С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Однородное случайное поле называется изоитропиым, если корреляционная функция зависит лишь от абсолютного значения расстояния между двумя точкамн з =,'г, — г,!. Для стационарных во времени и однородных в пространстве случайных волей корреляционная функция В(г,, 1ь гм 1,) =В(г,— гп 1,— гт)= — В(з, т). (1.8,3) Е (т.
т) )) Е (ы )т) ет ~тот — Ат~ т(тз т(зй (1.8.4) где тМ=т(й„т(ЛУИ„)т — волновой вектор. Величины Ж(ет, к) мы будем называть спектральными амплитудами пространственно- временного случайного поля. Амплитуды Ж (ы, й) по-разному зависят от ат и й в разных реализациях случайного поля, т. е. Ж(ат, к) — случайные функции ы и (т. Пользуясь рассуждениями, аналогичными приведенным в 9 3, введем понятие спектральной плотности пространственно-временного случайного поля и установим связь ее с корреляционной функцией.
Записывая выражение для корреляционной функции В(з, т) с помощью (4), из требования однородности и стационарностн случайного поля получим (Е(ат, 1т)Ж~(ет', 1с'))=6(ат, )т)б(ат — ы')б(Ы вЂ” 1с'), (1.8.5) где 6(ы, и) имеет смысл спектральной плотности пространственновремениого случайттого поли', 6(ы, 'к) О Отсюда непосредственно Спектры однородных н стационарных пространственно-временных случайных полей.
Обратимся теперь к спектральным представлениям для стационарных и однородных случайных полей. Аналогом разложения (!.3.13) здесь будет разложение по плоским волнам: сО2 Гл 1 методы теоРсси случхпных Функшси следуют соотношения, являсощиеся обобщением формул (1.3,!7), (1.3. 18): В(з, т) = )) 6(сз, )с)е'с"' — ""с(с»с(зк, (!.8.6) 6(со, )с) = — ~ ~ В (т, з) е 'с"' "" с(т с!зз.
(1.8.7) ! (2л)' В выражениях (6) и (7) пространственно-временная корреляционная функция и спектр случайного поля записаны в общем виде. При этом временной ход корреляционной функции зависит от пространственной координаты з и, наоборот, пространственные корреляции изменяются со временем т. Вместе с тем имеется класс задач статистической оптики, когда временную зависимость поля во всех точках пространства можно считать практически одинаковой. Тогда можно записать Е (г, !) = Е (г) 7 (() . (1.8.8) Из соотношения (8) непосредственно следует, что корреляционная функция (3) принимает внд В(з, т) =Ве(з)Вс(т).
(1.8.9) Случайные поля, удовлетворяющие условию (9), иногда называют спектрально «чистыми» полямн 118]. Вообще говоря, условие (9) слабее, чем (8). Кроме того, существует специальный внд полей с так называемыми «заморожениыми» неоднородностями, когда напряженность электрического поля Е(г, !) =Е(г — У!), где У вЂ” скорость перемещения неоднородностей (см, 1 7 гл. 4, а также 1151). В этом случае корреляционная функция поля, очевидно, равна В (з, т) = В (з — ът), (1.8.!0) т. е. пространственные н временные корреляции поля полностью взаимосвязаны между собой. Корреляционные функции трехмерного изотропного случайного поля. Лалее в этом параграфе мы будем рассматривать только пространственные флуктуации случайного поля. Предположим, что случайное поле изотропно; его корреляционная функция В (з) зависит от модуля вектора ~ар Введем в представление В (з) через волновой спектр 6 ()с) сферические координаты з, з, ср, отсчитывая угол 6 от направления вектора 1с: 6 ()с) =(2л)-' $ В (з) е"" с(зз = 2»» со =(2л)-з $ с(ср $ с!В $ В (з) ес»«-~з з)п а зз с(з з з о (2лзй)-2$ зВ(з) зспкзс!2=6(к).
(1.8.1 1) О !оз т а случаиные поля Обращение формулы (111 дает соотношение В (з) — ~ 6 (й) lг юп Ь гй. е (!.8.!2) Функция В (з) является убывающей (рис. 1.21). Интервал з, на котором происходит значительное уменьшение В (з), называется радиусом корреляции г„'). Рассчитаем корреляционные функции В(з) (12) для некоторых видов спектра 6(й). Если волновой спектр равномерен в интервале !О, йа1: 60 г йо 1 О, (г)й„ (1.8.13) то В (з) = — 6а й з)п йзт(й = 4яз-' (з)п/газ — йу соз йа). (1.8.14) В случае гауссовского спектра С (А) = 6а ехР ( — (й)(га)а) (1.8.15) для пространственной корреляционной функции получаем В (з) = и" й'„б,ехР ( — (2йот)а). (1.8.16) Речь пойдет, таким образом, о волне, распространяющейся вдоль оси г; будем считать, что комплексная амплитуда волны А(г) случайным образом зависит только от радиуса-вектора г, лежащего в плоскости, перпендикулярной оси а.
Волну типа (17) можно рассматривать как «искаженную» плоскую волну. Поле вида (17), очевидно, возникает, если идеальную плоскую монохроматическую волну пропустить через безграничный плоский экран, прозрач- '1 Этот параметр аиалотичеи времени корреляции т . Графики спектров (13), (!5) и соответствующие им корреляцнон. ные функции (14), (16) изображены на рис. 1.21.
Двумерное нзотропное случайное поле; случайная волна. Для радиофизики и оптики первоочередной интерес представляет специальный внд случайных полей — случайные волны. Общие формулы, записанные выше для случайных полей, мы конкретизируем для случайных волн. Рассмотрение начнем с волны, близкой к регулярной плоской монохроматической волне. Рассмотрим случайную волну вида Е (г, г, г) = А (г) е'<мл-а">. (1.8.!7) ГЛ 1 МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАПНЫХ ФУИКШП! ность и фазовый набег в котором случайным образом изменяются от точки к точке. а/А/ /А д/а! (р бгз /У /е А;/Ле е/Г ' АР д/а! гр ге А,Сел ГР дл Ага,» а 'Ю Рнс.
