (ет» — ы»)я+ 4«с»ы»' (2.7.58) Лоренцевская спектральная линия (58) имеет ширину Аш, = 2«е. (2.7.59) ') Рассматривая вынужденные колебания, ы е, учитывая в (52) внешнюю силу )(т), нетрудно убедиться, что такой же вид для рассматриваемой модели будет иметь и линия поглощения.

Величину А1о, принято называть естественной шириной спектральной линии; она определяется скоростью затухания амплитуды (энергии) отдельного осциллятора. Ширины линий колебаний отдельного осцнллятора и ансамбля осцилляторов здесь одинаковы. Принято говорить, что в этом случае ширина спектральной линии определяется и( от(ессаэип реликсачин энергии. Однако ширина спектральной линии в ансамбле осцилляторов не об зательно связана только с процессами релаксации энергии. Шириньг линий отдельного осциллятора и ансамбля осцилляторов могут, разумеется, существенно различаться.

Действительно, величина дипольного момента единицы объема Р(() (53) представляет собой фактически усредненное по единице объема колебательное возбуждение. Поэтому, даже если амплитуды колебаний всех элементарных осцилляторов практически постоянны, а их фазы быстро изменяются во времени (за счет движения осцилляторов и их взаимодействия меняются собственные частоты), величина (Р(()) может обратиться в нуль за вре- $7. КОЛЕБАНИЯ, МОДУЛИРОВАННЫЕ ШУМОМ мена (2.7.60) тф (( 1(сс. Естественно, это будет приводить к уширению спектральной линии, гораздо более значительному, нежели описываемое формулой (58). В этом случае принято говорить об уширении спектральной линии, обусловленном процессами дефазировни колебаний.

Различие в физике релаксации энергии и дефазировки колебаний наиболее последовательно учитывается при квантовомеханическом описании. Времена релаксации Т, и Т,, входящие в уравнения двухуровневой системы (1.6.20), (1.6.21), характеризуют скорости затухания энергии и дефазировки. В очень многих практически интересных случаях (2.7.61) т, тф<тз и при расчете ширины спектральной линии процессы релаксации энергии можно вообще не учитывать ь). Далее„в пренебрежении процессами релаксации энергии, обсуждаются простейшие задачи об уширении спектральных линий за счет процессов дефазировки.

В основу расчета в этом случае можно, очевидно, положить формулы, выведенные в трех предыдущих пунктах этого параграфа. Порядок же конкретного расчета следующий. Сначала на основе микроскопической модели движения и взаимодействия осцилляторов находят статистические свойства частоты (или фазы), а затем, пользуясь приведенными выше формулами, можно вычислить и контур спектральной линии. Ниже приведены простые примеры', за подробностями мы отсылаем читателя к 121, 221, где изложена статистическая теория уширения спектров излучения и поглощения, и к 1231, где можно найти данные и библиографию об уширенин спектров рассеяния света, Уцзирение спектральных линт! в газе', допллеровская ширина.

Простым и чрезвычайно важным механизмом уширения спектральной линии в ансамбле осцилляторов является эффект Допплера. Если осциллятор, собственная частота которого юь, движется относительно наблюдателя со скоростью яз, то наблюдатель регистрирует колебания на частоте (2.7.62) ') При этих условиях разность иаселеииосгей в (!.6.21) можно считать постояивой и описывать взаимодействие света с двухуровневой системой с помощью только одного ураввевия для поляризации; оио имеет тот же вид, что и (62).

Однако уравиеиие (!.6.20] описывает уже ие поведение отдельного оспилляторв, а поведение средней поляризации едииицы объема р (т!. Это овшоятельсгао нада иметь в виду, сравиивая классическое и кваптовое описание. 172 ГЛ 2. МОДЕЛИ СЛУЧАПНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕГ! Рнс.

2.18. Картина допплеровсного ущн рення спентральной линии в газе незя внсннмх оспнлляторов. Ч (1) =1 (1), г (1) = ~ и (1') й' (2.7.63б1 б 1мгновенная частота описывается (62)). Переходя к проекции скорости на направление наблюдения о, формулам (63) можно придать впд (29), где 8(1)=йг(1). Таким образом, речь идет о случайной частотной модуляции, 'статистика случайной скорости определяется столкновениями молекул. Если е (1) — гауссовский процесс, корреляционная функция колебания (63а) определяется коррелятором (см. (34)) !+т (е'(' 'т)) =(е'""'), г (1) = )«о (б) 81'.

(2.7.64) с Рассмотрим сначала разреженный газ, в котором столкновением молекул можно пренебречь. Тогда г(1) а вт и, используя для о максвелловское (гауссовское) распределение по скоростям, получим (2.7.65) ан (о) = .— в — «'~и и 1'гпи «и Для корреляционной функции колебания Е(1) получим (см.

формулы предыдущего раздела) В (т) =- а«ехр ( — ()сит)') соз«оет, (2.7.66) В ансамбле осцилляторов (например, в газе атомов или молекул) скорости е случайны; в силу (62) случайно распределены и частоты излучения отдельРве ных осцилляторов. Естеств лее лен венно, что это приводит к дополнительному к (59) уши««т«тел «ьы ~ению спектральной линии. ««лил««у а практике это уширение, так называемое допплеровское уширение спектральной линии, Лгоп, часто оказывается очень большим, так что в«в«в«'ав а Лета)~ Лет, (см.

рис. 2Д8, где для случая Лет„~ Лет, построены спектры отдельных осцилляторов и суммарный допплеровский контур спектральной линии). Рассчитаем ширину допплеровского контура Лета для случая Лето ь Лы,. Световое поле представим в виде Е (1) = аа ехр 1(ы«1+ <р (1)), (2.7.63а) где в рассматриваемом случае в 7 КОЛЕБАНИЯ.

