С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 34

рис, 2.лх, а), Если же р н ф флуктуируют, то эта картина будет случайным образом искажаться (см. рис. 2.22, б). Обшне соотношения, связывающие распределения вероятностей ш (З), ш (р) и хаю ЛА рактеристическую функцию В (и) = (ехр гиз), были получены в 4 5 (сч. (2 5.59) — (2.5,74)), Отметим, по из стациоиариости (53) следует равиораспределение фазы;:." (гр) =!/2и. Рассмотрим теперь одномерные статистические характеристики процесса (53), -и л а' конкретизируя форму импульсов. нз !. Л (ф) — знакопеременная последовательность прямоугольных импульсов с длительностью рп (рис, 2.24, а), В этом случае (г„(ир) = 1 — р и р соз ир (О < р С ! ) (2 8.54) ?,т Рис. 2 24 Импульсы Рр[.) рзтлич ной формы.

Преаставлевы бвв искажений, вна снмыв Флтнттвиивми. и, как следует иэ (2.5.7!) и (54), одномерные функции распределения 5 и р связаны соотношением ш6)=ш( — Ю=(1 — р)56)+ "- (р) 2 (2.8.55) Согласно (55) при отсутствии пауз между импульсами (р= !) распределение огибающей совпадает с распределением самого процесса (в области положительных значений); в этом случае в (2.5.70) (Гв (ир) = соз ир, (2.8.55) мп (юи?2) (7, (ир) — ! з!п ир —.

— — '- — (гя Ф О). тп/й 4 а, нмпильснып сличлпнык ппониссы 2. г" (ф) — последовательность импульсов треугольной формы (рис. 2,24, б). При этом () и (ир) = ир з1п ир (ир)а — (тп/2)э (т ги=0,2,4, ), (I (ир)=-" — 1 —, (и. т=!,3, „,), г (ир)з — (лиг!2)'-' (2.8,57) и (2,5.71) првинмает внд синус-преобразования Фурье: 8 (и) и = ~ — сй~ ир Др. 1' в (р) Р о (2.8.68) Обратное преобразование дает — ~ — - — 3 8(и) з)вирда () 2Р (2.8.69) и о (ср. с (2.5.19)).

Как следует нз (59), для гауссовского импульсного процесса распределение огибающей ие будет рзлеевским: подставив в (69) 8 (и) ! ехр ( — — озиз), получим 2 в(р)-=р'е а! о — ° ао' р поз (2.8.60) в(8) = — т осе и7,8(и) г(и= — ~ — бр 4 ' би, (2.8.61) ! 1' 1 Г;а(р) (Г соэи5юп ир п~ и,) р ) и о о Но совий э1п ир ) и/2(р) 5), е Подставив (62) в (61), получим, что для зреугольиых нмп)льсов ссютиошение между распределениями самого процесса и его огибающей будет следующим: в(4)=-2 ~ бр (2.8.63) р (ср.

с (2.5.18) н (55)). Нетрудно убеди~ься, что в случае в(р) вида (60) распределение (63) будет гауссовским, Прн распределении высот импульсов по закону Рэлея в (р) = — ехр ( — рз!2ае) из (63) находим распределение импульс- Р оз ного процесса, выражающееся через интеграл вероятности: в Я) — — е е ' др — — 1 — Ф ! — ', )~.

(2.8,64) — о*,'эе' си Г 29 2о ) ()г2п Характеристической фуинцин (58) соответствует четная функция распределения вероятностей вЯ) в( — 5), причем (ве ГЛ 2 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ Дробовой шум, Важным примером импульсного случайного процесса является дробовой шум электронных ламп. Анодный ток электронной лампы представляет собой случайную последовательность импульсов, обусловленную статисэ ическим характером электронной эмиссии. Расчет характеристик возникающего импульсного случайного процесса представляет собой, вообще говоря, весьма сложную задачу; в общем случае существенным оказывается взаимодействие между электронами. Имеется, однако, важный случай, для которого расчет статистики дробового шума не представляет труда, — задача о дробовом шуме диода, работающего в режиме насыщения.

Здесь взаимодействиями электронов в меж- а) а) Рис. 2.25 Схема диода (а) и распределение потеиииала в диоде (б): ! — в несметенном виоле, 2 — при отранитснии тока пространственным верехом. электродном промежутке можно пренебречь, статистика импульсов анодного тока полностью аналогична статистике термоэлектронной эмиссии. Поскольку последняя является пуассоновской (различные термоэлект роны эмнттируются независимо), определение статистики анодного тока сводится к расчету характеристик пуассоновских импульсов. Рассмотрим плоский диод, разность потенциалов между электродами которого равна )т; межэлектродное расстояние обозначим через е( (рис. 2.25).

