С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 26

а модели слэчаиных процессов и полеА а распределение фазы выражается через 6-функцин: 1 1 (ф) = — 6 (ф — а ) + -эн- 6 (ф+ а ) + 6 (ф) — а С ф С м) . (2.4.40) 2 Рассмотрим теперь общий случай — квазигармонический гауссовский процесс $(1) а(1) соз(еь(+фе) — Ь (1) а!п(ша(+ф), (2.4А1) для которого не выполнены условия стациоиарности (2.3.4), (2.3.6), т. е.

<аа> чь <Ьа>, (аэ> чь О. (2.4.42) Второе из этих условий несущественно, так как подбором фазы фа всегда можно добиться обращения в нуль (аь). Будем считать, что зто сделано, и рассмотрим (41), предполагая, что (а) = <Ь) =О, (аЬ) =О, < >= 6(1+6), <ь>=,(1 — 6) (2А.43) ( — 1 с 6 с 1, (аа> М <ьа>), где а, 'и 6 — постоянные параметры. Случайными функциями вида (41) описываются, например, шумы в параметрических усилителях, работающих в вырожденном режиме, причем величива 6 связана с коэ(арициентом усиленна: прн малом усилении 6 О, при большом — ~ 6 , '1 (см.

гл. 6). Усредняя $ н учитывая (43), находила (6> О, <$а>=а*(()=аа [1+!) сов 2(ы,(+фа)). (2.4,44) Ирн гауссовских и стационарных а(Г) и Ь(Г) распределение вероятностей для а (Г) тоже будет гауссовским, но зависящим от времени, т. е.

в рассматриваемом случае процесс $(Г) является нестацнонарным: — $4/Я па (О я, г)='. Г 2пи(г) При 6=0 процесс (41) совпвдает со стационарным шумом (2.3.1), а при !) =1 — с процессом, описываемьш (31). Из совместного распределения для а и Ь ш (а, Ь) = ш (а)ш (Ь) 1 аа ~ ! ьа у 2паа у 1+6 ! 2а)(1+6) ) у 2поаУ~ 6 ь 2ааа(1 6) ~ можно получить совместное распределение для огибающей и фазы процесса (41); ш(р, ф)= ехР~ — — ~.

(2.4.46) р Г ра 1 — 6соа2ф 1 2паа )' 1 — 6а ! 2а! 1 — 6а Функция (46) не распадается иа произведение функций р и ф, т. е. в этом случае огнбаощая и фаза оказываются статистически связаннымн, Интегрируя (46) по ф, найдем распределение огибающей: о Г р' 1 / 6р' ш (р) !У=В '[ г(1-6*)~ '( а!(1-(Р)!' й 4. УЗКОПОЛОСНЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ где !с (х) — модифицированная функция Бесселя: зп 1,<х)=-! 1 с ' 'Вбф. 2п,) Это распределение при различных значениях параметра () показано на рис.

2.7. В предельных случаях оио переходит в распределение Рэлея (() =О) нлн гауссовское распределение (39) (!! 1). Рнс. 2.7, Распределение (47) огибающей периодически нестационариого гаус- совского процесса (41) при различных значениях параметра () (43). Предельными являются релесвсяое рвспределевне !р, О) н одностороннее энспонен- ннвльнос РвспРеделенне Ш, н; 0<бе<В*<де<С Интенсивность процесса (41) равна ! = - (ая+ Ья) = — рс; ! 1 2 2 (2.4.48) переходя в (47) к переменноп 1, можно определить распределение вероятностей для П ьт (1) =- ехр 1 — 1! е ~! ое'г 1 — ()Я ( от(! — Рс) 4 '<ос(! — ВЯ)~ Из (49) находим <!)=оя, <)я)=ос(2-1-(Р), <!я) — <1)с=ос(1+рв), (2.4.49) <!') — <!)* — <1)й — '+()' Согласно (50) в предельном случае Б= 1 относи ельные флуктуации интеиснв.

насти возрастают в два раза, Проинтегрировав (46) яо р, найдем распределение для фазы 2П 1 — () с 2 ' л«ср«л). (2,4.5!) (2.4.60) Отсюда следует, что нестационариость приводит к заметному увеличению отно. сительной дисперсии интенсивности: (З8 гл т молили случлпных процессов и полни Оно имеет три мансимума (при ф=о, + л; см. рис. 2ьа) и в предельном случае й = 1 принмает вид (40); с уменьшением () распределение ю(ф) стремится к равномерному: ш(~р) =1(2п. Рис. 2.8. Распределение вероятностей (81) фазы периодичесии нестациоиарного гауссовского процесса (41) при различных значениях параметра () (43). Предельными «алнютсн распределение тина Е.Еункции (ра (( и ранисмернсе распреде.

