С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 41
Текст из файла (страница 41)
овр„— — У овв — 2а' < овт ( о1о При этом 4сде' ' (3.2.27) Уменьшение резонансной кривой в два раза по сравнению с максимальным значением приходится на частоты овз, а =" г~~сорев -1- 2аоввв в (3.2.28) Анализ выражения (26) показывает, что наиболее сильный отклик контура соответствует резонансной частоте 22З Гл. а. шумОВые кОлеБАния В линейных системАК а площадь под кривой равна 4еез ' о (3.2.29) Корреляционная функция (11а), соответствующая действию на контур белого шума, имеет вид 1 1 е~мт с)е 2тс,) (е1 — ее)з+ 4ссзсоз е мт~ т а — (соз ест+ — з(п етт).
(3.2.30) 4~1 А а Ь пер,о рео А а Ь ео (3.2.33) Представление узкополосного процесса в виде (33) широко используется в радиофизике и оптике, так как это обычно существенно упрощает математическое решение задачи. Дело в том, что для функций А, а и Ь могут быть получены приближенные (так ") дооротностью контура назыааетсн Безразмероып параметр ()=ее/2а. С уменьшением параметра а, связанного с активными потерями в контуре, резонансная кривая делается более высокой и узкой.
Из приведенных выше выражений с точностью до величин первого порядка по сс/сор~1 и при е ере находим 1 аз'1 / аа) е, ее~1 — — — ) ео, со — соо(1 — — )=ее 2 еа) Реа о О 1 (К (е) 1еаа 4азез еа. з ео -+- сс 4сс ео 3 1 Г ! 1 4е) ((е — оз )о+а + (е+ео)~+аз ~' ( ' ' 1) Высокодобротный*) Я~1) резонансный контур будет выделять из спектра входного шума ту область, которая расположена около резонансной частоты ер„ото в пределах относительно узкой полосы, приблизительно равной «соре =ма — ее=2а 4,*ее.
(3.2.32) Анализ вынужденных колебаний с помощью укороченных уравнений. Если узкополосный процесс х(/) на выходе контура записать через комплексную амплитуду А (() или квадратурные компоненты а(() и Ь((), то А, а и Ь будут медленными функциями времени: х (/) = А (() е'"" + к. с. = а (/) соз еа/ — Ь (/) н( п ото(, % О ОТКЛИК ЛИНЕННОП СИСТЕМЫ НА ШУМ 7 (() = Р (() е'"" + к. с. „ (3.2.35) подставив (34), (35) в (20), (21), получим точное уравнение для А: А + 2аА+ 2иоо (А +аА) = Р (1).
(3.2.35) Оно не проще, чем уравнения (20), (21), однако мы еще не воспользовались предполагаемой медленностью А(1). Учитывая это, приходим к следующим оценкам: А аА, А а'А, А + 2аА аоА, 2иоо(А+аА) оэоаА. Следовательно, первые два члена в (36) в оэа/а~ 1 раз меньше остальных и нми можно пренебречь. В результате получаем укороченное уравнение А+аА = 2аэоэ (3.2.37) порядок которого на единицу меньше порядка исходного уравнения, которому удовлетворяет функция х. Корреляцээонные характеристики комплексной амплитуды Р(1) в (37) связаны с характеристиками силы )(() (35): если 7(1) — вещественный стационарный квазигармонический случайньш процесс, причем <7") =О, <)о) =о', <эоэоо) = <эоэоо) = оо (Р (т) сОз оэат+ э) (т) зэп оэат], <Р) — О, <РР,) — О, <РР > = — о, <РР,*) = о'(р (т) — эоэ (т)1 (3.2.38) (3.2.39) называемые укороченные) дифференциальные уравнения, более простые, чем уравнение для х, что связано с медленностью этих функций.
Иногда укороченные уравнения выписываются не для одной комплексной функции А, а для однозначно связанных с ней двух вещественных функций: огибающей р и фазы эр илн квадратурных компонент а и Ь: А =реэо=а+(Ь. Рассмотрим методику вывода укороченных уравнений иа примере колебательного контура. Дифференцируя (ЗЗ), находим х = (А + (оэоА) е'""+ к. с., х = (А + 2(оэоА — оэ*,А) еш'+ к. с., так что х+2ах+оэах=(А+2аА+2эоэо(А+аА)1еэаь'+к.