Вероятность вылета одного термоэлектрона в интервале времени е(( равна ((Р = р г((, (2.8.65) где р — вероятность вылета в единицу времени. Тогда вероятность вылета и электронов за время Т описывается распределением Пуассона с л = в)Т, где Я = 1„/е — среднее число электронов, эмиттируемых катодом в единицу времени, тв — среднпй ток и е — заряд электрона. Соотношение (44) сразу же дает нам выражение для спектра дробового шума: 0 (ео) = 2ЛР , 'т (пт) !в, (2.8.66) и вычисление спектра сводится, таким образом, к определению фурье-образа ((те) импульса тока ((т), возбуждаемого в анодной !87 В В импульсные слу"!Апные прот[ессы цепи отдельным электроном. !(ля расчета формы импульса тока можно воспользоваться следующими простыми соображениями. При движении электрона от катода к аноду на отрезке пуэп В(а внешнее поле Е совершает работу ЛУ =еЕВ(а.

В силу закона сохранения энергии можно записать ! (() У' е(( = еЕ е(а = еЕ В(г (учтено, что диод является плоским), откуда !'(() =-Š—, = „и((), (2.8.67) где и(() — мгновенное значение скорости, )е=ЕВ(. Величину и(г) можно найти из уравнения движения тг = еЕ. где т„р — время пролета электрона от катода к аноду. Таким образом, анодный ток насыщенного диода представляет собой случайную последовательность импульсов треугольной формы вида (67) (см.

рис. 2.21): 7(Г) =~,((à — (.) = 7' ~ (( — („), О~( — г„~т„„ 'е ~ тйр где („— моменты вылета электронов. Фурье-образ импульса тока имеет вид ОР ыр В( )= — ~ !Яе'"'Й= —,~ (е-''Ш, ! "" В (2.8.60) !е!В ) ( (ы) /В = ( —,~ [2+ 8 — 28 В(п 8 — 2 соз 8 ! = ( — ) .~ (8), где 8 =ыт„р — величина, которую в электронике принято называть пролетным углом. Пользуясь (69), для спектральной плотности дробового шума насыщенного диода получим 0 (ы) =,У'(8) -'7,. (2.8.70) Важно отметить, что частота входит в спектральную плотность в комбипшп и со временем пролета. Согласно (70) спектральная плотность дробового шума максимальна при 8-~-0 (ы-+ 0). Раз- При достаточно высоком напряжении у' тепловой скоростью электрона можно пренебречь: полагая, что при (=О г=О и 2=0, для ((() получаем ((() = 2ег тй„, тер = йте(/еЕ, О (Г ( т„„(2.8,68) 188 гл э модели слэчхпных пяоцяссов н полян лагая с1п 0 и сох в в ряд, нетрудно убедиться, что (2.8.71) о" (о) = —. ( . Эта формула носит название формулы Шотгки; ею пользуются обычно при расчете дробовых шумов низкочастотных электронных ламп.

Прн 0- оо О(в)- О, т. е. при больших пролетных углах дробовой шум исчезает. Отмеченное обстоятельство не следует рассматривать, однако, как рецепт повышения чувствительности усилителей на электронных лампах; при 0- оо резко уменьшается и коэффициент усиления. Лобиться уменьшения уровня дробового шума можно, переходя от режима насыщения к режиму ограничения тока пространственным зарядом.

В этом случае вблизи катода (см. рис, 2.25, б) формируется минимум потенциала У„;„, глубина которого зависит от тока эмиссии, что приводит к уменьшению флуктуаций анод- ного тока. Этот эффект называется депрессией дробовых шумов. С учетом эффекта депрессии формулу (71) следует записать в виде (2.8.72) О+ (в) = à — 7м где à — так называемый коэффициент депрессии. Результаты расчета коэффициента депрессии (в этом случае принципиальным становится учет распределения электронов по скоростям) можно найти в [251.

На низких частотах величина à — 0,01, так что депрессия дробового шума оказывается достаточно сильной. Учет взаимодействий между электронами на высоких частотах представляет собой трудную задачу; с проблемамп теории высокочастотных дробовых шумов в электронных лампах можно ознакомиться по монографии 1251.

й 9. Фотоотсчеты в случайном световом поле В этом параграфе мы обратимся к еще одному примеру импульсного случайного процесса — займемся исследованием статистики фототока, возбуждаемого световым излучением на фотокатоде (упрощенная схема фотоэлектрического детектора изображена на рнс.

2.26). Эта задача аналогична, разумеется, задаче о дробовом эффекте, рассмотренной в предыдущем параграфе: элементарный акт фотоэмиссии является случайным, подобно элементарному акту термоэлектронной эмиссии (см. рис. 2.21). Однако здесь мы рассмотрим новый аспект этой задачи, имеющий особое значение для статистики фотоэмнсспи, а именно, рассмотрим статистику фотоэлектронного тока в условиях, когда катод э э вотоотсчеты в случднном световом поле 189 / †кат (Эоточувствительная новеркиостьг; г — падающее све. ковос иэлучеяие; г — эыиттироввв. иые (эотоэлектро/(ы/ ! †колленториыд виод, !(/! †выводн ток, я в яагруэочное гоиротн». лгяие.