Главная » Просмотр файлов » С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика

С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 16

Файл №1158187 С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика) 16 страницаС.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187) страница 162019-09-18СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Лействительно, подстановка (ЗЗ) в (29) дает 1 — з (е) — а ррз=2пбб е =. е в соответствии с (31). В 7. Стохастические дифференциальные уравнения. Использование стохастических методов при неизвестном точном решении Усреднение системы линейных уравнений се случайными й-коррелированными коэффициентами. Во многих задачах, особенно нелинейных или связанных с системами с переменными параметрами, вид точного решения для дифференциального уравнения, определяющего случайный процесс, бывает неизвестен. В теории случайных процессов разработан ряд специальных методов, которые позволяют отыскивать статистические характеристики, в принципе, и в этом случае.

Эти методы называют иногда стохастическими, чтобы подчеркнуть, что в них с самого начала используется случайность (стохастпчпость! исследуемого процесса. 78 ГЛ Ь МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Используя стохастические методы, можно, исходя из дифференциального уравнения для х и минуя его аналитическое решение, получать уравнения (тоже дифференциальные) непосредственно для статистических характеристик — моментов х", распределения вероятностей ш(х, г) и т. п. Рассмотрим переход к уравнению для средних, если исследуемый случайный процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями с 6-коррелированными случайными коэффициентами. Чтобы пояснить сущность метода, возьмем простой случай одного уравнения первого порядка х + (й+ $ (!)! х = ~р (1), $ = О, Я, = 2))6 (т), с гауссовским случайным 6-коррелированным коэффициентом $ (1).

Уравнение (1) допускает аналитическое решение; поэтому статистические характеристики х можно, в принципе, найти путем усреднения этого решения. Мы, однако, воспользуемся (1), чтобы проиллюстрировать метод вывода уравнений непосредственно для средних. Усреднив (1) по ансамблю Р, получим х+Ьх+сх= э(г). (1.7.2а) Если бы удалось выразить среднее Гх через х, мы имели бы замкнутое дифференциальное уравнение для х. Покажем, что в рассматриваемом случае это нетрудно сделать. Интегрируя (!) методом возмущений, получим решение в виде ряда х=х„-!-«,+х,+..., члены которого пропорциональны возрастающим степеням $: х, (1) = ~ гьа р (7 — 9) 69 о х,(г)= — $ е-"'6(г — ОА)х,(г — ОА) (Ои (1.У.З) о «,(()=$ е — Ав9(1 — 9,)х,(1 — 9,)69,= о )')е — АФ+а>ф(1 — 9,)с(т — 9,— 9,)х,(! — 9,— 9,)ИО,В, (1Л.4) о и т.

д. Заметим, что члены нечетного порядка являются чисто флуктуационными, а члены четного порядка имшот как случайную, $ т. стохестические мнтоды так и регулярную компоненты: хее и хее~-1 хее Хее + хел В частности, (л=О, 1, 2, ...). х, (1) = х, (г), х, (1) = Ц е(8, ИВее — 'Ш - оа !й (1 — 8,) 8 (! — В, — Ве)— о — 8 (à — В,) 8 (à — 0, — 8,)1х, (1 — В, — 8,). <1.7.6) Ислользуя корреляционную функцию (2), находим, что е-ее ! = — 1пп 2Рх, (1) = О. е о Лалее, используя (4), можно показать, что <5(1)) хе(0)Щ О о и вообще <$(1) ~х„(0) Ж) =О.

Это значит, что о <%(() 1 х (8) о(В> =О, (1.7.7) о е НО ПОСКОЛЬКУ <$(1) $Х(0) ЙВ)еееО И Х=Х+Х, тО СООТНОШЕНИЕ (7) о можно переписать как <6 (1) $ х <6) бВ) = О. о Совершенно аналогично доказывается, что <к(1) $Ь(8)х(0) (0) =О. о (1.7.6) <8(г) $х,(0) дВ) = о Е+е ее — !пп $ о(8$ о(В,е-оо <$(е)$(0 — 8,))х (6 — Ве)= е о о о е+Е ее - — 2Р!пп $ о(8 $ г(во а — "'*х,(8 — 0,) б(1 — В+8,).

