С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Речь идет о случайных функциял, представляющих собой суперпозицию импульсов, часто— импульсов регулярного вида. В последнем случае статистика связана со случайностью появления таких импульсов. Ярким физическим примером импульсного случайного процесса может служить дробовой шум электронной лампы. Прн этом случайные изменения анодного тока есть результат случайного (за счет статистики электронной эмиссии) наложения идентичных по форме регулярных импульсов.
С картиной хаотически появляющихся импульсов непосредственно связана и имеющая большое значение для оптики статистика фотоэлектронного тока, или, как ее принято называть, «статистика фотоотсчетов». Естественно, что, как и ток в анодной цепи электронной лампы с подогревным катодом, фототок содержит флуктуационную составляющую; в фотоэлектродных приборах Возникает дробовой шум.
Однако в задаче о статистике фототока есть и другой интересный аспект: статистика фотоотсчетов может быть использована для получения информации о статистических свойствах излучении, пв Гл в моделц случхпных пРоцессов и полеп освещающего фотокатод. Прямые и обратные задачи, связанные с указанным обстоятельством, обсуждаются в 2 9. Весьма наглядная физическая модель случайного процесса рассмотрена в 5 !О; в нем речь идет о статистике процесса, представляющего собой суперпозицию гармоннческих колебаний со случайными фазамн (а в общем случае — и амплитудами).
Исследование этой модели восходит еще к классическим работам Рэлея,' в его «Теории звука» (см. 1131) дано полное решение задачи о суперпознции гармонических мод одинаковой частоты, но со случайными фазамн. Для современной оптики болыцое значение имеет модель оптического шума, представляющего собой суперпозицню эквидистантных по частоте гармонических колебаний со случайнымн фазами; такая модель хорошо описывает излучение многомодового лазера с несинхронизованными модамн. Говоря о формулировках математических моделей реальных случайных процессов, следует иметь в виду также н чисто вычислительные аспекты, связанные с решением конкретных задач.
Как мы убедимся в дальнейшем, лишь немногие статистические задачи радиофизики и оптики (сказанное в особенности относится к представляющим наибольший интерес нелинейным задачам) удается решить в общем виде; в связи с этим выбор модели процесса во многом определяет и успех математического решения задачи. Поэтому, наряду с необходимостью адекватного описания физики процесса, возникает и проблема удачного выбора модели, правильно учитывающей основные физические характеристики процесса и вместе с тем, по возможности, упрощающей математическую сторону дела. Основные параметры модели — среднее значение, средняя интенсивность, ширина спектра — должны, разумеется, соответствовать физическим представлениям о процессе.
Вместе с тем при выборе более детальных характеристик допустим известный произвол, второстепенные параметры могут подбираться из соображений удобства решения данной задачи. Например, без ущерба для смысла получаемых результатов процесс со сплошным спектром иногда можно заменить на процесс с эквивалентным по ширине н форме дискретным спектром (см. й 10); часто используется и модель процесса с диффундирующей фазой и т. п. На перечисленных моделях случайных процессов базируется и ряд моделей случайных полей, используемых в книге; с некоторыми мы уже познакомнлпсь в Ч 8 гл. 1.
й 2. Гауссовский случайный процесс Мы начнем со сводки данных, относящихся к гауссовским случайным процессам,' в значительной морс она носит справочный характер. К гауссовскому нормальному шуму приводят многие % 2. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС вг Ь'в ааа в(л)гв„а Ггт) г р агб р l г:) в(З;Чвнаа я (а 4 Г -ЕЬ'б () а) аг 1'рг) ггба Iг г) Рис. 2.З. Функции распределения: а) гауссовского процесса ((н о) его огнбающей (распрелеленне Рален (2,4.(>)и а) алаи (2Л.БИ г) ннтенснаностн (г.4.а). Одномерное распределение вероятностей (функция распределения) п)(х) е — (к — л) (2п* ( ск) ~хщ: )„ос)) (2 2 1) 1' 2ии имеет один максимум при х= х; сл=х' — х' (рис.
2 3). Согласно (1) отличны от нуля лишь четные центральные моменть): 1 3 5 ... (и — !)а'=(и — 1)!!о" (и — четное), ((х — л)") = ! О (и — нечетное). (2.2,2) физические механизмы, рассматриваемые ниже ! 1оэтому приведенные в этом параграфе соотношения используются очень широко. Распределение вероятностей; характеристическая функция; моменты. Гауссовский, или нормальный„ случайный процесс может принимать любые положительные и отрицательные значения.