МОДУЛИРОВАННЫЕ ШУМОМ откуда для спектра (ср. (40), (41)) получаем оп, а ( — В,)'1 бй (в) - — ' ехр ~ — — -т — ~ р'паво ~ Лв (ар. формулу (41)); в (67) Лыс=Ли ~'( — "-') ~в — допплеровская ширина спектральной линии. Согласно (66), (68) время корреляции светового поля в рассматриваемом случае (2.7.67) (2.7.68) В (т) =й-а$ехр1 — — т'(сок в,т, 1 ( ЬМЬ (2.7.70) 2тст где и„— средняя частота столкновений. Корреляционная функция (70) соответствует (см, формулы (46), (47)) лоренцевскому контуру линии. Таким образом, в услошгях частых столкновений первоначально гауссовский контур допплеровской линии переходит в лоренцевский*).

В проведенных расчетах эффекты, связанные с релаксацией энергии, пе учитывалось; их учет не представляет, однако, труда, поскольку процессы, связанные с релаксацией энергии и хаотическим движением осцилляторов, можно считать статистически независимыми Полный спектр тогда определяется сверткой спектров б, и ОО Уширение спектральньи линий молекул в жидкости. В жидкости допплеровское уширение, разумеется, полностью подавлено. Процессы дефазировки обусловлены флуктуациями нормальных частот (собственных частот оспилляторов) при межмолекулярных взаимодействиях (см. рис.

2.19, который иллюстрирует сдвиги собственных частот при бинарных взаимодействиях двухатомных молекул), ') Формчла (70) Имла впепвып получена Дики. помомт стслкпови~тлвпот вуткааае час~ . и так ие тр)митом тликиа; более "охробио см. 1221. тв пм 1))си (2.7.69) определяется средним временем смещения осциллятора на расстояние порядка длины световой волны.

Если давление газа повышается, в игру включаются столкновения, ограничивающие свободные перемещения осцилляторов. В результате время т„ увеличивается, а ширина допплеровского контура сужается Происходит столкновительное сужение допплеровского контура. Обзор статистических моделей столкновитедьного сужения можно найти в 1221. Можно показать (см.

[221), что в случае достаточно частых столкновений 174 ГЛ.В МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ Теперь для того чтобы определить статистику случайной частотной модуляции, надо задаваться конкретным видом потенци- етел ала межмолекулярного взаимо- Ъ действия (это позволяет рассчи- .З) тать дисперсию флуктуаций частоты при межмолекулярных взаимодействиях), физическими го представлениями о времени корреляции частоты.

Поскольку флуктуации частоты в этой за- Р: 0 даче гауссовские, для расчета контура линии можно пользоваться формулой (36). и' Предельные случаи (39) и Ю (45) соответствуют двум сушест- венно различным физическим Сйй ситуациям. Если флуктуации Ю бР частоты медленные (см. (39)), окружение молекулы практически можно рассматривать как Ю статистическое.

Процесс дефаРис. 2.19. Качественная картииа, ха- зировки определяется фактичерактеривуюшая флуктуаиии частоты ски различием собственных колебания ври взаииохебствии двух- частот; форма спектральной аточвыч човек1в в в.ивкоспе линии гауссовская, и наблю- дается картина уширения, аналогичная картин~ допплеровского ушпрения. Напрочив, если флуктуации частоты быстрые (см. (45)), все молекулы находятся в практически идентичных условиях и форма спектральной линии — лоренцевская (ср.

с эффектом столкновительного сужения допплеровской линии). ( оответственно в указанных случаях говорят о неоднородном (овт„ ~~ 1) и однородном (0т„ ~~ 1) уширении спектральной линии. В качестве примера (более подробно см. ,'23]) укажем, что для молекулярных колебаний в жидкостях т„ 1О " с (оно порядка времени между столкновениями) и имеет место однородное уширение. в 8. Импульсные случайные процессы Рассмотрим несколько моделей импульсных случайных процессов.

Одиночный случайный импрльг. Представим себе импульс, форма которого известна и задана функиией г (1), а момент появления (е случаен и меняется от реализации к реалнзании: х (1) = Р (С вЂ” 1а) (2.8.1) 1тб «и импульсные слусыпные процессы и1 одиночный импульс со случайимм ьремеием поивлепннч б1 импульс заданной формы со случайной субстРуктурой х (т) = р (1) Р (тр), где Р (чр) — периодическая функция: Р (ф+2пп) =Р(чр) (и =О, -~-1, -~-2, ), (2.8.5) аргумент которой следующим образом зависит от времени: тр = от»Е+ тр (г).

(2.8.4) В частном случае постоянных р = р„и чр = тро выражение (4) определяет регулярную периодическую последовательность импульсов произвольной формы Р (рис. 2.22, а). При флуктуирующих р(1) и Чз(() эти импульсы будут случайным образом искажены как по высоте, так и по длительности (рис.

2.22, б). Рассмотрим статистические характеристики перечисленных процессов. ') Функция й(т) монет быть комплексной. (рис. 2.20, а)., 1ругой полезной моделью является импульс со случайной субструктурой (рис. 2.20, б): х (() =- Р (() Ц (г). (2.8.2) Здесь Р(1) — заданная регулярная функция времени (плавная огибающая импульса), а а (т) *) — случайный процесс. В оптических задачах в качестве процесса $(1) в (2) часто рассматривается узкополосный оптический шум или его комплексная амплитуда (в так называемых укоро- ЧЕННЫХ ураВНЕНИяХ, СМ. ГЛ.