(1.7.6) е оо о В (6) 0,~0, а значит, обращение б-функции в нуль может нроизойти только на интервале 1(8-=.1+в. Интегрируя в (6) сначала но 8,, а затем но 6, получим 1 1+о <6(1) ) х,(6) о(6) = — 1пп2Рхо(1) ~ о(Ве-о ~о-о о е о гл.

ь методы теОРии случАЙных Функций ($(Г) ~ $(8) х(8) О(6) = Рх((). О (1.7.9) Вернемся к усредненному уравнению (1): х + йд+ 1х = ср (!), в котором, напомним, нужно выразить $х через д, чтобы полу- чить замкнутое уравнение, содержащее только х. Такое пред- ставление для йх можно найти, если воспользоваться соотноше- ниями (8) и (9). Действительно, поскольку (1) эквивалентно инте- гральному уравнению с Х (!) = $ ( — йХ (6) — $ (8) Х (8) + ср (6)1 О(6, О (1.7.! О) с $к = — Ь($(!))х(6)О(8) — (6(Г)$6(6)х(6)с(6), О О или с учетом (8) и (9) $х = — Рх.

(1,?. 1 1 ) Подставив (11) в (!О), получим искомое уравнение для д: х+(л — Р) х =ср(1), (1.7.12) из которого следует, что х (г) = е — 'А-о> О Чс (( — 8) с(6 = ~ (ср = сонэ!). (1.7.13а) сс — 0 Зтот результат можно проверить, прямо усредняя решение уравнения (1), вид которого известен: сО х(!)=1 а — АО-х р(! — 8)(6, к- 5 й(г')О(!'. Считая ср=сопз1, находим х ср ~ е-АО(а-х) (6 (1.7.13б) О Учитывая (2), нетрудно убедиться, что ()(О? 2Р6, причем процесс д, линейно зависящий от гауссовского шума 6, тоже является гауссовсиим. Следовательно, с (с-х) -ст '',-аоО 81 $ т.

стоххстичвскив методы Подставив это среднее н (13б) и интегрируя, получим выражение, совпадающее с (1За). В заключение подчеркнем, что замкнутое уравнение для (уравнение (12)) мы получили, воспользовавшись предположением о 6-коррелированности флуктуаций параметров. Выше указывалось, что 6-коррелированный процесс физически нереализуем. Тем не менее этой моделью можно пользоваться, если ширина спектра флуктуаций существенно превышает характерную полосу пропускания системы; более подробно этот вопрос рассмотрен в 9 3 гл. б (см. также обсуждение после формул (31), (32)). (6 .(1) 1хэ(6)66>=0, о (1.7,18) ! (йтп Р) зз йрп (6) хо (6) лэ) = Ртар о (1) Мо (Г) (1.7.17) о тан что, усредняя (14) и используя последние соотношения, нетрудно получить систему дифференциальных уравнений для средних х, х, ..., д Процедура вывода этих уравнений очень проста, Усредняя (14), имеем х =~а,д,+~(6 пхп)+атт (1.7.!8) л л эде, очевидно, (йтлхп) - (болллл) Однако, чтобы найти ($тл.Гл), нам нужно знать не всю флуктуацию лп, а лишь ее компоненту, которая коррелирует с $тп.

