С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 29

щие под действием собственного теплового, дробового или квантового шума (см. гл. 7). !52 гл. т. мОдели случАйных пвоцвссов и пален В теории брауновского движения уравнение (1а) появляется в предельном случае «безынерционного» поведения брауиовской частицы. Если (т)) =О, (т!') = а», (т!т)т) =Во(т) = $ Оо(от) е'"'т(от, (2.6.2) то согласно (!) <8> О, (2.6.3) ао = (~о) = 2 ~ (1 — т) Во (т) !(т = 2 ~ бо (от) ~ 2 ~ ото. (2.6.4) 'о о Отсюда видно, что дисперсия а' зависит от времени: ! оо = 2 ~ Во ('г) Ж, оо = 2Во (1).

о т. е. процесс Е(1) нестационарен. Нетрудно выяснить зависимость оо от времени при малых и больших б Для малых интервалов времени, на которых корреляционная функция В,(т) практически постоянна, находим Во (т) о,'„ от = о«Е» (1 «» то). (2.6.5) Характерное время то в (5) (см. далее (7)) может быть порядка времени корреляции т„ или периода осцилляций Т„ Ст„ функции В, (т), соответствующих эффективной ширине Лы 1)т, спектра бо(то) или частоте от 1)То, на которую приходится максимум спектральной интенсивности.

При больших 1~~ т«, для которых функцию В,(!) можно счи. тать равной нулю, полагая 1= со в верхнем пределе интеграла (4), получим а' = 20 (1 — т,) (Г;~ т,), (2,6.6) где 0= ЛО« (О) = ~ Во(т) г(т, то = ~ тВо(т) т(т/О. (2.6.7) Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. т!(1) — белый шум. При этом Оо(от)=с!, а„' (т!')=со, Во (г) = 208 (т), 0 = пб. (2.6.8) Подставив (8) в (3), получим о« = 201, (2.6.8а) т. е. дисперсия т линейно растет со временем. в В.

ДИФФУЗИОННЫЙ (ВИНЕРОВСКИЙ> ПРОЦЕСС Интеграл от белого шума называют чайным процессом. Нетрудно найти его иногда винеровским слукорреляционную функцию (т~О), ( — 1 < т:а 0), (2.6.86) (т ц- .— 1) 201 В(1, ч) (ццт) 20 (1 — (т)) 0 и коэффициент корреляции (т -- 0), 1' 1+тп рТ+т1( ( — 1(т =0), 0 (т ~ — 1) 1,т= В (т) а (() о (Г + т) (2.6.9) Вю (т) = а'е — а1т( аю = и согласно (3) и (7) а' = — - (111 — 1+е вт), 2() й 1 тю= а (2.6.9а) или — = х — 1+е-, х ою 2)Зтю (рис. 2.13, кривая 1). 3. ПРи гаУссовском спектРе Ою(от) =бе(0)е — чм* имеем Вю(т)=ао~ "'Ч'~ аю=Ою(0)3~ 2И)1 О)г)/21Н, а'= — '~- =1' лср( —,-1 — 1+е ~чч'~, тю= )Г --, (2,6.9б) (рис. 2.12).

Из этих выражений видно, что корреляция между двумя значениями $(О и $((+т) винеровского случайного процесса всегда увеличивается со временем: при любом т~~О коэффициент корреляции )т становится скаль угодно й(бм близким к единице при достаточно больших б На рис. 2.12 точка, соответствующая некоторому фиксированному значению т, ст лт М лт ее с ростом 1 перемещается к Рис. 2.12. ((оаффициент коррелицип вершине кривой.

)т(б т) (9) винеровского процесса в аавн- Заметим, что выраже- сицости от т/Ь ние (861 находится в согласии с (6), так как в случае белого шума для всех ( выполнено условие 1~ т, = 0 и согласно (7) тю = О. О/гю/т 2. Спектр т) (() — лоренцевский, бю(гю) = „,, При этом 0ц = нйб, (0) 154 гл.й.молили слкчднных процессов н полки нлн — =* хФ ( — 1 — 1+ е-"/, х 20та '(3~ л! со ю г Рис.

