С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 33
Текст из файла (страница 33)
4). )рту »ау "у Гау»; ГГ 40 'Таким образом, наглядной моде- )ч, лью импульсного процесса рассматриваемого типа могут быть «вспышки» оптического шума. Случайная импульсная последо- Г Рги еап1ельносгпь. Этот процесс состоит из совокупности импульсов (1): и l х(1) = 'ЯР(( — тр), (2.8.3) р=! б1 Здесь Р ()) — регулярная функт!ия Рис. 2.ль слУчайные импУльсы: времени, описывающая форму одиночного импульса, причемслучайными могут быть как время появления тр каждого импульса, так н полное число импульсов и (рис. 2.21).
Кеазипериодический импульсный процесс. В этом случае !7О ГЛ й МОПЕЛИ СЛУЧДЙНЫХ ПРОПЕССОВ 1Л ПОЛЕЙ Одиночный случайный импульс. Процесс (1) характеризуется средним значением и корреляционной функцией: Р (' — (а) щ ((о) (((ф (2.8.7) хх, = $ Р (( — (о) Р (( + с — (,) и) ((о) (1(о. (2.8.8) В этих выражениях ьу((о) — распределение вероятностей случайного момента (о появления импульса ша' 'ур .,о(О ы.у.я!У! Ю Рис.
2.22. Киазипернодический им- пульсный пропесс: онс. 2 21. Случяйнаи импульсная последовательность х(!), Импульсы имеют одинаковую форму, .а ва«ннкают в случайные моменты времени И задаче а лрабовам шуме диода И 8) тз. киа импульсы тока я(О ((О новинка от при пролете лектсооя от катода к впаду. моменты я« аоя~.сен ° ч сл. айны в сп« сл«чаачостн ) рооесса термозлект)«аон 1 :в та1'кс; т;ыл ««т" кяая. и со) «ма."сы' а) неискаженная оаследоввтеяьвоать прямоутольныя азшульсов( б) те же кмпульсы, искаженные амплиту))ными* н фа«явь кн флшш) аннами. (2.8.10) 6) х Р(1 — (о). Аналогичным образом упрощается и выражение (8): а) хх, — и) (( — ! ) $ Р (О) Р (О + т) ((О, (2.8.11) 6) ххт Р(( — (1)Р((+.т — (;). (2.8 12) А(оменз !" и (11) определ ется пз условия, что при (=!' Произведение Р(!)Р(1+ т) принимает максимальное значение. Предположим, что имоу.тьс Р (() имеет максимум при Р и характеризуется длительностью т„„к, з «импульс» распределения ц)((о) имеет длительность т,, причем льзкспмум ьу((о) приходится на (о.
Как видно из (7), в предельных случаях а) т„„, ссжт, и б) т„„п т, выРа;кение дла х бУдет следУющим: а) х ~з и) (! — Р) $ Р (О) с(О, э 8 импульсные случайныв пгопессы Таким образом, рассматриваемый одиночныи импульс х(() = = Р(( — (,) является, вообще говоря, нестационарным случайным процессом (х и хх, зависят от времени). В частности, для им. пульса гауссовской формы и ири гауссовском распределении йь т. е. при Р (г) = Рэе- »и' (г„„„1/а), (2.8.13) () о — 7= (2.8,!4) х=; '7Р(а)~в.
(2.8.18) хх, = — $ Р (8) Р (О + т) |(О. (2.8.19) Процесс х =Р (( — (,) в этом случае и пределах интервала Т может считаться стационарным. Представим импульс Р (1) в виде интеграла Фурье; Р(()= ~ |р(аэ)е'"'йа. |р( — «э)=|р*(|а); (2.8.20) подставив (20) в (19), получим после интегрирования по и (зто дает 6-функцию) хх.= —, 1 р( ) 'е-'(, 2я т. е. спектральная плотность стационарного случайного процесса типа одиночного случайного импульса равна ~ (~) = т |'г(")| из (7), (8) находим (2.8.15) (2.8,16) Однако если появление импульса равновероятно для любого момента иа достаточно большом интервале и|((а)=1/Т, Т~(„„„, (2 8.17) то среднее значение и корреляционная функция перестают зависеть от времени: )та ГЛ. 2 МОДЕЛИ СЛУЧЛПНЫХ ПРОДДЕССОВ И ПОЛЕИ ,Другим видом случайного процесса типа одиночного импульса является импульс вила (2): А (1) = Г (1) 8 ((), (2.8.22) где г" (1) описывает огибающую импульса и является регулярной функцией времени, "(() — модулирующий случайный стационар.
