Главная » Просмотр файлов » С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика

С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 33

Файл №1158187 С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика) 33 страницаС.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187) страница 332019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

4). )рту »ау "у Гау»; ГГ 40 'Таким образом, наглядной моде- )ч, лью импульсного процесса рассматриваемого типа могут быть «вспышки» оптического шума. Случайная импульсная последо- Г Рги еап1ельносгпь. Этот процесс состоит из совокупности импульсов (1): и l х(1) = 'ЯР(( — тр), (2.8.3) р=! б1 Здесь Р ()) — регулярная функт!ия Рис. 2.ль слУчайные импУльсы: времени, описывающая форму одиночного импульса, причемслучайными могут быть как время появления тр каждого импульса, так н полное число импульсов и (рис. 2.21).

Кеазипериодический импульсный процесс. В этом случае !7О ГЛ й МОПЕЛИ СЛУЧДЙНЫХ ПРОПЕССОВ 1Л ПОЛЕЙ Одиночный случайный импульс. Процесс (1) характеризуется средним значением и корреляционной функцией: Р (' — (а) щ ((о) (((ф (2.8.7) хх, = $ Р (( — (о) Р (( + с — (,) и) ((о) (1(о. (2.8.8) В этих выражениях ьу((о) — распределение вероятностей случайного момента (о появления импульса ша' 'ур .,о(О ы.у.я!У! Ю Рис.

2.22. Киазипернодический им- пульсный пропесс: онс. 2 21. Случяйнаи импульсная последовательность х(!), Импульсы имеют одинаковую форму, .а ва«ннкают в случайные моменты времени И задаче а лрабовам шуме диода И 8) тз. киа импульсы тока я(О ((О новинка от при пролете лектсооя от катода к впаду. моменты я« аоя~.сен ° ч сл. айны в сп« сл«чаачостн ) рооесса термозлект)«аон 1 :в та1'кс; т;ыл ««т" кяая. и со) «ма."сы' а) неискаженная оаследоввтеяьвоать прямоутольныя азшульсов( б) те же кмпульсы, искаженные амплиту))ными* н фа«явь кн флшш) аннами. (2.8.10) 6) х Р(1 — (о). Аналогичным образом упрощается и выражение (8): а) хх, — и) (( — ! ) $ Р (О) Р (О + т) ((О, (2.8.11) 6) ххт Р(( — (1)Р((+.т — (;). (2.8 12) А(оменз !" и (11) определ ется пз условия, что при (=!' Произведение Р(!)Р(1+ т) принимает максимальное значение. Предположим, что имоу.тьс Р (() имеет максимум при Р и характеризуется длительностью т„„к, з «импульс» распределения ц)((о) имеет длительность т,, причем льзкспмум ьу((о) приходится на (о.

Как видно из (7), в предельных случаях а) т„„, ссжт, и б) т„„п т, выРа;кение дла х бУдет следУющим: а) х ~з и) (! — Р) $ Р (О) с(О, э 8 импульсные случайныв пгопессы Таким образом, рассматриваемый одиночныи импульс х(() = = Р(( — (,) является, вообще говоря, нестационарным случайным процессом (х и хх, зависят от времени). В частности, для им. пульса гауссовской формы и ири гауссовском распределении йь т. е. при Р (г) = Рэе- »и' (г„„„1/а), (2.8.13) () о — 7= (2.8,!4) х=; '7Р(а)~в.

(2.8.18) хх, = — $ Р (8) Р (О + т) |(О. (2.8.19) Процесс х =Р (( — (,) в этом случае и пределах интервала Т может считаться стационарным. Представим импульс Р (1) в виде интеграла Фурье; Р(()= ~ |р(аэ)е'"'йа. |р( — «э)=|р*(|а); (2.8.20) подставив (20) в (19), получим после интегрирования по и (зто дает 6-функцию) хх.= —, 1 р( ) 'е-'(, 2я т. е. спектральная плотность стационарного случайного процесса типа одиночного случайного импульса равна ~ (~) = т |'г(")| из (7), (8) находим (2.8.15) (2.8,16) Однако если появление импульса равновероятно для любого момента иа достаточно большом интервале и|((а)=1/Т, Т~(„„„, (2 8.17) то среднее значение и корреляционная функция перестают зависеть от времени: )та ГЛ. 2 МОДЕЛИ СЛУЧЛПНЫХ ПРОДДЕССОВ И ПОЛЕИ ,Другим видом случайного процесса типа одиночного импульса является импульс вила (2): А (1) = Г (1) 8 ((), (2.8.22) где г" (1) описывает огибающую импульса и является регулярной функцией времени, "(() — модулирующий случайный стационар.