Обозначим эту компоненту посредством хгл1: (!.7.19) Как следует ив (16), (17), уравненяя для х~"~ получим, оставив в правой части (14) только члены, пропорциональные $ „, заменяя прн этом коэффициенты прн $ и нх среднимн значениями: -3). х„=; $п» 09 ха+ йп„(Г). Сп1 % Соотношения типа (8) и (9) справедливы и в общем скучав системы произвольного числа уравнений первого порядка со случайными 6-коррелированными коэффициентами Л д, = ~ 1а (г)+$ (г)]ха+а Р)+$ л(1) (ш 1. 2, ..., Аг), (1.7.14) л ! определяющими случайные функции хт, х„..., х,. А именно, если 6 (г)— случайные, взаимно 6-коррелированные н, вообще говоря, нестационарные гауссовские функции времени: (йтп) =0 ($щл (Ф) й>ю (Г)) =2Ртпрэ (1) 6 (à — Г), (1.7,16) чо, аналогично (8) н (9), ГЛ.

Ц МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ с ! х'.л) (с)-~ х» (1) ) 6.» (в) де+) 6л, (е) де, (1.7.20) » ге<С 6<1 где с учетом 6-корреляции 6л» функция х» вынесена из-под знака интеграла. Подставив (20) в (19), получим ($млхл) =~.,'д»Омал»+))тала (1.7.21) Подстановка (21) в (18) дает искомые уравнения для средних хм.

Соотношения вида (20) и (21) могут быть доказаны н для нелинейных стохастичаскнх уравнений. Например, если У=а(х)+Ь(х)$(Г), (66т)=206(т) (а, Ь вЂ” произвольные функции х), то хлл~=(Ь (х)) й, $= $ 6(е)бе ц<с (х$) =(х'л'6) =(Ь(х)) В Этн соотношения следующим образом обобщаются на случай некоторой функции 7(х) процесса х: (щ' = ((' (х) Ь (х)) й ()' кя д(/дх), (1 (х) 6) (7' (х) Ь (х)) О. (1.7.2!а) (1.7.216) Х»+(26 — 4Р) хе=2ф(Пх, (1.7.23) откудл ха=2~ е ( ~ ф(т — Е)х(1 — Ь)аз, Приведенные соотношения строго доказываются с помощью уравнения Фоккера— Планка (см.

следующий раздел), и метод расчета, основанный иа модели 6-кор- релированных коэффициентов, иногда называют фоккер-планковским приближе- нием. Описанный подход применим для определения моментов произвольного (а не только первою) порядка по х, ..., х, так как. домножая (14) на функ- ции х, ..., х, и комбинируя, всегда можно получить замкнутую систему линейных уравнений для величин у,=х х ... х, Усредняя эти уравнения, ла- ' а ч"' придем к уравнениям для моментов произвольного порядка (у г). Напри- мер, умножив (1) на х, получим уравнение — „г +26+26 (1)] ха =20 (с) х, (~ (1.7.2х2) которое вместе е (1) образует для х и хэ систему уравнений вида (14).

усред- няя с учетом (16) и (17), находим 4 т. стоххстичяскип мдтоды ичи, принимая во внимание (13а), «ь (. )~=2$$ЛЕЛЕ«е — ""-'ОГВ ф-О"рр — Е)рр — Š— Е) (!.7.24) 0 где индекс Й при угловых скобках напоминает, что усреднение произведено по ансамблю», т. е.

на функцию ф оно не распространяется. Зто означает, что »э()) является либо регулярной (неслучайной) функцией времени, либо «р(1) случайна, но статистически независима от » (!). Предположим, что имеет место последний случай. причем ~р=о, ур«=Во(т), (!.7,25) Усредняя (13) и (24) дополнительно по ансамблю ~р н учитывая (25), получим (х)», =О, (хз)»,, -„ — ~- е (~ Ш «В, (т)«)т. (1.7.хо) В частности, если В (т)=озе т' ~, то средний квадрат х будет равен ое »'е (И вЂ” 20) (И+у — О) ' Как известно, б-корреляции соответствует неограниченный по ширине частотный спектр: если В(т)=2Р5(т), то ! 0 б (ю) = — ! В (т) е'"т«(т= — = сопз1 л при любом значении ы. Поэтому рассмотренную модель уравнений с дельтакоррелированными коэффициентами можно применять лишь в том случае, если случайные коэффициенты уравнениИ изменяются во времени достаточно быстро, т.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6501
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее