С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 28

В качестве еще одного примера решения обратной задачи (т. е. восстановления ста~истнкя процесса па распределению его янтепсявнастя) рассмотрим модель процесса, для которого все значения интенсивности принимаются Аналогично, по заданному распределению интенсивности в(!) однозначно определяетси характеристическая функция пронесся (1) сл 8 (и) = 1 в (1) Ха (и рг2) ) г(! (2.5 29) а 4 3. НЕГАУССОВСКИЕ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОПЕССЫ 147 в некотором интервале равяовероятными: (2.5.31) здесь ов=(!) (рис, 2.11, а). Согласно (26) и (20) распределение огибающей имеет при этом форму треугольника: (2.5.32) (рнс.

2.11, б), а характеристическая функпия равна (2.5.33) Подставив (31) в (30) (нлн (32) в (18), или преобразуя (33) по Фурье), получим, что в случае (3!) фувкння распределения вероятностей квазигармонического пропесса имеет вид полуэллипса: (2.5.34) (рис. 2.11, в). Двумерные распределения р и ф. Рассмотрим теперь двумерный случай (5).

Покажем вначале, что распределение вероятиостеа ю (й, ет) и соответствующая ипд ) Рис. 2,1!. Восстановление статистики негауссовского пронесса 5 по распреде- лению его интенсивности. Равиамериому распреиелеиию хли ивтеисввиости (л) соответствует треугольное распреяе ление али огибающая (а) и вллипсавдальиое распреаелеиве (а) ллв самого процесса $ <см. <з()-(ы)). характеристическая функпия З(и, о)=(ехр((и$+о$ )) для пронесса (1) яв- ляются периодическими фуикниями «быстрого» времени ю„т: (и, йт)= 1', А <й, $~) е(~~~, (2.5.35) 3 (и, о) = ~ В, (и, о) е(щоьт, (2.5.36) ш(а) ~ ((Ю 1 еу ~ !72 , О < ! с 2 в, О, 7)2ав, ( р/2ов, 0(р(2ог О, р)2о З(и) = — Уе (иР) Р АР = —, 1 е" и') (2пи) 2ов ~ ои — у!/ 1 — ~ — у),,)5 ~( 2о, юЯ)= яи Р' '(2<)! ' О, ) 2о () 1 л) х-р гуа () У) У-4 'Ъ 146 ГЛ.Э.МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПЕССОВ И ПОЛЕЙ пРичем коэффнцненты Асч н Вм в этнх РазложениЯх свЯзаны пРеобРазованнем Фурье: Ва (и, о) ) ) с(6 с(эт А„, !й, 5т) е СО Аа($, йт) — 11 Ва(и, о)е " тс(ис(о.

(2л)з 3 СО (2.5.37) (2.5.36) Согласно (!) 6(и. Р)=(ехр ((яр сов(аэсг+ф)+!ор сов(ааг+ает+ф ))) СО и = ) ) с(рс(рт~ ) с(фс(ф ехр (Сирсов(а,С+ср)-1- +1орт сов(аз( +азт+срт)) са (р, рт, фс фт). (2 5 39) Аналогично (4), совместное распределенне а(р, Рт, ф, срт) всегда можно записать как двойной ряд Фурье: а(рс Рю ср фс) — г~ р, Уи(рс Рт)а т. (2.5.40) 1 — Сае — Иср (2л) ° Подставив (40) в (39) н интегрируя по ф н ф, получим СО СО 6(и, и) ~~ ег(~ч ССисгаССесс ) ) ссрссртуж(р, Рт) за(ир) зс(ирт). (25 41) а, С вЂ” сО о В силу стацяонарностя характернстяческая функция (41) не должна эавнсеть от С, а зто значнт, что отличными от нУлЯ могУт быть лишь фУнкцпн Уас с 4+1=0; У„(р, р,)=У „, (р.

Р„)=С (р, р,) Уы(р, р,)=0 (й~ — 1). Подставив (42) в (4!), мы и получая (36). Отметим, что согласно (6) Вас (и, и) ( — 1)ас ) ) Сж (р, рт) ум (ир) Оса (орт) с(Р с(рт. (2.5АЗ) э Так как О ж ( — з) з'са ( — У) = /са (л) з'м (У) (см. (6)), то согласно (43) Ва( — и, — о) Ва(и, с), откуда следует четность и вещественность характернсткческой фуякцня (36) 6( — и, — о) 6 (и, о) = 6' (и, е) (2.5.44) а(6. зт)=а( — 5 — Ьт). (2.5.45) где коэффнцненты С,„ и распределения (35) Иэ (40) н (42) имеем а(р р' р) 4 у ~~Р С (р, р)з ( т), (2.5А6) сп= — а однозначно определяются коэффнцнентамн Ва в (36) й З.

НЕГАУССОВСКИЕ КВАЭИГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 149 с помощью преобразовамня Ганкеля, обратного (43): Сэ»(р, рт) ( — 1уяррт) ) В»«(и, о) «э»(ир) ум(ор )ио«(и по. (2.5.47) а Выражения (46), (47) вместе с (35), (36) дают общее решение задачи об определении двумерных распределений Р н ф процесса (1), если известны характеристическая функция 8(и, о) илн распределение вероятностей ш(й, 5 ) этого процесса. Ясно также, как получить решение обратной задача: зная ш(р, рт, ф, фт), найти 8(и, о) илн ш($, 5«). Лля этого нужно подставить С в (43) и найти В, в затем, нспользУЯ (38), и Ам.