ный процесс. Процесс (22) при этом иестационарен', например, его дисперсия и корреляционная функция со временем меняются: ол (г) = г (д) йд, А (1) А (1+ т) = Р (1) Р ((+ т) Я,. Однако коэффициент корреляции процесса А ие зависит от формы импульса г" (() и совпадает с коэффициентом корреляции процесса $: )ХА (т) А (() А (д+ т) цд О~ (д) Ол (!+Х) дд =='= г,(т). А (х, у) = Р (х, д) $ (х, у) (например, для распределения поля в поперечном сечении лазерного луча); пространственные коэффициенты корреляции для А и $ совпадают: Ил=Ям Случайная импульсная последовательность. Для простоты бу. дем считать, что каждый импульс в сумме (3) л х (1) ~~ Р (1 (р) Р=! (2.8,23) возникает независимо от остальных.

При этом времена появления (р (р=1, 2, ..., Д) и число импульсов л являются статистически независимыми случайными величинами: де(п, 1„(м ..., („)=нд(п) де((д)...ж(1,), (2.8.24) где все распределения дв((р) одинаковы, и средние (~ (1 — (Р)) = К <р ((+ т — (Р)) = р., (Р (1 (Р) ) (( + т (Р)) РР~ (2.8.25) Таким образом, по виду )хл(т) можно определить форму спектра бе(дэ) случайной модуляции. Аналогичный результат может быть получен и для пространственного импульса: э 3 !!мп«льсные слгчаиные п«оцвссы не зависят от индекса р. Усредняя (23) сначала по 1«, а затем по и, находим ! л х=(~ Р;=пР, «1 (2.8.26) х,= ~ Р,~=пР„ — /" «=1 хх <ХХР(8 1)Р(1+т 1Ф)> ««' =( У РР + 2, 'РР ) = и РТ, +(пз — л) РР„(2.8.28) (2.8.27) !«=«' ««« Р(п) =р"Ч~ "С'„(и =О, 1, ..., Ж), (2.8.32) где (2.8.33) — биномиальные коэффициенты.

(а+ Ь) ' = У и'Ь ' "С!,. (2.8.34) и -0 В (т) = хх, — х хт = и Г Г, + (и' — и — и ) Р Р,. (2.8. 29) Чтобы конкретизировать эти выражения, рассмотрим следующую модель. Пусть т„„„характеризует длительность каждого импульса, а Т вЂ” достаточно большой интервал времени, в течение которого импульсы появляются (Т)~ т„„„) Будем считать, что появление каждого импульса в любой момент времени равновероятно: щ(1,) =1)Т. (2.8.30) Поскольку Т)~т„,„„, то в этом случае средние Р и РР, от времени зависеть практически не будут: Р= — $ Р(О)си=Р„РР,= т 1 Е(В)Г(В+т)сЮ. (2.8.31) Найдем теперь статистику и, соответствующую этой модели. Как бы часто ни следовали друг за другом импульсы, всегда можно представить себе, что ось времени разбита на столь малые интервалы М, что в каждом интервале либо появится всего один новый импульс (с вероятностью р), либо не появится ни одного (с вероятностью д= 1 — р).

Вероятность того, что за й( интервалов появится и импульсов, дается в этом случае формулой Бернулли !ао гл, а модяли слхчхиных пяоцвссов и полян Так как А/Ы = Т, то в пределе И -э-О в полученных соотношениях можно принять А/-э-оо, т, е. и~А/. При этом согласно (32), (33) Сй~й/"/и) и Р (п) ~м р"джей/"/п(, или с точностью до нормировочной постоянной Р (и) а"/и! (а = рй/). (2.8.35) Подставляя (35) в условие нормировки ~ ', Р (л) = 1, находим и 0 окончательно Р(и) е а"/и! (и О, 1,2, ...

). (2.8,36) Распределение (36) называют распределением Пуассона. Для этого распределения и = а. В самом деле, дифференцируя по а ряд получим так что а е- р — = и. „%~ пал .Л~ л! Аналогичным образом могут быть найдены и моменты и более высокого порядка. В частности, л'=а(1+а), так что дисперсия и среднее значение пуассоновской случайной величины п совпадают: о„'- (п') — (п)' = а = (и). (2.8.37) Согласно (36) Р (л+ 1) Р (и) Отсюда следует, что при целочисленных значениях а=т+1 (т=О, 1, 2, ...) наиСюльшими являются вероятности двух значений и: и, =т, п,=т+1, Р(п ) = — Р(п,).

При нецелы х а = т + 1 + в (т = О, 1, 2, ...; О < е < 1) максимальная вероятность соответствует значению п =т+ 1. Таким образом, при а=и)1 зависимость Р(п) от и не является монотонной: вероятности сначала растут, а затем убывают(рнс. 2 23, а). Если а<!, то картина будет другой: вероятности уменьшаются с ростом п (рис. 2,23, б). 18! а а ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЯНЫЕ ПРОЦЕССЫ С увеличением а величина ол/л = 1/)з сх =1/)з л стремится н нулю, распределение Пуассона становится относительно более йми й (Х Реля л "йй 42 гг аг й/ Рис.