2.13. Рост днспеРсии диффУэноиного процесса (1) со временем. Кривые ( — а построепм ллв рааличнмх свектральнмх плотностей процесса И (О; ( †лореицевскнй спектр, Э вЂ >осовский спентр, а— спектр с отфильтрованнммн ннакнмн частотами (10>. Пуннтнриме нрнвме — вснмптаты. 0 ы' 0( Д' 6о((о) = — — „= -- [1— л ма+де .( ~ /(т+(,>х Во (т) = 206 (т) 0Ие — а (т( (2.6.10) Подставив (10) в (3), получим "= — (1- — ).

20 И (2.6.1 1) В этом случае линейным является начальный участок кривой ~в(/) =ой(1) (рнс. 2.!3, кривая 3). 5. 6,(0) =со, Пусть, например, 6, (ш) = — ~ — ' ~ (О ~ ч (1), (2.6.12) о ' ' Г(т)совке/2(мат)а т Подстановка (12) в (4) дает (ша() + . 20 ы:„сов зт/2 (2.6.13) ') Спектр вида (12) отвечает реальному процессу в так наэываемому фликкероиуму (см.

1201). (рнс. 2.13„крнвая 2). Кривые 1 н 2 на рнс. 2.13 нлл(острнру(от переход от квадратнчного закона нарастания днсперсии (5) к линейному (6). 1 Рассмотренные особенностн характерны для тех случаев, когда спектральная ннтенснвность силы (1(1) на Ю нулевой частоте 6„(0) имеет некоторое конечное значение. г' Если 6, (0) = 0 нлн 6, (0) = со, то изменение дисперсии а' со за т/гввременем имеет другой внд. 4.

6,(0) =О. Величина а' стремится к конечному пре делу. Предположим, например, что Ч (1) — это белый п(ум с отфильтрованными низкими частотами; 166 й В ДИФФУЗИОИИЫИ (ВИИЕРОВСКИИ) ПРОЦЕСС В этом примере закон изменения дисперсии со временем может меняться от линейного (У=О) до почти квадратичного (У 1). Случай у=0 соответствует тому, что т) (() — белый шум (ср. (13) и (9)). Согласно (13) зависимость )и о' от !п( является линейной: !и оз = сопя(+(!+о) 1и 6 (2.6.14) причем наклон прямой (14) определяется только степенью в спектре (12) *).

Диффузия фазы. В Я 3 — 5 мы рассматривали фазу как случайную величину, изменяющуюся в ограниченных пределах: — и ~ ~р (0 ( и. (2.6.15) Это было связано с тем, что фактически мы интересовались не самой фазой, а периодическими функциями созф или з!п~р. Однако при решении стохастнческнх дифференциальных уран пений фаза обычно определяется как случайный процесс„меняющийся в бесконечных пределах: — со ~ ср (() ( со. (2.6.16) Например, при анализе действия шума на линейные или автоколебательные системы для фазы может быть получено уравнение вида (1а), что соответствует (!6), а не (!5). Между распределениями вероятностей фазы в обоих случаях имеется однозначная связь.

Рассмотрим этот вопрос в общей постановке. Приведение распределения вероятностей к интервалу периодичности. При усреднении периодических функций у=я(х)=р(х+пй) (н=а, -в- 1, -и 2, „,) (2.6.17) от некоторого случайного процесса х(() вместо распределения вероятностей для х обычного вида ю(х) ( — со(х(со), (2.6.18) заданных на бесконечном интервале, иногда удобно пользоваться распределением гад (х) = ~~ Зю (х-1- п(.) (хэ — (.(2 < х ( хз-1-(./2), (2.6.19) «свернутымэ к интервалу периодичности Ь, Так кзк согласно (17) все значе.

ния х, отличаюц)неся на целое число (., для у полностью эквивалентны, то их вероятности, определяемые '(18), в (19) суммируются. Величина х„в (!9) произвольна Типичным примером является случай, когда х=Ф(Г) — фаза квазпгармоннческого процесса ') Это обстоятельс~во иоасю быть нспользов но для эксперцмыпального определения величины э.