ный процесс. Процесс (22) при этом иестационарен', например, его дисперсия и корреляционная функция со временем меняются: ол (г) = г (д) йд, А (1) А (1+ т) = Р (1) Р ((+ т) Я,. Однако коэффициент корреляции процесса А ие зависит от формы импульса г" (() и совпадает с коэффициентом корреляции процесса $: )ХА (т) А (() А (д+ т) цд О~ (д) Ол (!+Х) дд =='= г,(т). А (х, у) = Р (х, д) $ (х, у) (например, для распределения поля в поперечном сечении лазерного луча); пространственные коэффициенты корреляции для А и $ совпадают: Ил=Ям Случайная импульсная последовательность. Для простоты бу. дем считать, что каждый импульс в сумме (3) л х (1) ~~ Р (1 (р) Р=! (2.8,23) возникает независимо от остальных.
При этом времена появления (р (р=1, 2, ..., Д) и число импульсов л являются статистически независимыми случайными величинами: де(п, 1„(м ..., („)=нд(п) де((д)...ж(1,), (2.8.24) где все распределения дв((р) одинаковы, и средние (~ (1 — (Р)) = К <р ((+ т — (Р)) = р., (Р (1 (Р) ) (( + т (Р)) РР~ (2.8.25) Таким образом, по виду )хл(т) можно определить форму спектра бе(дэ) случайной модуляции. Аналогичный результат может быть получен и для пространственного импульса: э 3 !!мп«льсные слгчаиные п«оцвссы не зависят от индекса р. Усредняя (23) сначала по 1«, а затем по и, находим ! л х=(~ Р;=пР, «1 (2.8.26) х,= ~ Р,~=пР„ — /" «=1 хх <ХХР(8 1)Р(1+т 1Ф)> ««' =( У РР + 2, 'РР ) = и РТ, +(пз — л) РР„(2.8.28) (2.8.27) !«=«' ««« Р(п) =р"Ч~ "С'„(и =О, 1, ..., Ж), (2.8.32) где (2.8.33) — биномиальные коэффициенты.
(а+ Ь) ' = У и'Ь ' "С!,. (2.8.34) и -0 В (т) = хх, — х хт = и Г Г, + (и' — и — и ) Р Р,. (2.8. 29) Чтобы конкретизировать эти выражения, рассмотрим следующую модель. Пусть т„„„характеризует длительность каждого импульса, а Т вЂ” достаточно большой интервал времени, в течение которого импульсы появляются (Т)~ т„„„) Будем считать, что появление каждого импульса в любой момент времени равновероятно: щ(1,) =1)Т. (2.8.30) Поскольку Т)~т„,„„, то в этом случае средние Р и РР, от времени зависеть практически не будут: Р= — $ Р(О)си=Р„РР,= т 1 Е(В)Г(В+т)сЮ. (2.8.31) Найдем теперь статистику и, соответствующую этой модели. Как бы часто ни следовали друг за другом импульсы, всегда можно представить себе, что ось времени разбита на столь малые интервалы М, что в каждом интервале либо появится всего один новый импульс (с вероятностью р), либо не появится ни одного (с вероятностью д= 1 — р).
Вероятность того, что за й( интервалов появится и импульсов, дается в этом случае формулой Бернулли !ао гл, а модяли слхчхиных пяоцвссов и полян Так как А/Ы = Т, то в пределе И -э-О в полученных соотношениях можно принять А/-э-оо, т, е. и~А/. При этом согласно (32), (33) Сй~й/"/и) и Р (п) ~м р"джей/"/п(, или с точностью до нормировочной постоянной Р (и) а"/и! (а = рй/). (2.8.35) Подставляя (35) в условие нормировки ~ ', Р (л) = 1, находим и 0 окончательно Р(и) е а"/и! (и О, 1,2, ...
). (2.8,36) Распределение (36) называют распределением Пуассона. Для этого распределения и = а. В самом деле, дифференцируя по а ряд получим так что а е- р — = и. „%~ пал .Л~ л! Аналогичным образом могут быть найдены и моменты и более высокого порядка. В частности, л'=а(1+а), так что дисперсия и среднее значение пуассоновской случайной величины п совпадают: о„'- (п') — (п)' = а = (и). (2.8.37) Согласно (36) Р (л+ 1) Р (и) Отсюда следует, что при целочисленных значениях а=т+1 (т=О, 1, 2, ...) наиСюльшими являются вероятности двух значений и: и, =т, п,=т+1, Р(п ) = — Р(п,).
При нецелы х а = т + 1 + в (т = О, 1, 2, ...; О < е < 1) максимальная вероятность соответствует значению п =т+ 1. Таким образом, при а=и)1 зависимость Р(п) от и не является монотонной: вероятности сначала растут, а затем убывают(рнс. 2 23, а). Если а<!, то картина будет другой: вероятности уменьшаются с ростом п (рис. 2,23, б). 18! а а ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЯНЫЕ ПРОЦЕССЫ С увеличением а величина ол/л = 1/)з сх =1/)з л стремится н нулю, распределение Пуассона становится относительно более йми й (Х Реля л "йй 42 гг аг й/ Рис.