Подставив РезУльтаты в (35) и (36), мы получим 8(и, о) и ю($, 5 ) в виде разложений по гармоникам «быстрого» времени ы»т. После интегрирования (46) по ф н «р остается только нулевой член этого ряда, который и определяет двумерное распределение огибающей: ш(Р, Р,)=С,(Р, рт)=рр, ~ ~ В,(и, и) Х»(нр) з»(ор,) ио «(и «(о. (2.5.48) а Проинтегрировав (46) по р н Р«, получим, соответственно, двумерное распре. деление фазы ш(ф, фт) = ~ Вм (т)е (в от) (2.5 49) И (т) = $5 С„ (р, Р ) «(Р «(Р, (е ' (~ — ~т)> )у 1 (2 5,56) о Рашзределение разности фаз отличается от (49) множителем юз: ш(ф — фт) йпю(ф фт) ( — и< ф ф«<п).

(2.5.51) ! ю(Р Рт ф)=ш(Р Ръ ф«)=ш(Р Рт ф+фт)=2 ш(Р Рт). ш(ф+ф ) !фп (2.б.б2) т. е. ф, ф, а также суммарная фаза ф+ф статистически независимы относительно Р и Рт. В частности, статистически независимы значения р и ф, причем как а совпадающие, так и в различные моменты времени; 1 ш (Р ф) — ш (Р фт) — ю (Р) 2п (2.5.53) Однако разность фаз ф — ф коррелирует, вообще говоря, как с р, так и с Р†э непосредственно видно из (46). Полученные результаты могут быль обобщены на случай многомерных распределений, дающих описание процесса (1) в моменты времени Г„гз, ..., (я.

)йз приведенных выражений можно сделать ряд общих выводов, справедливых пря любой статистике процесса (1). Согласно (46) 150 Гл.з.ЫОЛЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПЕССОВ И ПОЛЕЙ ГауссовскиА процесс. Для гауссовского процесса (1) с нулевым средним 5» — 2)«Ц +~', ш(4, 5«)= ехр ~— 2ло' У! — )7» ! 2ой (1 — )7«) 1 6 (и, о) = ехр ~ — . - ой (ий+ ой — 2ио)7)т~ 2 (2.5.54) (2.5.55) и условна четности и вещественности (44), (45), очевидно, выполнены. В этих выражениях )7 = )7 (т) = г (т) ссп (е»йт+ ф (т) ) (2.5.56) — коэффициент корреляции квазигармовического процесса (см. (2.3.7)). Из (54) — (56) и разложения е — '' "'и= ~ , '(чл))л 7 (о) агмп «»»» следует, что в (86) (2.5.57) В (и, о)=( — 1)~е о!и'+~»г~! (ой«ив)егмр (г=г(т), ф=»р(т)), (2558) а в (46), согласно (47), Используя (48), отсюда находим двумерное распределение огибающей РР« ! г Ррт) ) Р +Рт Р,)-С. (Р, Р,) = ой (1 — гй) ! 1 — гй ой ( ~ 2пй(1 — гй) 1' полученное ранее Лр)гим методом (см.

(2.4.1!)), Модель квазнпериодического процесса (б!. Развитый выше подход может быть использован для описания случайных процессов более общего вида, чем (1), а именно квазипериодическнх стационарных процессов »(()=Р(!)г (а»»!+Ф(В)! гш««=1. — л<Ф(л, Р>0, (2559) Выражение (59] переходит в (1) при г (ф) =сейф. В форме (59) можно представить, например, случайную последователь. ность импульсов. При этом функция Р будет описывать форму импульса, не искаженного флукгуациями, р — случайные вариации импульсов по высоте, а Ф-случайную модуляцию по длительности и времени появления.

Статистические харантерпстикн 5, р и Ф будут при этом связаны соотношениями, подобными полученным выше для квазигармонического процесса (1). Ограничпмгя здесь анализом одномерных характеристик. Используя стационарность 5 и разложение г"РР!Е>= ~ и (р)г Ф„ (2.6.60) со стационарными «огибающей» р и «фазой» Ф и периодической зависимостью функции Г от своего аргумента: Р(ф+2л)=Р(ф).

ф=ы«(+Ф(1). 151 й а диооизионныи <пинероискии> процесс нетрудно получить связь между характеристической фуикпией 6(и)=(е'ль) и распределением огибающей ш (р): сл е(и)=~ ш(р) у„(ир) лр, (2.5.61) и,(р)- — ' ~ е'л н!Е'Ьр. (2.5.62) Исходя из (60), легко также доказать зависимость р и ф и получить заков равнораспределення для фазы: ! шф. ф)- — ш(р), 2и ш (Ф) 1 (2.5.63) 2м Отсюда следует, что соотношение между моментами р, 5 и ! $ ' будет определяться формой отдельного импульса, т. е. видом фуикпни Р: (!елл ~) (ел) (2.5.64) (рл) 1 Гп рл (,р) лф ~ р(р),лиф 1 Г В многомерных характеристинах вместо функций Бесселя (см. (41)) будут фигурировать функпии И из (60).

Прииеры импульсных последовательностей вида (59) рассматриваются в 1 8. й 6. Диффузионный (винеровский) процесс В атом параграфе мы рассмотрим важную модель существенно иестационарного случайного процесса, которая будет использована в дальнейшем, — случайный процесс, являющийся интегралом по времени от некоторой случайной функции. Итак, рассмотрим процесс, описываемый выражением %(1) =1 п(8) бв. (2.6.1) е Функция (1) удовлетворяет уравнению (2.6.1а) Важным радиофизическим примером стохастического уравнения типа (1а) является уравнение, описывающее флуктуации фазы в автономном генераторе радиодиапазона или лазере, возникаю.