с. (3.2.34) Записав правую часть уравнений (20), (21) в виде, аналогичном (33): 230 ГЛ. 3 ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЛНЫХ СИСТЕМАХ (см. (2.3.20)). Аналогичное соответствие существует между спект- ральными характеристиками Р и 7": если г(() ~ г Фоис(< (гг ) ~ б ( ) -~атг( (Я„) =6(ш) 6 (ы+ш'), ф,ф) =0(ш) 6(ы — ш'), (3.2.40) то Р(1)= ~ Р„е'"'Ны, (РР;)= ~ бе(ы)е-' тйо, (3.2.41) (РМР,*„) бе(ы) 6 (ш — ы'), (РМР„) =О, (3.2.42) где бе(ы) ='/,(('(ы„+ы) — смещенный на ы„спектр по положительным частотам силы ( (см. (2.3.21)).
Подобными же соотношениями связаны процесс х(() и его комплексная амплитуда А. Используем теперь эти соотношения при решении уравнения (37). Если представить А и Р в виде интегралов Фурье (41), то получим 2а(ЫО (ио+ а) Отсюда согласно (42) следует соотношение между спектральными плотностями на входе и выходе контура 6Е(а) 4аа1 (АГ+ае) (3.2.43) В общем случае бл (ы) = ( К (ш) (э Ое (ы) (3.2.44) где К (ш) — частотная передаточная функция, соответствующая уко оченному уравнению. 5 братим внимание еще на одно обстоятельство. Если бе(ы) как функция ы меняется медленнее, чем |К(ы)('„то без большой погрешности можно заменить в (44) Ое(ы) на бе(0), что эквивалентно замене Р(() в укороченном уравнении на 6-коррелированный случайный процесс — белый шум.
В частном случае (43) для такой замены необходимо, чтобы спектр бе(ы) мало менялся при изменении ы на величину порядка а (т. е, в пределах резонансной кривой контура). Это же условие можно, очевидно, сформулировать иначе: время корреляции комплексной амплитуды входного шума должно быть достаточно малым по сравнению со временем релаксации свободных колебаний в контуре. Установление шумовых колебаний в линейном осцилляторе— пример нестационарного случайного процесса. Лля описания нестационарпых эффектов, например случайных переходных про. цессов, удобно использоваеь временной подход и исходить 231 $ К ОТКЛИК ЛИНЕННОН СИСТЕМЫ НА ШУМ из (3.1.18): х(() =$ й (В))(1 — В) с(В. о (3.2.45) Предположим, что стационарный шум $(1) (В=О, Ц,=В,„(т)) начал действовать на систему в момент 1= О. Полагая в (45) ) (0 = 1 (1) $ Щ, получим х (1) = $ й (В) Ц (( — В) с(В.
(3.2.46) о Если линейная система устойчива, 1пп Ь(В) О, то с течением евременн дисперсия (47) будет приближаться к своему установившемуся значению: о*.„„= Г)()с(В с(ВЪ (В) й (В') В„„( — В') = о ~ (со) ~ ~вв (со) с(со. (3.2. 48) Как пример рассмотрим эволюцию во времени дисперсии шума на выходе колебательного контура, на который при 1 0 начал действовать белый шум. Полагая в (47) В„(т) ОЛ6,„6 (т) и й (В) = — е-оо з! п совВ (см.
(23)), получим 1 овв о' (1)= л" * — ~'* ' ( 1 + ' 2 '1 2 '~~ 3.2.40) «ос в = 2аОВв в2ОВв 'Г а сов В случае контура с малыми потерями можно пренебречь малыми осциллирующими членами порядка а/сов С,'1; при этом а,'„„(г) = о', „(1 — е-о"), (3.2.50) где о,'„„ †стационарн значение дисперсии (48): Л вв Оввв = 2аоввв (3.2.51) Выражение (50) показывает, что время «установления стационар- ностсьв выходного шума — порядка времени затухания свободных колебаний (сг').