ление (((,=РН О<за<8,<Р,<!. Корреляционные свойства комплексной амплитуды. Сделаем некоторые замечания относительно статистических характеристик введенной в 2 3 комплексной амплитуды узкополосного процесса применительно к рассматриваемым в этом параграфе гауссовским процессам. Представление (2.3.16) квазигармонического гауссов- :кого процесса через комплексную амплитуду: т (() = А (() е™ ( + к. с. (2.4. 52) (а не через огибающую и фазу), имеет определенные преимущества. В частности, из (2.3.!7) следует, что статистика А в этом случае будет гауссовской, так что высшие корреляции А могут быть выражены через парные.

Например, если процесс (52) стационарный, то в силу (2.3.19), (2.3.20) (А Ат) = О, (АА,*) — (р (т) — (д (т)' — Г (т). (2 4.53) Тогда, используя (2.2.9), можно показать, что (А"А,") =О, (А'А,"') =и! Г'(т) (и =1, 2,3, ...).

(24.54) При решении стохастических дифференциальных уравнений иногда бывает удобно заменить достаточно быстро меняю(цуюся случайную функцию А" (() эквивалентным белым шумом т1((): А" (()-ы т) (О, (Чт),) =О, (Чт),") =205 (т). (2.4.55) Ф 4.

УЗКОПОЛОСНЫП ГАУССОВСКИЛ ШУМ !зэ Корреляционную постоянную 0 в (55) определяем, приравнивая интегралы по т от (А"А,*") и (~)т),"): а! ~ Г" (т)с(т=20. ОЪ Напомним, что если спектр 6" (ь) процесса (52) симметричен относительно частоты ы„, то (Д,) =О'р(т) сов гээт, д(т) =0 и Г(т) = = оэр(т)72 — вещественная функция т. Суперпозиция гармонического сигнала и гауссовского шума.

Полученные в предыдущих разделах результаты позволяют рассмотреть чрезвычайно важную для приложений модель случайного процесса, представляющего собой суперпозицию статистически независимых сигнала и шума. Такая модель описывает процессы на выходе реальных приемных устройств, куда принимаемый сигнал неизбежно приходит вместе с шумами, генерируемыми в самом приемном устройстве; в ряде случаев аддитивный шум накладывается на сигнал и в процессе распространения сигнала от передатчика к приемнику. Иногда модель сигнала с аддитивным шумом неплохо описывает и излучение на выходе некоторых генераторов радио- и оптического диапазона, хотя в общем случае здесь ситуация сложнее: в автоколебательной системе из-за нелинейности шум модулирует сигнал по амплитуде и фазе. Использование представлений Об огибающей и фазе узкополосных процессов позволяет дать весьма наглядную картину искажений сигнала, обусловленных аддитивным шумом.

Если в отсутствие шума мы имеем дело, например, с идеальным моно- хроматическим сигналом, функции распределения амплитуды и фазы которого представляют собой б-функции; гэ (а) б (а — аэ), ш (Ф 5 (Ч ггэ) то шум приводит к флуктуационному размытию этих распределений. Удобным математическим выражением этих интуитивных представлений является представление случайно модулированного колебания в виде суперпозиции сигнала и шума. Однако теперь, в отличие от стационарного шума, огибающая и фаза будут, очевидно, статистически связанными; в зависимости от соотношения интенсивностей сигнала и шума мы должны в предельных случаях получить формулы, описывающие только сигнал или только шум. Итак, рассмотрим случайный процесс типа сигнал+шум: х (г) = 5 (1) + $ (1).

(2.4.57) Здесь 5 (Г) — некоторая регулярная функция времени (сигнал), а Э(!) — рассмотренный выше чисто флуктуационный (э=О) ста- 140 гл. е модяли слгчхиных пгоцвссов и полян ционарный гауссовский случайный пропесс (62) (шум). Записывая 3(() как 5 (() = аз (г) соз в,( — Ьз (г) з1п ва( Рз Я соз1в,(+ фа (()1, (2466) аз рз р'аз + Ь|, фз агс1я —, ь ' аз рз соз фз, Ьз = рз з)п фз, (2.4.69) и используя (2.3.2), перепишем (67) в виде х (г) [а (г) + аз (1))соз ва( — 1Ь (г) + Ьз (г)1)з1 п в,( =р(()соз(в,(+ф(()), (2.4.60) где теперь а+аз ~-умФм'+ВФьа. ю- ~аггг а = р соз ф — аз, Ь = р з(п ф — Ьз.

(2.4.61) (2.4.62) Переходя в (63) к переменным р и ф и учитывая, что ~ ~~кфз ~+ы ~ получим в(р, ф) -й- — -ехр~ — ~ (2.4.64) и' зррз (ф Фз) + рй1 (р з О, — и ф с и). Проинтегрировав (64) по ф, получим распределение огибающей в(р)= ~ ш(Р ф)~(ф= — „;7а~ —,) ехр( — 2а, ~, (2.4.66) иногда называемое обобщенным распределением Рэлея. В (66) /, (г) — модифицированная функция Бесселя. Вид распределения (66) зависит от величины параметра рз- рЬ (()/2о' (2.4.66) (рис.