1.21. Равномерное (а) н гауссовское (б) спектральные распределеннн д(б) н соответствующне нм коррелнцнонные функции б(а) ллн трехмерного (1) н двумерного (2) случаен. сг(б)=б(б)/бм б(а)=В (а)//З(0). Вь (з) =2п ~,/а(зх) 6(х) хбк,' (1.8.20) а Уе(х) — фУнкциа БесселЯ от действительного аРгУмента. ФоРМУла обращения (20) имеет внд СО 6 (х) =-(2л)-' ~ уа(хз) В (з) ь !(з. е (!.8.21) Волну (17) можно характеризовать поперечной пространственной корреляционной функцией В, (г, — гх) = (А (г,) А* (г,)). (1.8А 8) Лля статистически однородного н нзотропного поля А(г) корреляционная функция (18) разлагается в двумерный интеграл Фурье: В, (з = ! г, — г,1)= ~ 6 (х)егн*г(ах.
(1.8.19) Здесь х в поперечная компонента волнового вектора(г, й= р'не+ха. Ввиду изотропности поля в (19) С(х)=6(х) (см. (11)); переходя к полярным координатам, выражение (19) можно представить в виде о о, случдпиые пОля Вычисляя поперечные корреляционные функции (20), получим: 1) в случае равномерного спектрального распределения (13) Вг (з) =2пбо ?о(зх) хйх =2пбох1 ' ~ '; (1.8.22) 2) в случае гауссовского спектра (15) Вг (з) =2п6о) ао(хз) хе-'"'" >*с(х=п6ох~ <аки'гт. (1.8.23) о Для расчета интеграла (23) использована формула 6.631 (ГР, с. ?30) *).
Графики корреляционных функций (22) и (23) показаны на рис. 1.21. Введем угол 9 между направлениями векторов (с,=ко и 1с', тогда х =йяп9 и формула (20) принимает внд иГ2 В (з) =пйв ),?о(йзз!п 9) 6(йяп9) яп29 й9. (1.8.24) о ? — п2 (х) = (2/пх) го сов х, ,?на (х) =-(2/ггх) г го яп х, формулы (11), (12) и (20), (21) можно представить в единой записи; В(з) =2пз '" оио~ й"'2,? о ОЪ 6(lг) =2лй-~а — ям ~ з"'2.) „тиа(йз) В(з) йз.
о (1.8.25) Здесь индекс п означает размерность пространства, и, наряду со значениями п=3 и 2, можно полагать и=1. В зависимости от значения л параметр Й имеет смысл полного волнового числа или его поперечной проекции х. Нетрудно убедиться, что при и = 1 формулы (25) аналогичны формулам (1.3.17), (1.3.18), выведенным в 9 3 для случайного процесса. *у н таком виде даютсн далее ссылки на справочник: Градштейн и. с., Рлгнтк И. М.
Таблицы нитеграаов, сумм. рядов и произведений. — Мц Фцамат- гиэ. Шбз, Волновой спектр 6(х) =6(йяпО) люжно здесь интерпретировать как угдавой спектр, определяюший среднюю интенсивность излучения под углом 8 к оси г (подробнее об этом см. 9 1 гл. 4). Учитывая соотношения между функциями Бесселя и гармоническими функциями !06 Гл. !. методы теории случлиных Функтн!и Соотношения (25) позволяют установить связь между характерным масштабом изменения пространственной корреляционной функции — радиусом корреляции г„(при з=г„функция В(з) спадает, например, вдвое) и эффективной шириной Л!т волнового (углового) спектра изотропного случайного поля: Лй г„! (1.8.26) (ср. с (1.3.32)).
Заметим, что для анизотропных полей, для которых радиусы корреляции по разным направлениям различны (с примерами таких полей мы столкнемся в гл. 8; см. рис. 8.10), вместо (26) следует писать: бй .г~ 1, йй» гк„!, Лй,.гаа 1. Световые пучки; поперечная и продольная корреляция. Волна вида (17) со статистически изотропной комплексной амплитудой является идеализированной моделью. Поэтому обратимся к более реальной модели ограниченного в пространстве светового пучка (рис. 1.22) Е(г, г, () =А (г, г, () е'!"!-еаа1= !) В!!ш! — Е,а+Ф!т, а, !Ц (1.8.27) ' ов Слу"и""о а"и"иро"" Координата г направлена вдоль нпп в пространстве световои оси пучка; вектор г, как и ранее, расположен в плоскости, перпенпуан». !т1ппарп распределение пн.
Дикулярной оси г, Изменения омплексной амплитуды А (илн действительной амплитуды р и фазы тр) вдоль оси пучка предполагаются гораздо более медленными, нежели поперек пучка (см. гл. 4). Наиболее существенные черты пространственной статистики поля типа (27) описываются поперечной корреляционной функцией (18) для некоторого сечения пучка г: Ва (г„г;, г)=(Е(г„г, () Е*(г„г, ()) =(А (г„г, () А*(г„г, ()), (1.8.28) Помимо функции (28), пространственную статистику световых пучков можно характеризовать продо тоно!! корреляционной функцией В (г„ге; г)=(Е(г, г!) Е" (г, га)',= =='Л(г, г!)Л'(г, г!)е'"' — "". (1.8,29) %7 $ з. случлйные поля При описании процесса распространения случайно модулированных световых пучков удобным оказывается введение новых координат: 1 з=г,— г„й =-„-(г,+г,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