2,28. Лиснретное распределение Пуассона при б)! (а! и а(1 (б). узким и переходит в гауссовское. Действительно, используя формулу Стирлинга п) = ( — ) )~ 2 ил '(1 + —,„+ ...) и разложение логарифма !п(1+и)= ч' ( — 1) -! —, т л распределение Пуассона (36),южно переписать как ехр (л — а. л1н (л/сс]! ехр (и (х — [1+х)1н (1-~ х)1) Р (и) ~ —; —— 1' 2лл 1 2лх (1-(-хг) Г ха г" ха , (2.8.38) )г 2нле (1+ к) где х =(и — а)/а= (п — 6)/л — относительное отклонение и от среднего значения. Согласно (38) Р,„= Р (и == сс) 1/)зл2псс. Если )'(х .'1, то существенным в (38) является лишь квадратичный по х член в зксцсненте: „,— аа'М „,— !л — а(лги Р (л) .

=, = Ги (и). (2.8.39) 1' йла )л2лп Мы приходим, таким образом, н Гауссовскому рпс!гре/(еленикт длг)4ат, причем л в (39) можно считать непрерывной переменной !82 ГЛ 2 МОДЕЛИ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕИ (так как максимум гауссовского распределения (39) характеризуется шириной о„=~ а 2 1 и в него попадает много линий дискретного распределения Р (л)).

Распределению Пуассона соответствует характеристическая функция 8(и) =(е'"л) = Ч е'"'Р(п) =е-" 2»2 (ае4")" л! л=О л=О *»!~' — 44= 4~ ~ 4 4, ~, 42.8.404 4»= ! и, как видно из (40), все кумулянты имеют одну и ту же вели- чину й = а (т = 1, 2,,). (2.8.41) Величина относительных кумуляитов будет, однако, зависеть от аит: й ((Ел!2 1(4244422 — ! В частности, если ) а~~»1, то х»4((1(т=3,4, ...) и (40) переходит в характеристическую функцию 8 (и) е — !4» — »!2! соответствующую гауссовскому распределению (39). Подставив (31) и (37) в (26) и (29), получим выражения для среднего значения и корреляционной функции пуассоновской импульсной последовательности: Х = Ое ~ Р (8) Е(8, (2.8,42) В()=а $ Р(8)Р(8+т)е(В (2.8,43) (формулы Кэмпбелла — ср.

с (18), (19)). Здесь введена средняя частота следования импульсов Р = — а~Т = п(7. Коррел ион й функции (43) соответствует спектральная плотность 6(О2) =2пй,44р(О4) ~2, (2.8.44) где 4р(ео) — фурье-образ функции Р((), описывающей одиночный импульс рассматриваемой последовательности (ср, с (18) — (20)), Характеристическая функция импульсного процесса (23) равна 8(и)= ехр 244 . Р(! — („)), / е)! а В ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ или, г учетом выражения (30), П (вр),'нРи) (2.8.45) где усреднение производится по ансамблю значений а, а Г!2 — евиг (в — вч 2((' ! Т (2.8.46) !2 В случае пуассоновской статистики п имеем О(и)= у (1" — "=е !а-'!= л! п=п Г!2 *р(П ! ! т — ' — пвр'( раа.врр — гвг Если длительность отдельного импульса мала (по сравнению с Т), то формулу (47) можно переписать как рв /=.*р(п ! вр" ' — р)вр(.

(2.8,48) — рп Разлагая показатель экспоненты в ряд Тейлора по и, получим тр рп В(и)=ЕХР !) ~ — З! Гт(а) 2(6, ха (!и)т Г рп! и=! р т. е. кумулянты импульсного пуассоновского процесса равны й„=а ~ р (а) (е, (2.8.49) Величину кумулянтов (49) можно оценить как т (вт ррв таа пмпр где т„„п-длительность импульса, г",„— его пиковое значение. Отсюда находим оценку для относительных кумулянтов: й ! т Рт атВ2 !! )т!г-!' (2.8.50) Итак, внд характеристической функции (48) импульсного процесса и, следовательно, распределение вероятностей определяются частотой следования импульсов и их формой. Оценка (50) показывает, что, если в течение времени, пока длится один импульс, появляется достаточно много новых импульсов, т. е.

в предельном случае (2.8.51) (Йт ) "2 ~ 1 184 ГЛ З МОДЕЛИ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛВИ основную роль играют лишь два первых кумулянта и распределение вероятностей прнблихкенно будет гауссовским, В общем случае из(д) имеет вид фуры-образа характеристической функции (48): <*>- — [, в [(о 1 !«" — цзн †.*([з . !в.в.вв> 1 2п Квазиперноднчесинй импульсный процесс [5[. Стационарную квазипериодн- ческую последовательность импульсов можно представить как $(б=р(!)" (ф). ф = ф Я = ыв? + ф Я вЂ” и ( ф (!) ~ и, (2.8.53) где г" (ф) г(ф+2и) — регулярная периодическая функция ф, а р и ф — случайные стационарные функции, которые, по аналогии с (2,3.1), можно назвать ногибаюшейв и вфазойв. В случае фиксированных р и <р процесс $ имеет тот же вид, что и периодическая функция )в (см.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6501
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее