С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 35

Р(п) =е — ", (п=0,1,2, ...). Среднее число фотоэлектронов за время Т равно а=(п) =8ТЕ (2.9.3) Если интенсивность изменяется, то вместо (3) следует писать г а =-,и/ =.= () ~ ) (!) г(! = — )г(г/ (2.9.4) о освещается источником света с флуктуирующей интенсивностью (в задаче о термоэлектронной эмиссии такой постановке соответствуют флуктуацнонные изменения температуры катода). Будем искать закон распределения Р(п) числа п фотоэлектронов, эмиттированных фотокатодом в течение заданного интервала времени Т (числа фотоотсчетов). 7 гпй д Мы убедимся, что в общем случае источника с флуктуирующей интенсивностью распределение Р (и), вообще рис.

2.26 модель Фотодеговоря, отличается от пуассоновского гектора: и зависит от статистики интенсивности света. Таким образом, процесс фото- детектирования случайного света приводит к непуассонояским импульсным последовательностям. Измерение распределений Р (гг) может быть использовано для определения одномерной статистики иитенснвности светового пучка. Этот факт широко применяется в современной статистической оптике.

Распределение фотоотсчетов в случайном поле. Формула Манделя. Выведем распределение числа фотоотсчетов Р (п) в поле светового источника с флуктуирующей интенсивностью. Согласно полуклассической теории фотоэффекта дифференциальная вероятность г)Р появления одного ф/гтоэлектрона (фогоотсчета) в нг;тервале времени г(/ определяется выражешгям (ср. с (2.8.68/)) г(Р (г) к р г(г, р = )) ! (1), (2.9.!) где 8 — коэффициент, характеризующий чувствительность фотодетектора, а )(г) — интенсивность света !8~. Если источник света г(э(сит постоянную интенсивность (иа практике такой источник является хорошей моделью стабилизированного одномодового лазера ггепрг рыв ного действия), то в силу (1) вероят/юсть вылета фотоэлектрона прямо пропорциональна интервалу времени Т, и, следовательно, статистика фотоэлектронов является пуассоновской (см.

3' 8), при этом вероятность появления и импульсов фототока за время Т дается формулой (2.8 36): гпо гл к модели слэчяпных пгоцвссов и полян г где и=~ /(/)и/ — энергия светового потока, прошедшего через а поверхность детектора за время Т. Для случайного светового поля Е(/) = р(/) соз(со„!+~р(/)) (2.9.5) функция /(/) =р'(/)/2 также имеет случайный характер, а энергия и случайно меняется от измерения к измерению. Вероятность (2) в этой ситуации следует, очевидно, интерпретировать как условную вероятность, соответствующую данному значению (/: р( (и)= ао,, <п>„=«=ри. (В//)" л! Полную вероятность найдем, усреднив р (и, (/) при помощи функции распределения энергии ш((/): СО Ш Р(п)= ~ р(п (/) ш(и)Л/= ~ — е зош(и) Ии, (2.9,6) о я <и> = Р<и> = Р</>Т.

Выражение (6) называют формулой Манделя. В результате усреднения по (/ распределение вероятностей числа фотоотсчетов, даваемое формулой Манделя (6), может существенно отличаться от первоначального пуассоновского. Зто отличие проявляется, в частности, в величине дисперсии фотоотсчетон. При распределении и по Пуассону и„'=(и'> — (п>'=(и> (см. (2.8.37)), в то время как согласно (6) и; = <и ) — (и> = (и>+ р~ (<и~> — <и> ) = 'и>+ раин, (2 9 7) т. е. дисперсия числа фотоотсчетов в случайном поле всегда больше <и>.

Поэтому случайные голи можно различать по превышению о' над <и>. Роль соотношения между временем корреляции поля и временем наблюдения. Величина оо (7) существенно зависитотсоотношения между временем корреляции поля т„и временем наблюдения Т. Действительно, в предельном случае т„к, Т статистика фотоотсчетов вообще не чувствительна к статистике светового поля.

Согласно (4) при т„ч~',Т в силу эргодической теоремы а~ -.-РТ(/> и статистика фотоотсчетов будет пуассоновской независимо от распределения интенсивности света. Для рассмотрения промежуточных случаев и получения количественных оценок обратимся к случайному процессу (5). Корреляционная функция для стационарного поля (5) может быть записана как (ЕЕ,> =пэг (т)соз(со„т+ф(т)( (см. (2.3,7)), причем $9 ФОТООТСЧЕТЬ[ В СЛУЧАИНОМ СВЕТОВОМ ПОЛЕ 19г <Еы> = <г", = оы и (и) = роыТ.

Если поле гауссовское, то согласно (2.4.17) <П,> = 4 <р'р(> = '(1 + '(т)1 Отсюда находим г т о(г = Оы ~ ~ ((г Ны гы (1, — 19) = 2о' ~ (Т вЂ” т) г' (т) (т, или ;",=< >+< >9'-.,~(Т вЂ” ) '()(. о Возьмем г(т) в виде г(т) =Е "'"ы. (2.9.8) В этом случае согласно (8) дисперсия фотоотсчетов определяется выражением Гыг-,т Л' оы = (п) + (и)' — г) '(с-99 — 1+ 2г)), ыг -9 Т (2,9.9) ты дх Из (9) следует монотонное уменьшение дисперсии с ростом времени из. г г,'г мереиия Т (рис. 2.27). В пределе т,,» Т (г) «, 1) о,', = <гг) + (п)'.

