С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 30

й 7. Колебания, модулированные !Пумом Модель случайного процесса, обсуждаемая в этом параграфе, имеет большое значение для радиофизики и оптики. Мы рассмотрим случайный процесс, возникающий за счет случайной модуляции гармонического сигнала по амплитуде, фазе или частоте, Математическая запись такого процесса аналогична (2.3.1), однако постановка задачи теперь обратная. Если в 9 3 — б мы отыскивали статистические характеристики случайной амплитуды и фазы по заданной статистике 5((), то здесь речь будет идти об отыскании статистических характеристик функции хе (() (и в первую очередь мы будем интересоваться ее корреляционной функцией и спектром) по заданным характеристикам случайных огибающей и фазы. Реальные ситуации, соответствующие такой постановке задачи, разнообразны.

Один из наиболее важных примеров — воздействие шума на радиогеператор илн лазер; за счет нелинейности воздействие шума приводит к стохастической модуляции колебания генератора. Другой пример — уширеиие спектральных линий излучения и поглощения атомов или молекул Частоты, амплитуды и фазы колебаний случайным образом изменяются при взаимодействиях — в этом фактически и заключается физика ушнрения спектральных линий. Раздельное рассмотрение случайных амплитудной и фазовой (частотной) модуляций, проведенное ниже, позволнет выявить вклад каждой из них в спектр модулированного колебания. Особое место занимают чядвчи о случайной частотной модуляции; такая модель описывает основные черты уширения спект- $ т кОлеБАния. мОдулиРОЕАнные шумом 159 о",гм! находим $ = йч В (т) = эйт = -~ [1+ В, (т)] соз соот, (2.7.4) а спектр процесса (1) имеет вид 6(ю) = 4 ]5(соо — ю)+б(ото+со)+Со(ыо — со)+Со(сов+ ю)].

(2.7,5) Если спектр модуляции уже сов(Со(со)=0 при )ы])соо), то соответствующий (5) спектр по положительным частотам АМ-колебания будет дй 6'(ы) = ~ [5(соо — ю)+Со(юо — ы)]. Этот спектр симметричен относительно несущей частоты ю,: 6+ (юо+ (1) = 6+(юо — Й) = — "[5 (й) +Со (())], (275) и имеет две компоненты — дискретную и непрерывную (рис. 2.14).

Дискретная компонента (а,'/2) 5 (що — от) расположена на несущей частоте, в непрерывная компонента (а~)2) Со(юо — со) повторяет по форме спектр модулирующего шума Со(ю). ральных линий в радиофизике и оптике, поэтому ей уделено наибольшее внимание. Обратимся теперь к рассмотрению различных видов модуляции. Амплитудная модуляция.

Амплитудно-модулированное (АМ) колебание описывается выражением $ (1) =о [1+т) (0]сов [очо)+ Ро]. (2.7.1) Рассмотрим его статистические характеристики„считая амплитудную модуляцию т)(т) стационарным случайным процес- Р ВО сом (при этом огибающая р(1)=1+т)(1))0), а фазу ср, †случайн постоянной о косой™) величиной с равномерным распределением чт о тв (ср,) = 1/2п Рис. 9.14.

При амплитудной модуляции ( — и с сро ( и). (2. .2) спектр процесса (непрерывная часть Процесс ( 1 ) е цепом будет спе тРа) повтор ает по форме ектр Оо ( ) модулирующей функции (см. (В)). при этом также стационарным (см. 9 5). Предполагая, что т)т)т = Во ('г) = ~ Со (со) е мт с(со, (2.7.3) 160 Гл. х модели случАйных пвоцвссов и полни Одномерное распределение и характеристическая функция АМ-процесса определяются формулами (2.5.18) и (2.5.9): (В) =- ~~ 821 — ~~ 1 ~ м(Р)~ 1 [' м(р) ор „) Р 1 т(т+ 'У л РРй оо% 0 (и) =$,(о(ир) щ(р) о(р, о то в рассматриваемом случае и'(Р.

Ро> оРо, %од = щ (Р. Ро) и2(оро, %од = ! = ое (Р, р,),— „6 (<ро — 2роо). С другой стороны, согласно (2.5.48) (2.7.7) ОЭ п2(Р. Р Ч>о Фо2)= — „, ~ С (Р, Ро)е' (оо ооо). (2.7.8) Учитывая разложение для 6-функции 6(х) =— 1 ч2 находим из (7), (8), что в рассматриваемом случае все функции С„одинаковы и равны двумерному распределению огибающей: См(р, р,)=и2(р, рд (Л2=0, + 1, +'2, . ° .). (2.7.9) Из (9), (2.5.43) и (2.5.36) находим, что двумерная характеристическая функция АМ-колебания имеет следующий вид: 9 (и, о) = ~ , 'В (и, о)е' (2,7.10) где оо В (и, о)=( — 1) ))о(рдр,и2(р, р,) 7 (ир) 7 (ор,) о = (.),„(ир),/ „, (вид).

