С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 37
Текст из файла (страница 37)
А и 5(1) — .У, алсоз(пг„(+1р.) = У, алсозФл, (210 1) л 1 а=1 — П ~ 1Р„< П, (2.10. 2а) и статистически независимы; '"(~ р' " р )=П (р.). л 1 (2. 10. 2б) Обратимся сначала к случаю равных частот мод (в!=па,= = ... =-ыа,= пг,).
В дальнейшем в этом разделе мы следуем классической работе Рэлея 1131. Полагая для простоты также амплитуды мод одинаковыми (ал=а), соотношение (1) запишем в виде Я (() = а ~ сои Фл = Р сои (ыа(+ 1Р) = Р соз Ф. (2. 103) л 1 спектр которого показан на рис. 2.31, Будем считать, что амплитуды мод ал постоянны, а фазы распределены равномерно: в(1Рл) =1!2п, $!О МНОГОМОДОВАЯ МОДЕЛЬ СЛУЧАПНОГО ПРОЦЕССА 2О! В декартовой системе координат колебание с заданными амплитудой р и фазой Ф изображается точкой (х, у) (рис.
2.32): х=рсояФ, у=ря(пФ. Вся совокупность возможных значений $(1) определяется некоторым распределением точек в плоскости х, у. Заметим, что величины х и у аналогичныквадратурным компонентам случайного колебания у (см. 5 3). Введем функцию распределения в (Л'. х, у) для результирующего колебания с амплитудой р и фазой Ф при наличии У мод. По опреде- ,р лению в (У; х, у) с(х с(у есть вероятность того, Ф что точка будет найдена в пределах бесконечно малой площадки о(х!(у, Добавим к У модам еще одну моду с фазой ф.
Колебание, которое представляется точкой (х, у), до прибавления моды должно, очевидно, изображаться точкой х'=х — асояф у'=у — ая(птр. Рис. 2.32. 21иаграмма суммирования мод с одииаиовыми амплитудами и случайными фазами. Результирующее ап.
леааиие имеет амплитуду р(О и фазу Ф(п. В силу случайности фазы ф полная вероятность найти точку на площадке с(хс(у равна с(х с(у ~ в (У; х', у') 2ф . о Полученное выражение следует приравнять в(У-1-1; х, у)с(хс(у, так что в (У+ 1; х, у) = ~ в (У; х', у') Йр)2п. (2.10.4) о Разложим в(У; х', у') в ряд Тейлора: дта дтв в(У; х — асоятр, у — ая)пф)млв(х, у) — а — сояф — а — я2пф+ ! Гдето, дев . з дтв + — а'~ — соязтр+ -- я(нотр+2 — я(персов ар~+ ... 2 (дха дуз дх ду Тогда от! в(У; х'. у') — =в(У; х, у)+ — а'~ — + — з!. дф, ! ! сии! доз 2п ' ' 4 (дхз дуз 1' о При большом числе У мод можно также использовать разложение в(У+1; х, у) =ы>(У; х, у)+ 202 Гл т модели случАйных ЙРОцессов и полин Таким образом, вместо интегрального уравнения (4) мы получаем дифференциальное Очевидно, что при У =0 и!(О; х, у) =О, за исключением точки (х О, у=О), Решением уравнения (5), удовлетворяющим этому условию и условию нормировки +Со ~ ~ н!(У; х, у) ах!(у=1, (2.10.5) является двумерное гауссовское распределение ц!(У; х, у) =(ЛУа')-!ехр~ — — +У-~ (2.
10. 6) с дисперсией ОА= Уа')2. Уравнение (5) аналогично уравнению Фоккера — Планка (1.7.44), причем число мод У эквивалентно времени Г. Результат (6) не является неожиданным, поскольку процесс 1 (Г) рассматривался нами как совокупность статистически несвязанных н, следовательно, некоррелнрованных между собой колебаний (т. е. были выполнены условия ЦПТ вЂ” см. Э 2 гл. 1). Напомним, что для функции распределения (6) и записи колебания в виде (3) огибаю!цая р подчиняется распределению Рэлея (2.4.6): ц! (р) — (р!Ол) е — ля ел' (р ~ 0) л!=1-!( Х -*л)'-Пл!!-.*..!!-П !-.!.
=! л=! л=! Здесь 0(па„) — характеристическая функция одной моды: а (Оа„) = (ЕХР (Раа„СОЗ Фл)) = — ехР (!Оа» соз (ы~Г+'Р~)) "Ф = Гл (Оал)~ 1 — л Выражение (6) представляет собой асимптотическое распределение суперпозицни У мод с одинаковыми частотами при У- со, Покажем теперь, что и в общем случае разных частот мод функция распределения колебания (1) при У- ОО сходится к гауссовской. Удобный способ нахождения функции распределения и!("=) случайного процесса (1) основан на расчете его характеристической функции 9 (О) = (ец'). Подстановка в это соотношение выражения (1) дает % !к многомодовхя модяль слгчхпного ппоцяссл 203 Ха(х) — функция Бесселя нулевого порядка от действительного аргумента.
Таким образом, характеристическая функция случайного процесса $(1) в целом равна (2. 10.7) Функция распределения и!(К) находится из (?) с помощью фурье- преобразования: СО и!(ц= — ~ 9(п)е-"ь!(и. — ОЭ Для вычисления н!(5) воспользуемся следующим приемом. Из (1) следует, что значения $ лежат в интервале — А($ =А, А=~,'а„ Поэтому и!($) можно разложить в ряд Фурье". и!5)= ~ сьехр( — !'— „$), где коэффициент А Отсюда следует, что коэффициент с„с точностью до множителя (2А)-' представляет собой значение характеристической функции процесса $ для величины лй)А.