В другом крайнем случае, г, «,'Т, из (9) получаем о„" = (и)+ (п)9 т„,'Т вЂ” (и), (2.9.9а) т. е. при т„«,,Т случайность поля не проявляется (величина дисперсии совпадает со значением дисперсии для нефлуктуируюпгего поля). На рис. 2,28 показана эволюция распределения Р(п) с ростом Т)т„и видно, что при т„Т (гг~. 1) распределение приближается к пуассоновскому. Выражение (9) можно переписать как о"„= (и) (1+6), 6 =-е( — ") (е — 1+2д), Параметр 6, называемый параметром вырождения (название заим- СтВОВаНО ИЗ СтатИСтИЧЕСКОй ЫЕХаНИКИ!, ХаРЕКгсргГуЕт уВЕЛПЧЕВ<Е дисперсии числа фотоотсчегов из-за флуктуаций поля (прн отсут- (2.9.9б) 192 гл.з.моднли сломанных процяссов и полян стени флуктуаций 6 = О). Согласно (9б) величина 6 зависит как от соотношения между временем наблюдения и временем корреляции (с) = Т)т,), так и от интенсивности поля ((и) — ())).

Для лазерного излучения 6 1О", в то время как для тепловых источников света 6(10-з. Эти оценки объясняют, почему экспе риментальное изучение статистики фотоотсчетов было начато только после создания лазеров. а х га ,(а асио алооаоотаооотоа л Рнс. 2.28. Распределение фотоотсчетов лазерного излучения, рассеянного вра- шаюшнмсЯ матовым диском, пРн Различных отношениЯх т/та=о [1О). Статистика фотоотсчетов в поле теплового н лазерного излучений. Предыдущее рассмотрение гоказало, что для сохранения в статистике фотоотсчетов сведений о флуктуациях световог~ поля необходимо, чтобы время корреляции т, излучения превышало время измерения Т.

Мы будем считать это условие (т„~~ Т) выполненным. Тогда () = )Т, а формулу Манделя (6) можно записать в виде Р (л) = —" е ™ т га (!) Н. (2.9.10) Рассмотрим несколько примеров. 1. Возьмем прежде всего случай, когда распределение ю ()) имеет вид 6-функции: ю()) =6() — )е). (2.9.1 1) Ссютветствующее распределение фотоотсчетов является пуассоновским: Р(н) = —,е — ', (2.9.!2) 4 в. Фотоотсчеты В случАйнОм сВетОВОм пОли 193 где и = !)Т(„ (2.9.13) Распределения (11) и (12) относятся к идеальной модели лазера, работающего в надпороговом режиме. Статистика фотоотсчетов, соответствующая реальной модели лазера, в которой учитываются слабые ам- 41477 плитудные флуктуации, рассматривается В 95 гл. 7.

2. Обратимся теперь к рассмст ению поля с гауссовс (тепловое излучение, л иие, рассеянное в неод и т. п.), имеющего (см ненциальное распред ности: гп (!) — е — ггш ! Р кой статистикой азерное излуче. Ъ породных средах, . (2.4.8)) экспоеление интенсивое = (1), (2.9. 14) ) где Ор — средняя интенсивность. Подставив (14) в (10), получим Р(л) = яр!(1+ и)"", (2.9,15) д 3 В случае суперпозиции гармовического сигнала и гауссовского стационарного шума (си.

(2.4.57) н (2.4.50!) Е = 5 (1 )+ 5 (1 ! эы р 09 соз (шр1+ Ф (1)1. Функция ш(р) для такого поля имеет вид (2.4.65), так что ш(1)= —,е рыбе гга 1, ~ — 1'2!). (2.9 (7) Задаваясь различными значениями отношения сигиал1шум г=ор1ор, можно проследить непрерывный переход ((0) в распределение Пуассона (!2) илн в распределение ((5), так как 5 (1 1р! г — э со (1р — — оэ12), — О а* — эа* 1а', г -э О. 7 С. А.

Ахмррар р АВ. причем Рис. 2.29 Распределение фо— пр7 Р, Р— (1+ Л) (2 9 15) тоотсчетов лазеРного излУче. иия (1) и излучения с гаРаспределение (15) отличается от пу- уссовской статистикой(2) 191. аССОНОВСКОГО (12) ПрЕждЕ ВСЕГО тЕМ, ЧТО Тачр» — экспррнмрвтрльвыр с ростом и вероятности Р(п) всегда эврч, «в е — еар,трчы убывают, как видно из (16); дисперсия фотоотсчетов в этом случае может значительно отличаться от их среднего числа.

Распределения (!2) и (15) измерялись экспериментально, и было получено удовлетворительное согласие с теорией (рис. 2.29). 194 Гл. г. ЯОдели случАйных пРОцессоВ и полеЙ Учитывая, чта е «*ха«+!ге(2« )с у)с(к= в е — УЕ (у) 2 и (2.9.18) (см ГР, с 732), при помощи распределения (!7) найдем моменты интенсивности Тл = аз«в!Ел [ — г) (г = из/22тг), (2.9.!9) где 7.„— полииомы Лагерра: л Е. (у)= —, ° Я у"= ,'~~ Д)(,У!У, е=в 1,2 (у) =! — у, (ч (у) = 1 — 2у+ 6272. (2.9.20) )так следует из (!9), (3)) и (7), 7=аз (! +г), !в= а«2 (! +2г+гзс'2) =)~2 (1+ г)' а, =л [1+л ), л=()Т) 1+2г ) (! +г)' ~' (2.9.21) Ь" ! Ь с I г Р (л)= (1+Ь)"" (! !+Ь,~ "~ 1+Ь! ехр ( — г — 'ЕО( — — ~!, (2.9 22) где Ь=УТа' 4.