(2.7. 11) где ол (Р) — распределение огибающей, определяющееся статистикой амплитудной модуляции в (1). Рассмотрим двумерную статистику АМ-процесса. Так как при постоянной фазе <ро 1 2в (% %од и' ( Ро) и' (оооо Ро) 2 6 (2РО (Р д $ Х КОЛЕБАНИЯ, А10ДУЛНРОБАННЫЕ ШУМОМ 161 или, Б комплексной форме, х (!) = — а„ехр 7 [шн1+ 7р (1)1+ к. с. (2 7.12а) 1 В этом разделе мы считаем а,=сопз1 и ьычисление среднего зна- чения х и корреляционной функции (хх,> фазово-модулирован- ного колебания сводится к вычислению средних вида Например, 2 = — а е7н7нн (е777~+ к с 1 2 Фазовая модуляция гауссовским тулом.

Предположим, что 72(1) — стационарный гауссовский процесс: Ф=О, 7р<р =Во(т) =онн)со(т) = ~ бо(ш) е '7ннс!Б7. (2 7 13) В этом случае (е7ч> =е "й17, ( 7(э — ч ) — 3 р З "н "7! н так что, усредняя (12), получим — нн/2 Х= а,. ° Со Внй (2.7.14) он.=х'= 2 7!1+е "~сОБ йвн(1. (2.7.16) Для флуктуацпопной компоненты с (1) = х (1) — Х (1) фазово-модули- рованного (ФМ) колебания находим В((,т)=Ц, '— 'е "[е~нн' — 11[созв7нт — соз(2шн1+Б7нт)!. (2.7.16) Как видно нз (14) — (16), в рассматриваемом случае ФМ-колебание не будет стационарным случайным процессом, поскольку его статистические характеристики являются функциями времени (периодическими).

Обычно представляют интерес средние по Бремени спектральные н корреляционные характеристики, так как именно они регистрируются приборами. Обо Н77 чая волнистой чертой усреднение по времени, имеем согласно 7!6) Г) (т) ="-' Е "[Е~н'Я вЂ” ![СОЗ В7,т. 2 (2.7.17) 6 С А А,ннннн н Ау. Фазовая модуляция. Рассмотрим теперь квазигармоническое колебание с постоянной амплитудой и случайной флуктуирующей фазой х (1) = ао соз [н7о1+ Ч7 (1)1, (2.7.12) 1 «««« 162 гл.» модели слкчлинь<х процессов и полки Таким образом, спектр ФМ-колебания, модулированного стационарным шумом, состоит из дискретной линии на несущей частоте ие с интенсивностью (2 7 18) соответствующей (14), и непрерывного (при непрерывном спектре модуляции) спектра флуктуаций О(ы) = — "е < ~ (ее<<'< — 1Ие«" — "1'+е — «"<+и)') <(т. (2.7.19) 4 2л Непрерывному спектру соответствует интегральная интенсив- ность (2.7.20) <то =а3 соз'(<ое(+ р) = '-" (1+сох 2(ыа(+<р)~ = а" ,< о1» = — ' ~1 + сох 2ые( соз 2<р — з(п 2<ее( з(п 2<р) = — '.

2 2' Ввиду существенно нелинейной зависимости к от <р в (12) спектр ФМ-колебания имеет, вообще говоря, совершенно другую форму, чем спектр модулирующего шума (рис. 2.15). Исключением является лишь случай очень слабой модуляции ()В,(т))( о„'~~(1), когда выражение (19) можно переписать в виде о3 <а«оо < (<о) = 4 < ~ ~О(т) е <(т 4 1~«(<о <ое)+««(ы+ <40)1. При этом флуктуации малы (У„,чк = а72) и их спектр повторяет по форме спектр фазовой модуляции. Заметим, что имеет место следующий «закон сохранения интен- сивности»: при фазовой модуляции сумма интенсивностей дискретр,", ной и непрерывной компонент Ел<к» постоянна и равна интенсивности , <а,', о немодулированного колебания: <А«<» < Ее', 7»к<ар + 7непр па)2 Рис 2да. и ° фазоаов модулиции Иначе ря, модулируя фазу, спектр процесса О («а) отлйчаетск от спектра иодулиру<о<де<»< функции можно изменять частотный спектр 6» (<о).

колебания, но не его среднюю интенсивность. Зто обстоятельство не связано, разумеется, с гауссовостью модуляции; при любой статистике <р(() непосредственно из (11) находим 4 г колнахиня, МОДхЛнровзинЫВ ШхМОМ 16З В противоположном предельном случае глубокой фазовой модуляции (о',~~ 1) функция ехр В,(т) будет быстро убывать при отклонении т от нуля. Считая, что )ге(т) 1 — аята(2, и полагая в (19) снего — 1 е "»11' ~''з), а'=177 (0) ~, (2.7.21) получим В(гз) = — 1(е (из™)'-'Ва»1+е — (и„» и) Ва»„1 (2 7 22) 4а г' 2л (гф~~ь1), т. е, ФМ-колебание имеет гауссовский спектр независимо от формы спектра самой фазовой модуляции. Нетрудно убедиться, что спектр 6(ю) намного шире спектра Ое(гз).

действительно, согласно (21) можно написать следующие оценки: Люе сс, Лю аое, йгю! Лгзе о, ~ 1. 4 л ~~ацз,', +(юз — ю)* + азо4+(ы»+ ы)»1 (ое~ь 1). В зтсм случае ФМ-колебание имеет спектр лоренцевской формы, причем расширение спектра еще более значительно, поскольку отношение полос пропорционально не о„ а оез: Лозе-гх, Лез ссое, Лго)аггее по~ 1. Фезозоя модуляция негауссовским шумом.