2,28. Лиснретное распределение Пуассона при б)! (а! и а(1 (б). узким и переходит в гауссовское. Действительно, используя формулу Стирлинга п) = ( — ) )~ 2 ил '(1 + —,„+ ...) и разложение логарифма !п(1+и)= ч' ( — 1) -! —, т л распределение Пуассона (36),южно переписать как ехр (л — а. л1н (л/сс]! ехр (и (х — [1+х)1н (1-~ х)1) Р (и) ~ —; —— 1' 2лл 1 2лх (1-(-хг) Г ха г" ха , (2.8.38) )г 2нле (1+ к) где х =(и — а)/а= (п — 6)/л — относительное отклонение и от среднего значения. Согласно (38) Р,„= Р (и == сс) 1/)зл2псс. Если )'(х .'1, то существенным в (38) является лишь квадратичный по х член в зксцсненте: „,— аа'М „,— !л — а(лги Р (л) .
=, = Ги (и). (2.8.39) 1' йла )л2лп Мы приходим, таким образом, н Гауссовскому рпс!гре/(еленикт длг)4ат, причем л в (39) можно считать непрерывной переменной !82 ГЛ 2 МОДЕЛИ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕИ (так как максимум гауссовского распределения (39) характеризуется шириной о„=~ а 2 1 и в него попадает много линий дискретного распределения Р (л)).
Распределению Пуассона соответствует характеристическая функция 8(и) =(е'"л) = Ч е'"'Р(п) =е-" 2»2 (ае4")" л! л=О л=О *»!~' — 44= 4~ ~ 4 4, ~, 42.8.404 4»= ! и, как видно из (40), все кумулянты имеют одну и ту же вели- чину й = а (т = 1, 2,,). (2.8.41) Величина относительных кумуляитов будет, однако, зависеть от аит: й ((Ел!2 1(4244422 — ! В частности, если ) а~~»1, то х»4((1(т=3,4, ...) и (40) переходит в характеристическую функцию 8 (и) е — !4» — »!2! соответствующую гауссовскому распределению (39). Подставив (31) и (37) в (26) и (29), получим выражения для среднего значения и корреляционной функции пуассоновской импульсной последовательности: Х = Ое ~ Р (8) Е(8, (2.8,42) В()=а $ Р(8)Р(8+т)е(В (2.8,43) (формулы Кэмпбелла — ср.
с (18), (19)). Здесь введена средняя частота следования импульсов Р = — а~Т = п(7. Коррел ион й функции (43) соответствует спектральная плотность 6(О2) =2пй,44р(О4) ~2, (2.8.44) где 4р(ео) — фурье-образ функции Р((), описывающей одиночный импульс рассматриваемой последовательности (ср, с (18) — (20)), Характеристическая функция импульсного процесса (23) равна 8(и)= ехр 244 . Р(! — („)), / е)! а В ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ или, г учетом выражения (30), П (вр),'нРи) (2.8.45) где усреднение производится по ансамблю значений а, а Г!2 — евиг (в — вч 2((' ! Т (2.8.46) !2 В случае пуассоновской статистики п имеем О(и)= у (1" — "=е !а-'!= л! п=п Г!2 *р(П ! ! т — ' — пвр'( раа.врр — гвг Если длительность отдельного импульса мала (по сравнению с Т), то формулу (47) можно переписать как рв /=.*р(п ! вр" ' — р)вр(.
(2.8,48) — рп Разлагая показатель экспоненты в ряд Тейлора по и, получим тр рп В(и)=ЕХР !) ~ — З! Гт(а) 2(6, ха (!и)т Г рп! и=! р т. е. кумулянты импульсного пуассоновского процесса равны й„=а ~ р (а) (е, (2.8.49) Величину кумулянтов (49) можно оценить как т (вт ррв таа пмпр где т„„п-длительность импульса, г",„— его пиковое значение. Отсюда находим оценку для относительных кумулянтов: й ! т Рт атВ2 !! )т!г-!' (2.8.50) Итак, внд характеристической функции (48) импульсного процесса и, следовательно, распределение вероятностей определяются частотой следования импульсов и их формой. Оценка (50) показывает, что, если в течение времени, пока длится один импульс, появляется достаточно много новых импульсов, т. е.
в предельном случае (2.8.51) (Йт ) "2 ~ 1 184 ГЛ З МОДЕЛИ СЛУЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛВИ основную роль играют лишь два первых кумулянта и распределение вероятностей прнблихкенно будет гауссовским, В общем случае из(д) имеет вид фуры-образа характеристической функции (48): <*>- — [, в [(о 1 !«" — цзн †.*([з . !в.в.вв> 1 2п Квазиперноднчесинй импульсный процесс [5[. Стационарную квазипериодн- ческую последовательность импульсов можно представить как $(б=р(!)" (ф). ф = ф Я = ыв? + ф Я вЂ” и ( ф (!) ~ и, (2.8.53) где г" (ф) г(ф+2и) — регулярная периодическая функция ф, а р и ф — случайные стационарные функции, которые, по аналогии с (2,3.1), можно назвать ногибаюшейв и вфазойв. В случае фиксированных р и <р процесс $ имеет тот же вид, что и периодическая функция )в (см.