120 гл з.модвлн сличлпных процессов и полип Вероятность того, что значение х лежит в некотором интервале, равна Р(а~х(Ь) ==. ( е-(х — ')'т~'*с(х= Р2цо д = — [Ф( —.) — Ф(:Ц, (2.2.3) где х х Ф(х)== ) и-'*т((= —.. ~ е-тчтс(( — табулированная функция, называемая интегралом вероятности, или Функцией ошибок, изменяющаяся в пределах от Ф( — оо)= = — 1 до Ф(оо) =!. В частности, 0,9 (и = 1,17), Р(,'х — д)(п3 2 а)=Ф(п)= 0,99 (п=1,83), 0,999 (п = 2,33).
Ширина эквивалентного прямоугольного распределения (см. рис. 2.3) равна Лх' = ~' 2п а ж 2,51а, причем та (х=х +- т!еЛх') = шм,„е — и- сн,„0,455, Р (! х — Х,,' е=.- т/з Лх') е:: О, 79. За оценку ширины пина гауссовской кривой иногда принимают мало отличающуюся от Лх' величину Лх"=2)~ 2!и 2а-.-2,37а, (2.2.4) которая соответствует уменьшению ш(х) в два раза относительно титах Если имеется несколько гауссовских случайных величии х„хз, ..., х„, то нх совместное распределение вероятностей имеет внд (1.2.44) х се(хт, ...,к„)=, ехр — — 7 7 А ч(х — Х )(хе — Х ); (2.2,5) (2 )яузрыз ~ 2 а~з абаз а и и 'т ! х, е 3 ! Арч(-матрица, обратная корреляционной матрице Вяч — — ((х,— к,)(кч — х, )) =х хе — х «ч,' и — определитель лхл элементов матрицы Вр .
Иногда удобно выражать В 3 ° РО н А через коэффициенты корреляции )срч и дисперсии ор1 121 6 2, гауссовским случдпныгт пноцксс Многомерному распределению (5] соответствует характеристическая функция 6(и„..., иа)=(ехр ! (и,х,+...+ и„х„)) = ч и р~ л — — х'л чт ). (22б) 1 р ж г=! Если величины к,, хз, ..., к„некоррелированы, то и согласно (6) 6(и„..., ии) =6(иг) ...6(и„). т, е. некоррелированиость гауссовских случайных величин эквивалентна их сгатистичесной независимости. При л 1 распределение (5) совпадает с (1).
При и= 2 1 ! ! Г 5гг йгьзз 2па,аз 'г'! — )(эв 1 2 (1 — Вз ) ~ а', агат а, ')) (5г х,— хь а,'. Д) -оо ( 5г (+со) В случае стацггонарного гауссовского процесса а', а,'=аз, хг=х, Р, =Р(т)=В( — т) (т Г,— Г ) и выражение (у) несколько упрощается (см. (1.4.23)). Как следует из (5), все статистические характеристики гауссовских флуктуаций 5!=хе — хг должны выражаться через Арг илн Вгв т. е. через элементы корреляционной матрицы. В частности, многомерные корреляции В„,-(5, ... с",) могут быть выражены через парные корреляции: (2.2.8) (2.2 о) Вп+ ! зв Сумма в (9) охватывает все варианты парных сочетаний индексов. Из общих соотношений (1.2.45), (1.2.46), в частности, следует, что Вп„— -(х хт, а'+2В'(т)=а'(1+2В (т)~, (2 2ЛОз) В =(хзх') =йгггВ (т)+6В'(т) =аз [9)с (т)+6)гз (т)).
(22.166) Спектральные амплитуды (см. 5 3 гл. 1) гауссовского процесса ! х = . ~ х(Г)е-гмгг(Г 2п (х„=о), С т венка многомерное распределение (5) распадается нз произведение одномерных: в(х, ..., х„) =в(хх) ... в(х„), !22 гл т молили сляпанных пропгссон и полки а'= (хз) = ) еэС (е) ле= — аЧ("' (0) ни атет а1 (Хз) = ) ееС(ез) не=аз)7ы' (О) = — а'е1, в где /7з' (0) =((и/г(т)з Я (т))т е. Учитывая стационарность х, находим л (ку) = — (хт) = — -- (кх) = — ае„ л/ (2.2. И) т. е.