Дисперсия шумовых колебаний на выходе системы в этом случае будет зависеть от времени: возводя (45) в квадрат и усредняя, найдем ! о,'„„(1) = х = $ $ с(В с(В'(с (В) (с (В') В,„( — В'). (3.2.47) о 232 Гл. 3, шумОВые кОлеБАния В линеиных системАК Рис.
3.7. Иллюстрация условий зф фективного сглаживания стационар ного шума на спектральном языке. ~ б(ш))К(го)(ве( . (3.2.53) Сравнивая (52) и (53), можно оценить эффективное время усреднения фильтра: Т 2 а (О) (3.2.54) О (ш) / )( (ш) )' бш Как следует из (54), величина Т,ФФ зависит как от вида фильтра, так и от формы спектра шума.
В частности, если входной шум можно считать белым и в качестве усредняющего устройства взять )сС-фильтр, то получим Твев = 2Т, где Т=)гС вЂ” постоянная времени )гС-фильтра (см. (17)). Белый шум и «черный ящика (корреляционная идентификация линейных систем). Структура линейной системы полностью определяется коэффициентом передачи К(ш) или функцией Грина л(3), Линейная система как усредияющее устройство. Рассмотренную в 3 4 гл. 1 операцию временного усреднения можно интерпретировать как прохождение случайного процесса через линейный фильтр (идеальный интегратор) с частотной характери(зую)(т стикой (К,( )( =("„(",;,'")' (см.
(1.4.2)). Как было показано в 3 4 гл. 1, дисперсия ог э(ш уггГ флуктуаций на выходе этого интегратора уменьшается с ростом времени усреднения Т и в пределе Т"р тк ~ К(ыэ Н вЂ” частотная характеристика нн от = 2Л6 (0)/Т, (3.2.52) тегратора, О Гы) — спектр шума. Флуктуа.
нии на выходе интегратора обусловлены спектральными компонентамн шума, попа. гдс 6 (ш) — СПЕКтральиая ПЛОТ- дающими в эаштрнхеванную область. Носу ф ма, а тк — его время корреляции. На спектральном языке условие Т'антк означает, что полоса пропускания интегратора гораздо уже, чем ширина спектра шума (рис. 3.7). В общем случае, когда в качестве интегратора используется произвольный линейный фильтр с коэффициентом передачи К(ш), дисперсия на выходе интегратора равна 233 % 3 РАспРеделение ВеРОятностел нА ВыхОде Каждая из этих характеристик описывает реакцию системы на регулярное (неслучайное) воздействие определенного типа — гармоническое или б-импульс.
Для измерения этих характеристик могут быть использованы также чисто «шумовые» методы. Рассмотрим линейную систему неизвестного вида («черный ящик»). Предположим, что на вход системы подан белый шум $ ((), возбуждающий в сисгеме вынужденные колебания х((). Предположим сначала, что в этих условиях измерена корреляционная функция шума на выходе системы, т. е. (хх,) =В(т). Применив к В(т) преобразование Фурье, мы найдем спектральную интенсивность 6 (ы), которая согласно (9) при б-коррелированном шуме $ с точностью до постоянной совпадает с квадратом модуля коэффициента передачи: 6( ) ~К(м) ~'.
(3.2. 55) Таким образом, измеряя (хх,) или непосредственно спектральную плотность шума на выходе системы 6(ы), мы можем найти модуль комплексной функции К(ы), но фаза К(ы) остается неопределенной. Значительно более полную информацию о системе можно получить, если измерять корреляционную функцию ($х,). Чтобы в этом убедиться, запишем х в виде интеграла Дюамеля: х (г) = $ й (В) 3 (( — В). а Учитывая, что (вс,) =2()б(т), находим отсюда ( 2В)«(т), т ) О, (О, т(0, (3.2.56) т. е. корреляционная функция ($х,) с точностью до пос1оянной совпадает с функцией Грина рассматриваемой линейной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