Для распределения !аЯ) в результате получаем Изменение распределения и!(я) с изменением числа мод Ж показано на рис. 2.33. Из рисунка видно, что распределение супер- позиции двух мод существенно отличается от распределения для одной моды. С ростом числа мод У распределение и!($) стремится к гауссовскому. Чтобы убедиться в этом, найдем сначала закон распределения функции !) (() = у-!м- ((). (2.10.9) 204 ГЛ.Я.МОДЕЛИ СЛУЧАПНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕИ Лля простоты опять считаем амплитуды мод одинаковыми, а„= а.
Характеристическая функция случайного процесса т)(1) при этом равна йя (о) = (, (ао/У д(), (2. 10. 10) Преобразуем функцию Оч(о), используя разложение функции Бесселя: в 1 (2. 10. 1 1) Переходя к пределу й(,» 1, получаем !Пй (и) (аи)в (ао)' 4 64М' или 3, (О)"- ехр ~ — ( 4) ) ~1 — ~,„,Д. Отсюда следует, что функция распределения процесса (9) имеет вид ги(т))- ( ехр ~ — ®[1 — — Н, Я где Н, (х» — полипом Эрмита. Распределение пг(т)) симметрично. Однако при конечном числе ))( оно более плоское, чем гауссовское распределение (рис.
2.34). В пределе при ))(-+ Оо распределения ги(т)) и ги($) — гауссовские Рнс. 2.33. Функции распределения для одномодового поля и двухмодового поля со статистически независимыми модами !)41, Пуиктприоя крпвоа ивобрвжеио гвуссовсксв рвспредевеиие. Рис. 2.34. Функция распределения случайного процесса е)(Г)=М ~ Е(Г) для М-и -и со ()) и Ас = 5 (2). 4 ю. многомодовая модиль случлиного процесса 205 (ср. с (6)): 1 гдд (й) = ехр ( — ' — ), о' = й(о*„= —. (2.10.12) -) 2цо Этот результат, как и ранее полученная формула (6), является следствием центральной предельной теоремы, рассмотренной в гл. 1. Следует подчеркнуть, что функция распределения (12) получена без каких-либо ограничений на соотношение между частотами мод и, следовательно, применима как для узкополосного, так и для широкополосного спектра колебания (1). Вж (о)= 4' (по).
(2.10.14) В соответстиии с (13) и (14) моменты Ят) выражаются через производные от функции Бесселя дд (ап). Пользуясь разложением (11), находим 21 т1(0)= = — 1)т ', д'1 ~+ )(О =О, 2.10,1 где т=!, 2, ... Первая производная от функции (14) равна азл~ (и) пэдд г(до (оп) пза(п") и Л,э,о) сЬ п,(а оо !д з' оо Для четной производной на основании формулы Лейбнипа получаем д та (и) жчт пРВ (о) и' т Рд' (ап) )у чт лотт Лм зт — ! г(ар Ипат-и р=з где С означает сочетания. Из последнего соотношения в силу (15) имеем азтВ (о) гРчВд !( Из па ~'уо (ао) =Л Усз Ипат )д=з ~ зт ' лпзд !с=о лоача т ~и=о' д=з Таким образом, согласно (15), (15) и (13) моменты случайного процесса (1) удовлетворяют рекуррентному соотношению т — ! (тат(511) Л! '()! Стд (тзд (Лг 1, ) о'' -д' 12(т — д)1! д-д (2.10.!б) Моменты многомодового колебания.
Рассмотрим моменты случайного процесса (1) Для предельного случая Лг — со, т. е. для гауссовского распределения, расчет моментов дан в В 2 настоящей главы. Для конечного числа мод )у моменты распределения (8) можно вычислить с полющью характеристической функции (7), при этом моменты процесса (1) (Зм)=! ~ ~, т=!, 2, ... с(ФВ (и) (2.10.13) опт а=а Вследствие симметрии функпии распределения ю(5) (8) нечетные моменты процесса 5(!) равны нулю. Для расчета четных моментов воспользуемся характеристической функцией (7) в случае равных амплитуд мод и введем для нее обозначение 208 гл.
т, мОдели случдиных процессов и полеи Число й( в аргументе случайной функции $(!у. Г) указывает на число мод, из которых образуется рассматриваемый процесс. Из соотношения (!7) следует, что высшие моменты случайного процесса определяются через моменты более низкого порядка для процесса с меньшим числом чод, Выпишем несколько моментов процесса (1): (е»()У; !)>=- >Уо =!, (Е«()У; 1)> 3() ) 7» 1 1 г)у) (Е«>=3 3(! — - — + — ) 7», 3 2 2й) ЗМ~ (2.10.18) (й»> = 3 б . 7 1 — .! 74 9 А) 11! 8А! !2,Ч» 8)У») Как и следовало ожидать, значения моментов (18) при (у-»со совпадают со значениями моментов для гауссовского случайного процесса (2.2.2). Однако при конечном числе мод М Различие значений высших ьюментов и соответствующих моментов гауссов~кого процесса растю с увеличением номера момента.
Так, десятипроцентное отклонение моментов («4> и (Е«> (18) от значений для гауссовского процесса достигается соответ- дю огненно при Ч=б и й( 20. Сказанное означает, что интерпретация многочастотного колебании (1) с постоянными амплитудами и статистически независимыми фазами (2) как гауссовского случайного процесса зависит от числа мод колебания н номера момента. К этому вопросу мы еще вернемся. Сейчас обратимся непосредственно к гауссовскому процессу. Многомодовая модель стационарного гауссовского шума. Пусть е(()— узкополосный стационарный гауссовский процесс: Ф $ (!) = р (() соз Гсоа!+ ~Р (!)). (2.! О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