коэффицяент корреляции между х я д равен (хх) а', /7тз = у. )/(ха) (х') аа, Поскольку всегда ! /(ге !~1 (см. (1.3,3)1, то (2.2 15) (2.2.16) 0~7 а1, Иначе говоря, в (!4) е, Еем. Таким образом, согласно (1) я (7) в (13) 1 / хэ) в (х)= = ехр ~ — — /!, )' 2лаг ~ 2аг/ 1 / 1 ~ се 2т62 Уе в(х, Х)= акр( — ~ ' -1- — — '+ 2лаа )/г'-уэ 1 2(! — уэ) ( а" аа а„' )) (й=х-х). (2.2.17) (2.2.10) ли !ейно связанныс с х, также будут прн этом гауссовскими случайными веля- чинами.
Для них справедливы соотношения, аналогичные (В)-(10): (х к х х )=(х„х )(к х )+ +(к х„) (х, к )+(к х ) (х, хм ) (2.21!) Если процесс х(/) стационарен, то в (11) (х к )=С(е)6(е,.+е), ! / где С(е) — спектральная плотность процесса х(/). Функции распределения для производных по времени. Если х(/) — стацио- нарный шум, то средине (хз) и (хз) — постоянные неличины я о/ ' М вЂ” (ке) =2 (кк) =О, (хе) = 2 (хХ) =О, т.
е. х не коррелярует как с х, так и с Х (если все тря величяны берутся в один я тот же момент времени). Для гауссовскях к, х н Х отсюда следует статистическая незавясимость х от к я х: в(х, х, Х) в(д)в(т, х). (2.2.13) Днсперсяя случайной функцяя х я ее проязводных равны: ое (хэ) — (к)з ) С (е) не=аз, !23 4 з Вычисление некоторых средних. Средаие вида А (х,ех*), (2.2.19) где х, и хэ — гауссовские случайные величины, можно найти не обращаясь к двумерному распределению (Т). 11ействнтельно, А можно записать как А = — (еи) а дц где у=ах,+хе Величина у, будучя лянейной комбинацяей хг и хз, распреде- леаа по нормальному закону, т. е.
(ех) ехр ~у+ — 1(уз) — уо)~. ! (2.2.2!) На Уг ахг+хм У'г мзх)+гахгхз+х',. Подставив (2!), (22) в (20), получим 1 (х ее) =(х+хт,— хх) ехР !хо+--(х(-то)~. (2.2.22) (2.2.23) Напрямер, для стационарного процесса с нулевым средним значением я функ- цией корреляцяи В(т) находим, используя (23), (хте*) (хе"т) В (т) еоцт, (х ех) = (Яехг) — В (т) еоэгт. Этот просюй прием очевидным образом обобигается на вычисление средних более сложного вида: ((ьгхг) ' ... ()„хо) "е "ы "ы)! (2,2.24) при этом, как и в рассмотренном выше примеое (23), интегрирование многомерного распределеняя заменяется дифференцярованием некоторой вспочогательноп функции.
В (24) т; — целые положительные степени, (! — произволь. ные линейные операторы. й 3. Узкополосный стационарный шум гзш ~ шо (см. рис. 2.1), в виде колебания, близкого к гармоническому. со. вершепно естественно. Ниже мы сосредоточимся на математических Огибающая, фаза, квадратурные компоненты. В этом разделе, а также в 99 4 и 5 мы займемся моделью узкополосного стационарного шума (2.1.1), детальным анализом статистических характеристик его огибающей и фазы. Физически представление случайного процесса (2,1.1), спектр которого 6" (оэ) сосредоточен в малой области Ьго вблизи некоторой частоты шо 124 ГЛ. 2 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 2! ПОЛЕЙ аспектах задачи и покажем, как, зная статистику $((), найти статистические характеристики р и ~р.
Особое внимание в Я 3, 4 уделено случаям, когда $(() является стационарным гауссовским шумом или суперпозицией гармонического сигнала и стационарного гауссовского шума. Эти примеры в равной мере важны и для радиофизики, и для оптики. Для этих случаев удается получить практически исчерпывающую информацию о корреляционных функциях и законах распределения случайных огибающей, фазы и частоты. Учитывая важность для приложений, мы приводим здесь и значительный справочный материал; наряду с действительной, мы широко будем пользоваться и комплексной записью. Более специальный характер носит материал 2 5; здесь рассмотрены негауссовские квазигармонические процессы.
Вводя огибающую (амплитуду) р (1) и фазу ч (1), запишем ~(() =Р(1) соз[ь22)+2Р(()]; (2.3.1) вместо р и ф можно ввести так называемые квадратурные ком- поненты а(() и Ь((), тогда Е (1) = а (2) соз а2,/ — Ь (1) з (п ь2,й (2.3.2) Для узкополосного процесса (2зы с в2) записи (1) и (2) соответствуют выделению быстрых (соз в,(, зш ь22() и медленных (р, Чз а, Ь) функций времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