156 ГЛ. 2. МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ Распределение вЕ(х) нормирована к йл «в+ Евт 1 Š— ве (х) в(х 1. Хв — Е Г2 Функция в (х) обладает свойством периодичности: (2.6.20) вЕ(х+шЕ) ~ в(х+ш(.+я() = х,' в(х+я'1), (26.21) и, следовательно, ее можно представить в виде ряда Фурье В (х) = ьт а е вяв», — вз вв — вв с коэффициентами 2п х (2.6.22) хвг Е!2 1 в 1 а Зз в (х) егкзвх в(х — — (егкзвх) т в ) Е Е. хв — Е/2 (2.6.23) Подстановка (19) в (23) дает 1 в". 1 а = — ~ в (х) звкзвх бх — (егкзвх) м ( в (2,6.24) т. е.

коэффициенты ряда Фурье (22] можно найти также преобразованием Фурье «развернутого» распределения (18). Согласно (24) формальна можно записать решение обратной задачи: 1. Р -(х) = — ~ аве 'яявхв(ш. 2п (2.6.26) Отметим два предельных случая, когда в рядах (19) и (22) остается по одному члену; в (х) в (х) (1, ~ Дх) (2.6.26) (2.6.27) вЕ(х) = 1/Е (Е < ба) Здесь параметр бх а по порядку величины равен корню из дисперсии и характеризует область наиболее вероятных значений х в соответствии с распределением (18).

Тзяилв образом, с уменьшением интервала Ь илн с увеличением дисперсии а' распределение в (х) стремится к равномерному (27). Условие Ьх он 1, реализуется, например, если х(1) †диффузионн процесс винеровского типа, поскольку согласно (6) дисперсия процесса в этом случае неограниченно возрастает со временем. Подчеркнем, что при этом несвернугое распределение в (х) соответствует нестациаварному процессу, а свернутое (27) ве (х) = 1/Г. †стационарно. Отсюда, в частности, следует, что процесс с диффуэией фазы можно рассматривать кзх процесс с равномерным распределением фазы (см, также 4 2 гл, 7) вва(ф)=172п.

157 9 е. Лиооузионны!ч (ниннронскин! процнсс ю(х) = = е — (» «) авва )'2п о ео согласно (24) н (22) 1 /. 1 а — ехр ! !ншх — — кзшзоз ! (2.6.28) шь (х) = — 1+2 «7 дм соз2шо = — бз (е, 9), (2.6.29) т ! д е оз((, о и (х — д)/(,, где бз(е, 9) — тэта. фУнкциЯ. Заметны, что непосРедственнаЯ подстановка (28) в (19) дает е — (х — х) /яа Г шс(х) = 1+2 ~р ~да созе,п ш(х) бз(дм пг), (2.6.30) айно ( з од-1 — (х — М). ой 4, е Выраженне (30) можно получить п непосредственно нз (29), проведя преобразование тэта-функция к новым аргументам.

Прв (.~о шг(х)~1/(., так как в этом случае дл 1 и в сумме (29) существенным будет лишь первый член, Обратный предельный случай, 8 Со, легче проаналвзнровать с помощью (30), Прн этом от~! н ш (х)~ш(х). Оба зтп результата находится в согласин с соотвошеннямн (26), (27). 2. Если (18) — распределение Коши: ()(п ш(х) = (-со ( х.Сот), (2.6.31) то согласно (24) — Рк! м) 1 ! (2.6.82) Сумма (22) вычисляется в этом случае как геометрическая прогрессия! (2.6.33) Рассмотрим два примера. 1.

Еслн распределение (18) гауссовское: Е м — ез 1+ ~~ е-йк -гкмх+ ~ м=! т=! 1 1Ь ()н 'г' 1 — 8! 1 Х сов кх Ь ! — 3 онкх !в з сп х9 е ркм+Гкмх (9.=- —..). 158 ГЛ.З.МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ Моменты +Бы (х") = 1 ю (х)х" 0х, -Е(з соответствующие распределению (ЗЗ), имеют конечное значение, хотя для исходного распределения (3!) они расходятся. Отметим сходство распределения [ЗЗ) и распределения (2.4зп) фазы нестациоиарного процесса на выходе параметрического усилителя; полагая в (33) Е=2п (н=1) н х=ф, получим ! — 1)я соз ф В отличие от (2.4.5!) распределение (34) имеет один максимум (при ~р=в, если ()еП 0), Как (2.4.51), так и (34) относятся к распределениям вероятностеа типа юзя рр) = Р' ~ — () (и=1, 2, 3, ...), (2.6.35) 2п 1 — рз сов нф нормировочная постоянная которых не зависит от л.